2-1 矩阵的左逆与右逆
更新时间:2023-12-22 00:56:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第二专题 广义逆矩阵
广义逆矩阵是E.H.Moore于1920年首次提出来的,1955年R.Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后,广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用,更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此,我们从线性方程组Am?nxn?bm的解开始讨论(m?n称为超定方程;m?n称为亚定方程)。
若存在向量x,使Ax?b成立,则称线性方程组为相容方程组,否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组,若A是列满秩的,则有唯一解;否则有无穷多解A??1?A?。我们要找到唯一
?的极小范数解A?。对于矛盾方程我们要找到它的近似解1,4??Am——最小二乘解A?1,3??Al?;如果最小二乘解不唯一,我们要找到唯一的最小二乘解,称为最佳的最小二乘解(或极小范数最小二乘解,或最佳逼近解),A?1,2,3,4??A?。
§1 矩阵的左逆与右逆
设A是n阶矩阵,A可逆当且仅当存在n阶矩阵B,使得
AB?BA?I 当A可逆时,其逆唯一,记为A?1.
下面,我们把方阵的逆矩阵概念推广到m?n矩阵上,定义一种单侧逆.
一、满秩矩阵与单侧逆
定义1 设A?Rm?n,若存在矩阵B?Rn?m,使得
BA?In
?1则称A是左可逆的,称B为A的一个左逆矩阵,记为AL.
若存在矩阵C?Rn?m,使得
AC?Im
?1则称A是右可逆的,称C为A的一个右逆矩阵,记为AR.
下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件. 定理1 设A?Rm?n,则下列条件是等价的:
(1)A是左可逆的; (2)A的零空间N(A)??0?; (3)m?n,rank(A)?n,即A是列满秩的;(4)ATA是可逆的. 证明
(1)?(2),设A是左可逆的,则存在B?Rn?m,使得BA?In,?x?N(A), Ax?0,于是x?Inx?BAx?B0?0,即证A的解空
间N(A)??0?.
(2)?(3),由N(A)??0?,再根据线性方程组解的理论知,R(A)?n?dimN(A)?n,从而A是列满秩的,当然有m?n. (3)?(4),设rank(A)?n,由dim[R(ATA)]?dimR(AT)?n,
知ATA是可逆的.
(4)?(1),由ATA可逆,得(ATA)?1ATA?In知(ATA)?1AT是
?1A的一个左逆矩阵,即AL?(ATA)?1AT。
注:左逆的一般表达式为:
?1AL?(ATUA)?1ATU
其中U是使关系式rank(ATUA)?rank(A)成立的任意m阶方阵。 定理2 设A?Rm?n,则下列条件是等价的:
(1)A是右可逆的; (2)A的列空间R(A)?Rm; (3)m?n,rank(A)?m,即A是行满秩的;(4)AAT是可逆的。 其证明留给读者.
由m?rank(Im)?rank(AB)?r(1)?(3),ank(A)?m得m?n,
R(A)?m,A是行满秩的;由AAT(AAT)?1?Im,知AT(AAT)?1?1是A的一个右逆矩阵,即AR?AT(AAT)?1。
注:右逆的一般表达式为:
?1AR?VAT(AVAT)?1
其中V满足rank(AVAT)?rank(A)。
?400?例1 矩阵A???050??是右可逆的,不是左可逆的。由于
???1/40???10??400???A??01/5????050???01??
???R????31R32?注意到右逆最后一行元素是完全任意的,故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆,则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
定理3 设A?Rm?n是左可逆的,B?Rn?m是A的一个左逆矩阵,则线性方程组AX?b有形如X?Bb解的充要条件是
(Im?AB)b?0
若上式成立,则方程组有唯一解
X?(ATA)?1ATb
证明
设方程组AX?b有解X0,则b?AX0?A(BA)X0?ABb,从而(Im?AB)b?0.反过来,若(Im?AB)b?0,则ABb?b,从而
X0?Bb是方程组的解.
当方程组有解时,因为A左逆,所以R(A)?n,从而方程组
AX?b有唯一解.由(ATA)?1AT是A的一个左逆矩阵,所以
X?(ATA)?1ATAX?(ATA)?1ATb,即X?(ATA)?1ATb为AX?b的唯一解。
注:虽然左逆矩阵不唯一,但方程的解唯一。
定理4 设A?Rm?n是右可逆的,则线性方程组AX?b对任何
?1?1 且对A的任意一个右逆矩阵AR,X?ARb?Rm都有解。b是其
解。 特别地,X?AT(AAT)?1b是方程组AX?b的一个解。 证明
?1因A右可逆,则AAR?Im,对任何b?Rm,都有
?1AARb?Imb?b,
?1即X?ARb是方程组AX?b的解。
事实上,矩阵的左逆(或右逆)矩阵还是矩阵的减号逆,自反减号逆,最小范数广义逆,最小二乘广义逆和加号逆。
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