四川省仁寿县2015届高三三诊数学（理科）试卷 Word版含答案

仁寿县2015届高三数学测验题（理科）2

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合M?xx?1，N?xx2?x，则M?N?

?????1? （B）??1,0,1? （A） ??1,1? （C） ?0,1? （D）

(1?i)22、复数＝

1?iA. 1?i

B. ?1?i

C. ?1?i

D. 1?i

3、已知平面?,?,?，直线a,b,c，则下列命题正确的是

（A）若???,???,则?//?；（B）若a?c,b?c,则a//b； （C）若a??,b??,则a//b； （D）若a//?,b//?,则a//b．

4、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的几何体的表面积为 （A）

1，则该435? （Ｂ）? （Ｃ）? （Ｄ） 2? 1 441

（Ｂ）64

（Ｃ）62

（Ｄ）60

5、执行右图的程序框图，则输出的结果为 （A）66

6、设x,y满足约束条件?大值为 （A）3?1?x?3，则z?2x?y的最

?1?x?y?0? （B）2 （C）1 （D）0

7、三个男生与三个女生站一排，若女生甲不站排头与排尾，

三个男生中有且仅有两个男生相邻，则这样的排法数为

（A）432 （B）288 （C）216 （D）144

8、已知直线l1//l2，A是l1,l2之间的一定点，并且A点到l1,l2的距离分别为2,3，B是直线l2上一动点，作AC?AB，且使AC与直线l1交于点C，则?ABC面积的最小值为 （A）2 （B）3 （C）6 （D）4

x2y29、已知F1,F2分别是双曲线C:2?2?1的左，右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰

ab落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 （A）3 （Ｂ）3 （Ｃ）2 （Ｄ）2

10、已知函数f(x)是定义在(??,0)?(0,??)上的偶函数，当x?0时，

?2|x?1|?1,0?x?2,?f(x)??1则函数g(x)?4f(x)?1的零点个数为

?f(x?2),x?2?2

A．4

B．6

C．8

D．10

第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

?31?2x??11、已知二项式???的展开式中奇数项的二项式系数和为64，则其展开式中的常

x??数项为______．

12、如右图，在圆C中，已知一条弦AB?6，则AB?AC=_________． 13、等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则olg＝_________．

14、已知幂函数y?f(x)的图像经过点(,3nC A B a1?olg3a2????log3a10

122)，则lgf(2)?lgf(5)?________． 215、a,b为非零不共线向量，定义a?b为一个向量，其大小为absin?a,b?，方向与a,b都垂直，且a,b，a?b的方向依次构成右手系（即右手拇指，食指分别代表a,b的方向，中指与拇指、食指的平面垂直且指向掌心代表a?b的方向），则下列说法中正确结论的序号有_______．

①(a?b)?a?0；②(a?b)?c?a?(b?c)；③正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，则

A?BCD中，(AB?AC)?AD的值恰好是它的体积的6(AB?AD)?AA1?1；④三棱锥

倍．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,…,8，其中X?5为标准A，X?3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品；乙厂执行标准B生产该产品，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． （Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

X1 5 6 7 8 a b 0.4 P 且X1的数学期望EX1?6，求a,b的值；

本，数据如下：

0.1 （Ⅱ）为分析乙厂产品，从该厂生产的产品中随机抽取10件，相应的等级系数组成一个样 3 5 4 6 8 5 5 6 3 4

从这10件产品中随机抽取两件（不放回抽样），求这两件产品中符合标准A的产品数?的分布列和数学期望．

17.（本小题满分12分）已知向量a???3sin函数f(x)???x?x??,1?，b??1,cos?2?， 2?2??3a?b． 2

（1）求函数

在 x????,??5??的单调减区间； ?3?（2）当x??x???,??时，若f(x)?2，求cos的值．

2?3?

18.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)设数列?S?的前n项和为Tn ，，求Tn

?n?

19、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：平面BDE⊥平面BEC；

(3)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

x2y220、（本题满分13分）设椭圆E: 2?2=1（a,b?0）过M（2，2） ，N(6,1)两

ab点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

OA?OB ？若存在，写出该圆的方程

21．（本小题满分14分）设f(x)?e?a(x?1).

(Ⅰ)若a?0,f(x)?0对一切x?R恒成立，求a的最大值.

xa，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲线y?g(x)上任意两点，xe若对任意的a??1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

（Ⅱ）设g(x)?f(x)?（Ⅲ）求证：1?3?

nn?(2n?1)n?e(2n)n(n?N*). e?1

仁寿县2015届高三数学测验题（理科）答案

1、已知集合M?xx?1，N?xx2?x，则M?N?D

?????1? （B）??1,0,1? （A） ??1,1? （C） ?0,1? （D）

(1?i)22、复数＝( B )

1?iA. 1?i

B. ?1?i

C. ?1?i

D. 1?i

3、已知平面?,?,?，直线a,b,c，则下列命题正确的是C （A）若???,???,则?//?；（B）若a?c,b?c,则a//b； （C）若a??,b??,则a//b； （D）若a//?,b//?,则a//b． 4、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的几何体的表面积为B

1，则该435? （Ｂ）? （Ｃ）? （Ｄ） 2? 1 445、执行右图的程序框图，则输出的结果为 C

（A）（A）66

（Ｂ）64

（Ｃ）62

（Ｄ）60

1 6、设x,y满足约束条件?大值为A （A）3?1?x?3，则z?2x?y的最

??1?x?y?0 （B）2 （C）1 （D）0

7、三个男生与三个女生站一排，若女生甲不站排头与排尾，三个男生中有且仅有两个男生相邻，则这样的排法数为B

（A）432 （B）288 （C）216 （D）144

8、已知直线l1//l2，A是l1,l2之间的一定点，并且A点到l1,l2的距离分别为2,3，B是直线l2上一动点，作AC?AB，且使AC与直线l1交于点C，则?ABC面积的最小值为C （A）2 （B）3 （C）6 （D）4

x2y29、已知F1,F2分别是双曲线C:2?2?1的左，右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰

ab落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为D （A）3 （Ｂ）3 （Ｃ）2 （Ｄ）2

10．已知函数f(x)是定义在(??,0)?(0,??)上的偶函数，当x?0时，

?2|x?1|?1,0?x?2,?f(x)??1则函数g(x)?4f(x)?1的零点个数为 ( D )

?f(x?2),x?2?2

A．4

B．6

C．8

D．10

第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

?31?2x??11、已知二项式???的展开式中奇数项的二项式系数和为64，则其展开式中的常

x??数项为__14____．

12、如右图，在圆C中，已知一条弦AB?6，则AB?AC=___18______． A 13、等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则olg＝____10_____．

14、已知幂函数y?f(x)的图像经过点(,3nC B a1?olg3a2????log3a10

122)，则lgf(2)?lgf(5)?___0.5______． 215、a,b为非零不共线向量，定义a?b为一个向量，其大小为absin?a,b?，方向与a,b都垂直，且a,b，a?b的方向依次构成右手系（即右手拇指，食指分别代表a,b的方向，中指与拇指、食指的平面垂直且指向掌心代表a?b的方向），则下列说法中正确结论的序号有___①_④____．

①(a?b)?a?0；②(a?b)?c?a?(b?c)；③正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，则

A?BCD中，(AB?AC)?AD的值恰好是它的体积的6(AB?AD)?AA1?1；④三棱锥

倍．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,…,8，其中X?5为标准A，

X?3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品；乙厂执行标准B生产该产品，假定甲、

乙两厂的产品都符合相应的执行标准．

（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的数学期望EX1?6，求a,b的值；

（Ⅱ）为分析乙厂产品，从该厂生产的产品中随机抽取10件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 4 6 8 5 5 6 3 4

从这10件产品中随机抽取两件（不放回抽样），求这两件产品中符合标准A的产品数?的分布列和数学期望． 解：（1）由题得??5?0.4?6a?7b?8?0.1?6?a?0.3，解得?.……4分

?b?0.2?0.4?a?b?0.1?1（2）由题??0,1,2.……6分

1122C4C624C6C4615，P???1??，.……9分 ??P???0??2??P??2??224545C1045C10C10所以列出分布列为（略），……10分数学期望E(?)?17.（本小题满分12分） 已知向量a???3sin6.……12分 5??3x?x??,1?，b??1,cos?2?，函数f(x)?a?b．

22?2??（1）求函数

在 x????,??5??的单调减区间； ?3?（2）当x??x???,??时，若f(x)?2，求cos的值．

2?3?解：（1）由题f(x)?3?xx?3??x????3sin?cos?2??2sin??????2? ?2?22?2??26???x?????3…………3分 26?? ??3sin?由2k???2?x??2?4???2k??，得4k???x?4k??，…………4分 26233因为x????,??5???2?4??k?0，所以当时，x??,?，即??3??33?在x????,??5??的单?3?调减区间为???2?4??,?.…………6分 33??

（2）由f(x)?2得sin??x??1???，…………7分 ?26?3因为x??x???????,??，知???0,?，……8分

26?3??3?所以cos??x??22，…………10分 ???263??x??x????26?1=cos???????.…………12分 26??26?6?所以cos18.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且

a2，a7，a22成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)设数列?S?的前n项和为Tn ，，求Tn

?n?

解：(1)因为数列{an}是等差数列，

n(n－1)

所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.

2

??5a1＋10d＝70，?即22

???a7＝a2a22，?(a1＋6d)＝(a1＋d)(a1＋21d)，

解得a1＝6，d＝4，或a1＝14(舍去)，d＝0(舍去)，

*

所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N)．

2

(2)证明：由(1)可得Sn＝2n＋4n，

1?1111?1

所以＝2＝＝?－?.

Sn2n＋4n2n(n＋2)4?nn＋2?

11111

所以Tn＝＋＋＋…＋＋ 依题意，有?

??S5＝70，

S1S2S3Sn－1Sn11?1?1?1?111?111?11?11

1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－＋?－＝??????3?4?4?24?4?35?4?n－1n＋1?4?nn＋2?4

?1＋1－1－1?＝3－1?1＋1?. ?2n＋1n＋2?84?n＋1n＋2????? 19、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：平面BDE⊥平面BEC；

(3)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，

1

所以MN∥CD，且MN＝CD.

21

由已知AB∥CD，AB＝CD，

2

所以MN∥AB，且MN＝AB，

所以四边形ABMN为平行四边形．

＝

所以BM∥AN.

又因为AN?平面ADEF，且BM平面ADEF， 所以BM∥平面ADEF.

(2)证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD.

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD， 所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.

在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝22. 在△BCD中，BD＝BC＝22，CD＝4. 所以BC⊥BD.

所以BC⊥平面BDE. 又因为BC?平面BCE， 所以平面BDE⊥平面BEC.

(3)解：由(2)知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD.

以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，

平面ADEF的一个法向量为m＝(0,1,0)． 设n＝(x，y，z)为平面BEC的一个法向量，

??－2x＋2y＝0，

因为BC＝(－2,2,0)，CE＝(0，－4,2)，所以?

?－4y＋2z＝0.?

令x＝1，得y＝1，z＝2.

所以n＝(1,1,2)为平面BEC的一个法向量．

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，则cos θ＝所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为

|m·n|16

＝＝.

|m||n|1·1＋1＋46

6. 6

x2y220、（本题满分13分）设椭圆E: 2?2=1（a,b?0）过M（2，2） ，N(6,1)两

ab点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

OA?OB ？若存在，写出该圆的方程

x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab2?4?11222??1??a?8xy222??8所以???1 所以?ab解得?a椭圆E的方程为2??84?b?4?6?1?1?1?1???a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,

?y?kx?m?且OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得

?1??4?8x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,

则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0

224km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?812?1?2k2?22,

k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k22m2?8m2?8k2??0, 要使OA?OB,需使x1x2?y1y2?0,即

1?2k21?2k2?m2?23m2?822?0又8k?m?4?0,所以?2所以3m?8k?8?0,所以k?, 8?3m?8222所以m?282626,即m?或m??,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一333m2m2826??条切线,所以圆的半径为r?,r?,, r?2223m?81?k331?k1?8m2所求的圆 的方程为：x?y?228 3x21．（本小题满分14分）设f(x)?e?a(x?1).

(Ⅰ)若a?0,f(x)?0对一切x?R恒成立，求a的最大值.

a，且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)是曲线y?g(x)上任意两点，ex若对任意的a??1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

（Ⅱ）设g(x)?f(x)?（Ⅲ）求证：1?3?xnn?(2n?1)n?e(2n)n(n?N*). e?1x解：（Ⅰ）∵f（x）=e-a（x+1），∴f′（x）=e-a， x∵a＞0，f′（x）=e-a=0的解为x=lna． ∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， ∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立， ∴-alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1． （II）设x1、x2是任意的两实数，且x1?x2 g(x2)?g(x1)?m，故g(x2)?mx2?g(x1)?mx1 x2?x1上单调递增， ??）?不妨令函数F(x)?g(x)?mx，则F(x)在（-?，

?F?(x)?g?(x)?m?0恒成立 ?对任意的a?-1，x?R，m?g?(x)恒成立 g?(x)?ex?a?aax?2e?(?)?a=?a?2?a?(?a?1)2?1?3，故m?3 xxeeixi??i2n?ini2r2（III）由（1） 知e≥x+1，取x=?,i?1,3,?2n?1,得1-?e 即()?e 2n2r2n12累加得((1)n?(3)n???(2n?1)n?e2n2n2n2n?1?2?e2n?3?2???e1?2e(1?e?n)e ??1?e1?e?1??1n?3n???(2n?1)n?e(2n)n 1?ee(an)n 1?e故存在正整数a=2．使得?1n?3n???(2n?1)n?

?F?(x)?g?(x)?m?0恒成立 ?对任意的a?-1，x?R，m?g?(x)恒成立 g?(x)?ex?a?aax?2e?(?)?a=?a?2?a?(?a?1)2?1?3，故m?3 xxeeixi??i2n?ini2r2（III）由（1） 知e≥x+1，取x=?,i?1,3,?2n?1,得1-?e 即()?e 2n2r2n12累加得((1)n?(3)n???(2n?1)n?e2n2n2n2n?1?2?e2n?3?2???e1?2e(1?e?n)e ??1?e1?e?1??1n?3n???(2n?1)n?e(2n)n 1?ee(an)n 1?e故存在正整数a=2．使得?1n?3n???(2n?1)n?

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