武康平 高级微观经济学 作业第八讲

某消费者打算用10万元投资股票，但市场上只有两种股票A和B。股票A的收益率RA服从正态分布N(0.1,1)，B的收益率RB服从正态分布N(0.2,4)，且RA与RB相互独立。该消费者的均值方差效用函数为U( ,r)=10r ²，其中 表示投资风险(收益率的标准差)，r表示预期收益率。该消费者处于两难境地：投资股票A吧，虽然风险较小，但收益率低；投资股票B吧，虽然收益率较高，但风险高。请你帮助该消费者进行投资决策，确定最优投资方案。

解：

设投资A股票的份额为：a，则B股票的份额为：1-a

A、 B是互相独立的，所以：

投资组合收益：r 0.1a 0.2(1 a) 0.2 0.1a

风险： = a 1 1 a 2 5a2 8a 4 222

效用：U( ,r) 10r 2 5a2 7a 3.8

当a=0.7时，效用有最大值，所以A买7万，B买3万。

1. 证明：在可微的生产函数下，资本和劳动的产出弹性不变当且仅当企业生产为CD生产。

2. 某公司总经理看到电子开关十分畅销，决定生产10000 个这种开关供应市场。电子开关的生产技术是这样的：一个工人操作一台机器一小时可生产10个开关，一台机器可以由多人同时操作，一个人也可同时操作多台机器，

生产函数为Q 其中Q表示电子开关产量(单位：个)，K 表示投入的机器数量(单位：台时)，L表示投入的劳动数量(单位：人时)。董事会反对这一计划，理由是：机器租金为10元/台时，劳动价格为40元/人时，而电子开关价格仅为4.5元/个，租用1台时机器和雇用1人时劳动生产10个电子开关将亏损5 元，因此该计划将产生亏损5000元。那么，你支持总经理还是支持董事会？为什么？你对总经理或董事会有什么关于生产的建议吗？

证明：先证明充分性： 1、

依题意： L=dQ/Q C1dL/L K=dQ/Q C2dK/K(C1、C2为常数)

所以：dQ/Q C1 dL/L

对比得：Q AK L Q C1(K)L 同理 Q C2(L)K

再证明必要性：

对于CD函数：Q AK L lnQ ln(AK L ),对K求偏导：

K 1

QdKAK L 1dQ dQ/Q dQ/Q ,当L为常数时， ==constL dK/KdK/KAL

dQ/Q同理可证： K==constdL/L

所以，资本和劳动的产出弹性不变当且仅当企业生产为CD生产。

约束函数：2

、目标函数，即利润：Y 40L 10K

由拉格朗日数乘得：当L= Q

20,K Q

5时，Y取得最大值0.5Q

董事会计算产生亏损的结果是不正确的，因为投入很小时，边际产出递增，当投入达到一定数量时，产出递减。所以支持总经理的决议。 生产时，要合理安排人员与机器的比例，当产量一定时，人力、资本

比例为1：4最为合理。

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