高中数学_圆锥曲线知识点小结

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则 ABF2的周长= （2）设椭圆

x2y2

2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：|

F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。

2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a 0,b 0) a2b2

y2x2

2 1(a 0,b 0) 2ab

图 形

B1(0, a),B2(0,a)

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

（3）双曲线的渐近线：

A1( a,0),A2(a,0)

x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a

F1( c,0),F2(c,0)

|F1F2| 2c(c 0) c

e

2

F1(0, c),F2(0,c)

a2 b2

c

(e 1)（离心率越大，开口越大） a

y

bx a

2b2 a

y

ax b

2222

①求双曲线x y 1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x y 0，因式分解得到x y 0。

aba2b2a2b2

x2y2x2y2

②与双曲线2 2 1共渐近线的双曲线系方程是 2 ；

2

ab

（4）等轴双曲线为x

2

y2 t2，其离心率为

22

yx（4）常用结论：（1）双曲线 2 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的2

ab

同一支于

A,B两点，则 ABF2的周长x2y2

2 1(a 0,b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的2ab

（2）设双曲线

直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

三、抛物线：

PQ|

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 标准方程

焦点在x轴上，

开口向右

焦点在x轴上，

开口向左

焦点在

p 0

y轴上，

焦点在

y轴上，

开口向上 开口向下

y2 2px y2 2px

x2 2py x2 2py

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 O(0,0)

x轴

pF(,0) 2

p 2

y轴

F(

p ,0)2

pF(0,)

2

pF(0, )

2

e 1

x

x

p 2

y

p 2

y

p 2

2p

|PF| |x0|

p 2

|PF| |y0|

p 2

p

四、弦长公式： |

AB| k2|x1 x2| k2 (x1 x2)2 4x1x2 k2

|A|

其中,

A, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

2

的判别式和x的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2 Bx C 0,

设

A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1 x2

BA

，

x1x2

C

；（3）代入弦长公式计算。 A

2

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay By C 0,则相应的弦长公

式是：|

111

AB| ()2|y1 y2| ()2 (y1 y2)2 4y1y2 ()2

kkk|A|

x1 x2| (x1 x2)2 4x1x2

|A|

和 |A|

注意（1）上面用到了关系式|

y1 y2 (y1 y2)2 4y1y2

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2 Bx C 0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1 x2

x1 x2

2

；再把x

B

；（3）设中A

点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0 x0代入直线方程求出y y0。

法（二）：用点差法，设

A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中

点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

例1：设点P是圆x2 y2 4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足

PM 2MD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解 设点M的坐标为 x,y ，点P的坐标为 x0,y0 ，由PM 2MD，

得 x x0,y y0 2 8 x, y ，即x0 3x 16，y0 3y．

因为点P x0,y0 在圆x2 y2 4上，所以x02 y02 4．即 3x 16 3y 4，

2

2

4 16

即 x y2 ，这就是动点M的轨迹方程．

3 9

例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点(, )，求椭圆的标准方程

2

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2 2 1(a b 0)，

ab

由椭圆的定义可知：2a

x2y2

1 a c 2, b a c 6所以所求的标准方程为

106

2

2

2

x2y2

1，将解法2 c 2, b a c a 4，所以可设所求的方程为2 2

aa 4

2

2

2

2

53x2y2 1 点(,

)代人解得：a 所以所求的标准方程为

22106

例3.

例4.

习题：1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的

标准方程是（ ）

x2x2x2x2y2y2y2y2

（A）＋＝1（B）＋＝1 （C）＋＝1 （D）＋＝1

3952552539

2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）

（A）

1233 （B） （C） （D） 2223

3. 已知椭圆x2＋2y2＝m，则下列与m无关的是（ ）

（A）焦点坐标 （B）准线方程 （C）焦距 （D）离心率

，则它的长半轴的长是（ ） 2

1

（A）1 （B）1或2 （C）2 （D）或1

2

5椭圆的中心为O，左焦点为F1，P是椭圆上一点，已知△PF1O为正三角形，则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）

4. 椭圆mx2＋y2＝1的离心率是

（A）3－1 （B）3－3 （C）3 （D）1

y2x2

6.若椭圆=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是。

3m 12m

7．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。

8. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x－y－4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

，求此椭圆的方程。 3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。

x2y2x2y2x2y2

（A） +=1 （B）+=1或+=1

362036202036x2y2x2y2x2y2

（C） +=1 （D）+=1或+=1

959559

10． 椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是（ ）。

331

（A）(±3, 0) （B）(±, 0) （C）(±, 0) （D）(0, ±)

32020

x2y2y2x2

11. 曲线＋=1与曲线＋=1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。

25－k9 k259

（A）有相等的长、短轴 （B）有相等的焦距 （C）有相等的离心率 （D）一相同的准线

12.椭圆4x2＋16y2=1的长轴长为，焦点坐标是 ，

13. 已知两点A(－3, 0)与B(3, 0)，若|PA|＋|PB|=10,那么P点的轨迹方程是

18

14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为5，焦距为2，则椭圆的

5

方程为 。

x2y2

1共焦点，并经过点P(3, －2)，则15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆94

椭圆的方程为 。

x2y2

16.在椭圆＋=1内有一点M(4, －1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB

1040

所在的直线的方程。

x2y21

17. 椭圆＋=1的离心率e=, 则k的值是。

k 892

18.平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（ ）。

x2x2y2y2

（A）－＝1 (x≤－4) （B）－＝1(x≤－3)

916169x2x2y2y2

（C）－＝1 (x>≥4) （D）－＝1 (x≥3)

916169

2

3

y2x2

19双曲线－＝1的渐近线方程是 ( )

3649yyyyxxxx

（A）±＝0 （B）±＝0 （C）±＝0 （D）±＝0

36493649677620. 双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ ）

（A）( a, 0) , (－ a, 0) （B）( a, 0), (－ a, 0)

（C）（－

a 1a 1a 1a 1

, 0）,（, 0） （D）(－, 0), (, 0) aaaa

x2y2

21. 设双曲线2 2 1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到

abc，则双曲线的离心率是（ ） 4

23

（A）2 （B） （C）2 （D）

3

x2y2

22. 双曲线－＝1的离心率是 。

79

y2x2

23, 已知方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是。

3 k2 k

y22

24. 双曲线4x－=1的渐近线方程是（ ）。

9213

（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±6x

362

直线l的距离是

25. 若双曲线与椭圆x2＋4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x＋y=0，则此双曲线

的标准方程只能是（ ）。

y2y2y2y2x2x2x2x2

（A）－=1（B）－=1 （C）－=±1 （D）－=±1

3612361236123612

y2x2

26．和椭圆＋=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（ ）。

259y2y2y2y2x2x2x2x2

（A）－=1 （B）－=1 （C）－=1（D）－=1

414412614612

1

27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的，则它的离心率为 。

3

28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e。

29. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是

30. 渐近线是±=0，且经过P(62, 8)的双曲线方程是。

y2x231. 和椭圆＋=1有公共的焦点，离心率e=的双曲线方程是 。

942

32. 59. 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。

y2x2

33. 过双曲线－=1的左焦点F1，作倾斜角为α＝的直线与双曲线交于两点A、B，

9164

求|AB|的长。

34. 抛物线y2=8x的准线方程是（ ）。

（A）x=－2 （B）x=2 （C）x=－4 （D）y=－2

35.AB是过抛物线y2＝4x焦点F的弦，已知A，B两点的横坐标分别是x1和x2，且x1＋x2＝6则|AB|等于（ ）

（A）10 （B）8 （C）7 （D）6

36. 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ）

（A）y2＝4x （B）x2＝

x3y4

11

y (C) y2＝4x 或x2＝y (D) y2＝4x 或x2＝4y 22

37.顶点在原点，焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是。 38. 抛物线x2＝4y的焦点为F，A是抛物线上一点，已知|AF|＝4＋22，则AF所在直线方程是 。

x2

39,抛物线y=－的准线方程是（ ）。

8

11

（A）y= （B）y=2 （C）y= （D）y=4

432

40. 已知点(－2, 3)与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的距离是5，则抛物线的方程是 。

41. 抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3，那么Q点的纵坐标是（ ）。 （A）－2 （B）2 （C）4 （D）1

42. 如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x－2)2＋y2=3在x轴上方相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线y=x上，求抛物线的方程。

43. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且点(－5, 2)在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）。

（A）y2=－4x （B）x2=5y （C）y2=－4x或x2=

5y （D）x2=－4y 2

44. 抛物线y=4x2的准线方程是（ ）。

（A）x=－1 （B）y=－1 （C）x=－

11 （D）y=－ 1616

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