浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题

定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1． 点关于点对称

例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。

分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。

小结：P （x 0,y 0）???????→?的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标公式）。

特例P （x 0,y 0）?????→?关于坐标原点对称 P ’（－x 0, －y 0）。

2． 直线关于点对称

例2． 求直线l 1:x ＋y －1=0关于M （3，0）的对称直线l 2的方程。

分析：思路一：在直线l 2上任取一点P （x ，y ），则它关于M 的对称点Q （6－x, －y ），因为Q 点在l 1上，把Q 点坐标代入直线l 1中，便得到l 2的方程：x ＋y －5=0。

思路二：在l 1上取一点P （1，0），求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标（5，0）。再由k l1=k l2，可求出直线l 2的方程x ＋y －5=0。

思路三：由k l1=k l2，可设l 1：Ax ＋By ＋C=0关于点M （x 0,y 0）的对称直线为Ax ＋By ＋C ’=0且2200B A C

By Ax +++=22'00B A C By Ax +++，求出C '

及对称直线l 2的方程x ＋y －5=0。 小结：直线关于点对称的情形：

（1） 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。设所求直线上一点为(,)P x y ，则它

关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；

（2） 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。它的求法分两种情况：

1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，

则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=

且=求设'C 从而可求的及对称直线方程。 3． 曲线关于点对称 例3． 求直线C 1：y=x 2关于M （2，1）的对称曲线C 2的方程。

分析：设P （x,y ）是曲线C 2的任一点，则P 点关于M （1，1）的对称点为Q （4－x, 2－y ），因为Q 在C 1上，把Q 点坐标代入曲线C 1上，便得到C 2的方程：x 2

－8x ＋y ＋14=0。 小结：曲线C 1：f(x,y)=0??

????→?）对称

（关于点b s,M 曲线C 2：f(2a －x, 2b －y)=0。 曲线C 2推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P （a,b ）对称的点M / (x /,y /)在曲线f(x,y)=0上．用点关于点对称的方法求出点M /的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程． 特例：f(x,y)=0??

???→?关于坐标原点对称 曲线C 2：f(－x, －y)=0。 二、轴对称问题：即关于直线的对称问题

定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。

性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分。

1． 点关于直线对称

例4．试求P （-3，5）关于直线l: 3x －4y ＋4=0的对称点P ’的坐标。

分析：直线l 是线段PP ’的垂直平分线。

解：设P （-3，5）关于直线l 的对称点为P ’（x,y ），则PP ’中点为N （

23x -，25y +），则有 32

5y 423x +?--?+4=0（因为N 在直线l 上）…………………………………① 14

33x 5y -=?+-（因为PP ’⊥l ）…………………………………………………② ①、②联立，解得x=3,y=-3，所求对称点P ’(3,-3)。

小结：（1）点关于常见直线的对称点的坐标：

① A （a,b ）关于x 轴的对称点为A'（a,-b ）

②

B （a,b ）关于y 轴的对称点为B'（-a, b ） ③

C （a,b ）关于直线y=x 的对称点为C'（b,a ） ④

D （a,b ）关于直线y=-x 的对称点为D'（-b,-a ） ⑤

P （a,b ）关于直线x=m 的对称点为P'（2m-a,b ） ⑥ Q （a,b ）关于直线y=n 的对称点为Q'（a,2n-b ）

（2）点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。

解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =?直线'PP 的方程→()B y b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A

++=???-=-??可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。 解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(

,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++?+?+=；① 再由'PP B K A =得b y B a x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式

有=①，再由'PP B K A =得b y B a x A

-=-②由①、②可得到'P 点坐标。

2． 直线关于直线对称

例5．求直线l 1:x －2y ＋1=0关于直线l: x ＋y －1=0的对称直线l 2的方程。 分析：思路一：先解l 1与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。则交点必在对称直线l 2上，由A 、B ’两点可求出直线l 2的方程。

思路二：在l 2上任取一点P(x,y)，则P 点关于直线l 的对称点Q （x 1,y 1）在直线l 1上，再由PQ ⊥ l 得k pQ ?k l =-1。又PQ 的中点在l 上，由此解得x 1=f(x,y),y 1=g(x,y)，把Q （x 1，y 1）代人l 1的方程中可求出l 2的方程。

小结：直线1l 关于直线l 的对称直线2l 。

⑴ 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l 。在1l 上取一点00(,)P x y 求出它关于l 的对称点Q 的坐标。再利用12l l P P =可求出2l 的方程。

⑵ 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。则交点必在对称直线2l 上。再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，k pQ ?k l =-1。又PQ 的中点在l 上，由此解得

11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。

3． 曲线关于直线对称

例6．求曲线C 1：9

)3y (4)2x (2

2+++=1关于直线x ＋y=0对称的曲线C 2的方程。 分析：在C 2上任取一点P(x,y),可求出它关于l 的对称点坐标，再代人C 1中，就可求得C 2的方程4

)2y (9)3x (2

2-+-=1。 小结：曲线关于常见曲线的对称曲线：

① 曲线C 1：f(x,y)=0??

??→?轴对称关于x 曲线C 2：f(x,-y)=0 ② 曲线C 1：f(x,y)=0??

??→?轴对称关于y 曲线C 2：f(-x, y)=0 ③ 曲线C 1：f(x,y)=0??

??→?=对称关于x y 曲线C 2：f(y, x)=0 ④ 曲线C 1：f(x,y)=0??

??→?-=对称关于x y 曲线C 2：f(-y,-x)=0 ⑤ 曲线C 1：f(x,y)=0??

???→?=对称关于直线m x 曲线C 2：f(2m-x,y)=0 ⑥ 曲线C 1：f(x,y)=0??

???→?=对称关于直线n y 曲线C 2：f(x, 2n-y)=0 【总结】通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：

【应用】在此基础上，讨论对称问题的相关应用。

应用一：思维发散1与物理中的光线问题相结合。

例7．光线通过点A （2，3）在直线l ：x ＋y ＋1=0上反射，反射光线过点B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程。

分析：本题表面上为一道物理中的光线问题，但本质上是数学中点关于线的对称问题。根据几何光学知识，A 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点A ’在反射光线所在直线上，B 关于直线l ：x ＋y ＋1=0的对称点B ’在入射光线所在直线上，所以入射光线即直线AB ’,反射光线即直线BA ’。

应用二：思维发散2与最值问题相结合。

例8．已知两点A(2,3),B （4，1），直线l ：022=-+y x ，在直线l 上求一点P 。

（1） 使PB PA +最小；

（2） 使PB PA -最大。

解：（1）可判断A,B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1,y 1），则有 022

322211=-+?++y x ， 1)2

1(2311-=-?--x y 。 解得： 5

21-

=x ， 591-=y 。 由两点式求得直线A 1B 的方程为1)4(117+-=

x y ，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （25

3,2556-），由平面几何知识可知PB PA +最小。 （2）由两点式求得直线AB 的方程为05),4(1=-+--=-y x x y 即。直线AB 与l 的交点可求得为P （8，-3），它使PB PA -最大。

【变题引申】求函数418922+-++=

x x x y 的最小值。 解：因为2222)50()4()30()0(-+-+-+-=x x y ，

所以函数y 是x 轴上的点P(x,0)与两定点A(0,3)、B(4,5)距离之和，y 的最小值就是PB PA +的最小值。

由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ’(0，-3)，则PB PA +的最小值等于

543504,'22=++-）（）（即B A ，即54=y 。

● 思悟小结

1.对称问题分为点对称和轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连

线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率关系即可解决。

2.解决最值问题常用目标函数法及几何法。

3.许多问题都隐含对称性，要注意挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等。

4.在数学教学中，我们要善于挖掘教学教材的潜在教学功能，在一题多变的发散演变中增强综合能力，培养创新能力，将学习知识和培养创造力统一起来。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ojve.html