常见递推数列通项的九种求解方法(1)

常见递推数列通项的九种求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：an?1解决方法?????累加法?a?f(n)（f?n?可以求和）

n 例1、在数列?an?中，已知a1=1，当n?2时，有an?an?1?2n?1?n?2?，求数列的通项公式。

解析：

an?an?1?2n?1(n?2)

?a2?a1?1?a?a?332????a4?a3?5 上述n?1个等式相加可得： ????an?an?1?2n?1∴an?a1?n2?1 ?an?n2

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】

1、已知a1?1，an?an?1?n（n?2），求an。 2、已知数列?an?，a1=2，an?1=an+3n+2，求an。

，a1?1，求数列{an}的通项公式。 3、已知数列{an}满足an?1?an?2n?14、已知{an}中，a1?3,an?1?an?2n，求an。

1?1?*5、已知a1?,an?1?an???(n?N),求数列?an?通项公式.

2?2?6、 已知数列?an?满足a1?1,an?3n?1n?an?1?n?2?,求通项公式an？

7、若数列的递推公式为a1?3,an?1?an?2?3n?1(n?N*)，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 9、已知数列?an?满足a1?11，an?1?an?2，求an。 2n?n，2，3，）10、数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

（I）求c的值； （II）求?an?的通项公式．

1

11、设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)? ； 当n?4时，f(n)? （用n表示）．

n(n?1）n(3n?1)3?1?答案:1. an? 2. an? 3.an?n2?1 4. an?2n?1 5. an????222?2?n?1

313n?16. an? 7. an?12?3n?1 8. an?3n?n?1 9. an?? 10.(1)2 (2) an?n2?n?2

2n2n2?n?211.(1)5 (2)

2 类型二：an?1?f(n)?an （f(n)可以求积）

?????累积法

解决方法例1、在数列?an?中，已知a1?1,有nan?1??n?1?an，(n?2)求数列?an?的通项公式。 解析：an?anan?1an?2??an?1an?2an?3a3a2??a1 a2a1322??1? 43n?12又a1也满足上式；?an? (n?N*)

n?1?评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。 【类型二专项练习题】

nn?1n?2??n?1nn?1n?1an?1(n?2)，求an。 n?12nan，求an。 2、已知数列?an?满足a1?，an?1?3n?1nan，且a1?2，求数列{an}的通项公式. 3、已知{an}中，an?1?n?23n?1an (n?1)，求an。 4、已知a1?3，an?1?3n?21、 已知a1?1，an?5、已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N),求数列?an?通项公式.

*6、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an，求通项公式an？

n7、已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

8、已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 (n≥2)，则{an}的通项

29、设{an}是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a2n?1- nan+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.

2

10、数列{an}的前n项和为Sn，且a1?1，Sn＝n2an(n?N*)，求数列{an}的通项公式.

n?n2264答案：1. an?2 2. an? 3. an? 4. an? 5. an?n 6. an?22

n?n3n3n?1n??n?1?27. an?3?n!?2n?1?5n2?n2?1n?112? 8. an??n! 10. an?2 9. an?nn?nn?2??2

?待定常数法 类型三：an?1?Aan?B(其中A,B为常数A?0,1）????可将其转化为an?1?t?A(an?t)，其中t?可。

例1 在数列?an?中， a1?1，当n?2时，有an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式。 解析：设an?t?3?an?1?t?，则an?3an?1?2t

解决方法B，则数列?an?t?为公比等于A的等比数列，然后求an即A?1?t?1，于是an?1?3?an?1?1???an?1?是以a1?1?2为首项，以3为公比的等比数列。

?an?2?3n?1?1

【类型三专项练习题】

1、 在数列?an?中， a1?1，an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式。 2、若数列的递推公式为a1?1,an?1?2an?2(n?N*)，则求这个数列的通项公式

1an?1+ 1(n?2)求通项an． 2114、在数列{an}(不是常数数列)中,an?1?an?2且a1?,求数列{an}的通项公式.

233、已知数列{an}中，a1=1，an=

5、在数列{an}中，a1?1,an?1?3?an?1,求an.

6、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求数列?an?的通项公式. 7、设二次方程anx-an＋1.x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用an表示an?1； （2）求证：数列?an?（3）当a1?

2??2??是等比数列； 3?7时，求数列?an?的通项公式 63

Sn为其前n项和，8、在数列?an?中，若a1?3a2?2，，并且Sn?1?3Sn?2Sn?1?1?0(n≥2)，试判断?an?1?(n?N?)2是不是等比数列？

答案：1. an?3?2 2. an?2?2nn?1 3. an?2?21?n111?n1?3n?1 4. an?4??2 5. an?

32112?1?6. an?2n?1 7.(1) an?1?an? (3) an???? 8.是

233?2?n类型四：Aan?1?Ban?Can?1?0；?其中A,B,C为常数，且A?B?C?0?

?A?????B可将其转化为A?an?1??an????an??an?1??n?2?-----（*）的形式，列出方程组?,解出?,?;?????C?还原到（*）式，则数列?an?1??an?是以a2??a1为首项， 以求出an。

例1 在数列?an?中， a1?2，a2?4，且an?1?3an?2an?1?n?2?求数列?an?的通项公式。

解析：令an?1??an??(an??an?1),(n?2) 得方程组??为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可A?????3 解得???1,??2;

??????2?an?1?an?2?an?an?1??n?2?

则数列?an?1?an?是以a2?a1为首项，以2为公比的等比数列

?an?1?an?2?2n?1?2n

?a2?a1?2?a?a?2232?1?2(1?n2)?*3??a4?a3?2 ?an?a1??2n?2?an?2n?n?N ?1?2??n?1??an?an?1?2评注：在Aan?1?Ban?Can?1?0；其中A,B,C为常数，且A?B?C?0中，若

A+B+C=0,则一定可以构造?an?1?an?为等比数列。 例2 已知a1?2、a2?3,an?1?6an?1?an(n?2),求an

解析：令an?1??an???an??an?1??n?2?，整理得an?1??????an???an?1

?? 4

????????1????6 ???3,??2 aan?13ann?1?3an??a2?3a1??2n?1?9?2n?1；两边同除以2n?1得，

2n?1?22n?94， 令an2n?bn，?bn?1?32bn?94令bn?1?t??32?bn?t?，得bn?1?32bn??52t ??52t?94, ∴t??910?b93?9?n?1?10??2??bn?10??，

故??b9?n?10??是以b1?910?a12?910?110为首项，?3?2为公比的等比数列。 n?n?1? b91?3?1n?10?10???2??，b?91?3?n10?10???2??

即an?1n2?91?3?n10?10???2??，得a9n1n?1n?10?2?5??3? 【类型四专项练习题】

1、已知数列?a2,a2n?中，a1?1,a2?n?2?3a1n?1?3an，求an。 2、 已知 a1=1，a2=

53，a52n?2=3an?1-3an,求数列｛an｝的通项公式an. 3、已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,),a1?1，

⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?an2n,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列； ⑶求数列?an?1n?的通项公式及前n项和。an?2?3(n?1)?2n?2;sn?（3n?1)?2n?2

4、数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?1,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。

n?1答案：1. a3??1??nn?1?4??1?????3??? 2. ?a?2?n?1n?2?n?3?3??3??3.(3) an?2?3(n?1)?2;sn?（3n?1)?2n?2n?14. aa?3(a?b)??2?n?3b?2?3??

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类型五：an?1?pan?f(n) （p?0且p?1）

一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。 例1 设在数列?an?中， a1?1，a1n?2an?1?2n?1?n?2?求数列?an?的通项公式。 解析：设 bn?an?An?b

?an?An?B?12??an?1?A?n?1??B?? ?展开后比较得?A??2?0?2?A??4?AB??B

??2?2?1?0??6这时b1n?2bn?1?n?2?且bn?an?4n?6 ??b1n?是以3为首项，以2为公比的等比数列

n?1n?1n?1?b???1?即3??n?3?2???1??2???a4n?6，?a?1?n?n?3???2???4n?6

例2 在数列?an?中， a1?2，an?1n?2an?1?2?n?2?求数列?an?的通项公式。 解析：

an?2an?1?2n?1?n?2?

?an?1ann?2an?1?2，两边同除以2n得

2n?an?12n?1?2???an?a1?2n??是以2=1为首项，2为公差的等差数列。?an2n?1??n?1??2?2n?1 即an?2n?2n?1? 例3 在数列?a ann?中，1?5，an?2an?1?2?1?n?2,n?N*?求数列?an?的

通项公式。

解析：在ann?2an?1?2n?1中，先取掉2，得an?2an?1?1 令an???2?an?1???，得???1，即an?1?2(an?1?1)；

然后再加上2n得?an?1??2?an?1?1??2n ； ?an?1??2?an?1?1??2n

两边同除以2n，得

an?1an?1?2n?12n?1?1;???an?1?a1?1?2n??是以2?2为首项，1为公差的等差数列。 ?an?12n?2??n?1??n?1， ?an?2n?n?1??1 评注：若f(n)中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。

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例4 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解析：在ann?1?3an?5?2n?4中取掉5?2待定

令a?a， t?2；?ann?1?t?3n?t?，则an?1?3an?2t?2t?4n?1?2?3?an?2?,再加上5?2得，

?an?1?2?3?an?2??5?2n，整理得：

an?1?22n?1?3an?222n?52， 令

an?22n?bn，则bn?1?32bn?52 令bt?32?b3tt5n?1?n?t?, bn?1?2bn?2；?2?2,t?5; 即b5?3?ba1?2133n?1?2n?5?；?数列?bn?5?是以b1?5?2?5?2为首项，2为公比的等比数列。 n?1n?1?b13?3?n?5?2??2??，即an?213?3?2n?5?2??2??；整理得an?13?3n?1?5?2n?2

类型5专项练习题：

1、设数列?a41n?的前n项和Sn?3an?13?2n?23?n?1,n?N*?，求数列?an?的通项公式。 2、已知数列?a1n?中，a1?2,点?n,2an?1?an?在直线y?x上，其中n?1,2,3.

（1） 令bn?an?1?an?1,求证：数列?bn?是等比数列； （2） 求数列?an?的通项 ； 3、已知a1?2，an?1?4a?1n?2n，求an。

4、设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an. 5、已知数列{an}满足a1?2,an?1?2an?(2n?1)，求通项an

6、在数列{a3n}中，a1?2，2an?an?1?6n?3，求通项公式an。 7、已知数列?a511n?1n?中，a1?6,an?1?3an?(2)，求an。

8、已知数列｛a nn｝，a1=1, n∈N?，an?1= 2an＋3 ,求通项公式an． 9、已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

10、若数列的递推公式为an?11?1,an?1?3an?2?3(n?N?)，则求这个数列的通项公式 11、已知数列?an?满足an?11?1,an?1?3an?2,求an.

7

12、 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 13、已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列{an}的通项公式。 14、 已知a1?1，an??an?1?2n?1，求an。 15、 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2n(n…2)，求an. 16、已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,),a1?1，

⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cann?2n,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列； ⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。 答案：1. annn?4?2 2.(2) a3n?2n?n?2 3. ann?4?2n 4. an?4?3n?1?n?1 5. an?1?2n?1 6. a9?2?nn5n1n?5?2n?2n 7. an??2??3?? 8. ann?3?2 9. an?(2n?6)?3?210. an?3n(73?2n) 11. an?1?1n?5?3?2n 12. an?(3n?1)?2n?1 13. an?5n?2n?1

14. a2n?1n?1?n? 15. an?2?n?? 16.(3) an?1n?2?3(n?1)?2n?2;sn3?2?n?（3n?1)?2?2

类型六：ac?ann?1?pad（c?p?d?0）

????解决方法?倒数法

n?例1 已知a2?an1?4，an?1?2a1，求an。

n?解析：两边取倒数得：

1a?12a?1，设1?b1n,则bn?1?bn?1；

n?1nan2令bn?1?t?1(b?t)；展开后得，t??2；?bn?1?212nb?； n?22 ??b1n?2?是以b1?2?a?2??7为首项，1142为公比的等比数列。

n?1n?1?b?7??1?n?2????4?????；即1?7??2?a?2?????1??a2n?1n?n?4??2?，得2n?2?7；

8

评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。 【类型六专项练习题】： 1、若数列的递推公式为a11?3,a?1a?2(n?)，则求这个数列的通项公式。 n?1n2、已知数列{an}满足a1?1,n?2时，an?1?an?2an?1an，求通项公式an。 3、已知数列｛an｝满足：an?an?13?a,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。

n?1?14、设数列{aann}满足a1?2,an?1?a,求an. n?35、已知数列{an}满足a1=1，a3ann?1?3a6，求an

n?6、在数列{aann}中，a1?2,an?1?3a?3，求数列{an}的通项公式. n7、若数列｛a=2an｝中，a1=1，an?1na2 n∈N?，求通项an． n?答案：1. an?37?6n 2. a112n?2n?1 3. an?3n?2 4. an?2?3n?1?1 5. an?12n?16. a62n?2n?1 7. an?n?1

类型七： 解决方法Sn?f(an)?????a???s1(n?1)n?s n?sn?1(n?2)例1 已知数列?a1n?前n项和Sn?4?an?2n?2.

?1?求an?1与an的关系； （2）求通项公式an.

解析：?1?1?n?1时，a1?s1?4?a1?2，得a1?1；

2?n?2时，a11n?sn?sn?1?4?an?2n?2?4?an?1?12n?3；得an?1?2a?1n2n。 （2）在上式中两边同乘以2n?1得2n?1an?1?2nan?2；

?数列?2na?1n是以2a1?2为首项，2为公差的等差数列；

?2nan?2?2n?2?2n；得ann?2n?1。 【类型七专项练习题】：

1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn(n?N*).求数列{an}的通项an。

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2、已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足Sn?n 1(an?2)2，求数列{an}的通项公式. 83、已知数列{an}的前n项和为Sn = 3– 2, 求数列{an}的通项公式. 14、设正整数{an}的前n项和Sn =(an?1)2，求数列{an}的通项公式.

43 5、如果数列{an}的前n项的和Sn =an?3, 那么这个数列的通项公式?

26、已知无穷数列?an?的前n项和为Sn，并且an?Sn?1(n?N*)，求?an?的通项公式？ 答案：1. an?3n?1 2. an?4n?2 3. an??(n?1)?1 4. an?3n?1 5. an = 2·3 6. an?2?n n?1?2?3(n?2)类型八：周期型

1?2a,(0?a?)n?6?n2??，若a1?，则a20的值为___________。

7?2a?1,(1?a?1)nn?2?例1、若数列?an?满足an?1解析：根据数列?an?的递推关系得它的前几项依次为：

6536536，，，，，，77777775?a20?a2?.

7；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；

评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。

【类型八专项练习题】： 1、已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*)，则a20= （ ）

3 2 A．0

B．?3 C．3

D．

2、在数列{an}中，a1?1,a2?5,an?2?an?1?an,求a1998. 答案：1.B 2.-4

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类型九、利用数学归纳法求通项公式

例1 已知数列{an}满足an?1(2n?1)?18(n?1)8?an?，a?，求数列的通项公式。 {a}a?1nn2229(2n?1)(2n?3)(2n?1)82448,a3?,得，a2?92549

2解析：根据递推关系和a1?(2n?1)2?1所以猜测an?，下面用数学归纳法证明它； 2(2n?1)(2k?1)2?1， 1?n?1时成立（已证明）2?假设n?k(k?2)时，命题成立，即ak?(2k?1)28?k?1?(2k?1)2?18(k?1)?则n?k?1时，ak?1?ak?= 22222(2k?1)(2k?1)(2k?3)?2k?1??2k?3?16k?64k?84k?44k?8432=

?2k?1??2k?3?22??2k?3??1??2k?1???2k?3??1?????。

??222?2k?1??2k?3??2k?3?222?n?k?1时命题成立；

由1?2?可知命题对所有的n?N均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。

*【类型九专项练习题】：

1.设数列?an?满足：an?1?an?nan?1，且a1?2，则an的一个通项公式为?

22.已知?an?是由非负整数组成的数列，满足a1?0，a2?3，an?1?an?(an?1?2)(an?2?2)（n=3，4，5…）。 （1）求a3； 2（2）证明an?an?2?2（n=3，4，5…）；（3）求?an?的通项公式及前n项的和。； 3.已知数列?an?中a1=(1)

3an，an?1?。 52an?1计算a2,a3和a4。 (2)猜想通项公式an，并且数学归纳法证明。

?n?1答案：1.an?n?1 2.(1)2 (3) an???n?13.(1)

?n2?n?2?(n为奇数）?sn??22(n为偶数）?n?n??2(n为奇数）

(n为偶数）3333；； (2) an? 1117236n?1递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。

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类型九、利用数学归纳法求通项公式

例1 已知数列{an}满足an?1(2n?1)?18(n?1)8?an?，a?，求数列的通项公式。 {a}a?1nn2229(2n?1)(2n?3)(2n?1)82448,a3?,得，a2?92549

2解析：根据递推关系和a1?(2n?1)2?1所以猜测an?，下面用数学归纳法证明它； 2(2n?1)(2k?1)2?1， 1?n?1时成立（已证明）2?假设n?k(k?2)时，命题成立，即ak?(2k?1)28?k?1?(2k?1)2?18(k?1)?则n?k?1时，ak?1?ak?= 22222(2k?1)(2k?1)(2k?3)?2k?1??2k?3?16k?64k?84k?44k?8432=

?2k?1??2k?3?22??2k?3??1??2k?1???2k?3??1?????。

??222?2k?1??2k?3??2k?3?222?n?k?1时命题成立；

由1?2?可知命题对所有的n?N均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。

*【类型九专项练习题】：

1.设数列?an?满足：an?1?an?nan?1，且a1?2，则an的一个通项公式为?

22.已知?an?是由非负整数组成的数列，满足a1?0，a2?3，an?1?an?(an?1?2)(an?2?2)（n=3，4，5…）。 （1）求a3； 2（2）证明an?an?2?2（n=3，4，5…）；（3）求?an?的通项公式及前n项的和。； 3.已知数列?an?中a1=(1)

3an，an?1?。 52an?1计算a2,a3和a4。 (2)猜想通项公式an，并且数学归纳法证明。

?n?1答案：1.an?n?1 2.(1)2 (3) an???n?13.(1)

?n2?n?2?(n为奇数）?sn??22(n为偶数）?n?n??2(n为奇数）

(n为偶数）3333；； (2) an? 1117236n?1递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。

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