数分选讲讲稿第3讲
更新时间:2024-03-29 07:13:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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讲 授 内 容
第三讲
三、利用变量替换求极限
例6 求极限 lim(sinx??备 注 3学时
1x?cos1x)x.
解 令
1x?y, 则当 x?? 时,y?0
1x1x1 lim(sinx???cos)xy?lim(siny?cosy) y?0siny?cosy?1
??siny?cosy?1?lim?(1?siny?cosy?1)?y?0????1y
由于 limy?0sinyy?1, limy?0cosy?1y1?0
.
所以 lim(1?siny?cosy?1)siny?cosy?1?e
y?0因此 lim(sinx??n??n??1x?cos1x)x?e.
例7 若limxn?a, limyn?b.试证:
limx1yn?x2yn?1???xny1nn??n???ab证 因为limxn?a, limyn?b
n??令 xn?a??n, yn?b??n 则当n??时,?n?0, ?n?0. 于是
?x1yn?x2yn?1???xny1n
n(a??1)(b??n)?(a??2)(b??n?1)???(a??n)(b??1) ?ab?a?n??n?1????1n?b?1??2????nnn
?其中 lim?1??2????nn?1?n??2?n?1????n?1n???lim?n?0n??
1
lim?1??2????nnn???lim?n?0n??
.
又因为 lim?n?0,所以??n?有界,
n???M?0, ?n??,使得|?n|?M.所以
n 0?|?1?n??2?n?1????n?1||?n|?|?n?1|???|?1|n
?M ?0 (n??) 所以 limx1yn?x2yn?1???xny1n?ab.
n?? 注 本例的变换具有一般性,常常用这种变幻,可将一般情况归结为特殊情况.如本例,原来是已知limxn?a, limyn?b,求
n??n??证limx1yn?x2yn?1???xny1nn??n???ab.经变换后,归结为已知
?1?n??2?n?1????n?1nn??lim?n?0, lim?n?0,求证limn??n???0这样可以利用结论:limxn?0?lim|xn|?0.
n??但 liman?a与lim|an|?|a|不等价.
n??n?? 四、两边夹法则(迫敛性定理)
n 例8 设ak?0, (k?1,2,?,m).求limna1n?a2n???am.
n?? 解 设A?max?a1,a2,?,am??0
A?a1?a2???am?mAnnnnn
A?na1?a2???am?nnnnmA
而 limnm?1,由两边夹法则得
n??lim1nn??a1?a2???am?A.
nnn
例9 求limx[].
x?0x解 当x?0时,?1?[]?xx111x
2
x?0时,1?x?x[]?1 x?0时,1?x?x[]?1
xx11
.
1故 limx[]?1.
x?01x例10 已知ai?0, (i?1,2,?,n).试计算
?n?npp????p?plim???ai????ai??p?????i?1??i?1????11解 记a?min?ai|i?1,2,?,n?,A?max?ai|i?1,2,?,n? 因为p???,不妨设p?0
11?p1(A)?(app)p?np?p?n?p?ppp?pp???ai????ai??(nA)?(na) ?i?1??i?1?11
令p???, 左边为 A?a?1 右边为 A?a?1
?n?npp????p?p?1lim???ai????ai???A?a. p?????i?1??i?1????11
故
例11 求极限limxn.设
n??1)
xn?1?3?5?(2n?1)2?4?6?2n(n?1)2;
2) xn??k?n1k;
??. ?2n3) xn??i?111???kkkk??n?1???n?1??
解 1) 因为几何平均值小于算术平均值, 所以分母中的因子 2?
4?1?323?52??1?33?5
????
3
0?xn?2n?(2n?1)?(2n?1)2?(2n?1)?(2n?1)
1?3?5?(2n?1)2?4?6?2n
?0 (n??)
?1?3?5?(2n?3)(2n?1)1?3?3?5?(2n?1)?(2n?1)
故 limxn?0.
n??(n?1)22)
1(n?1)2?k?n1k,共有(n?1)?n?1?2n?2项,其中最小项为
22
2?1n?1,最大项为1n2?1n.
所以
2n?2n?1(n?1)(n?1)2?2?k?n1k?2n?2n
12于是 limkkn???k?n1k?2.
2 3) 因为 n?n?1??n?1?, n?(n?1)k?n?1
kk
所以 n?(n?1) 1?nnn?1k?1k??n?1??1k?1
??k?1(n?1)k?nn?11k?1 (n??)
n lim?(n?1)n??k?1nk??1.
同理可得 lim?(n?1)n??k?1k?1k?1.
从而 limxn?2.
n??五、利用单调有界定理求极限(或证明极限存在) 例12 设a为常数.若数列?xn?满足条件
n?|xk?2k?xk?1|?a, (n?2,3,?)
证明数列?xn?收敛.
4
证 令yn?n?|xk?2k?xk?1|, (n?2,3,?)
显然,数列?xn?是单调增加并有上界a,所以?yn?收敛. 由Cauchy收敛准则的必要性,
???0, ?N,当n?N时,对?p??,有 |yn?p?yn|??.
n?pnk |yn?p?yn|??|xk?2?xk?1|??|xk?2k?xk?1|
n?p ?而
?k?n?1|xk?xk?1|??
|xn?p?xn|?|(xn?p?xn?p?1)?(xn?p?1?xn?p?2)???(xn?1?xn)|
n?p ??k?n?1|xk?xk?1|??
由Cauchy收敛准则的充分性,知数列?xn?收敛.
例13 设函数f(x)在[1,??)上连续,恒正且单调递减.并且
nun??k?1f(k)?? n 1f(x)dx
则数列?un?收敛. 证 un?1?un
n?1 ??k?1f(k)?? n?1 1n
f(x)dx??f(k)?k?1? n 1f(x)dx
?f(n?1)?? n?1 nf(x)dx
已知f(x)在[1,??)上单调递减,连续,由积分中值定理知
un?1?un ?f(n?1)?? n?1 nf(x)dx
?f(n?1)?f(?n)?0 n??n?n?1
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