第十二章 无穷级数（三峡大学高等数学教案）

高等数学教案 无穷级数

第十二章 无穷级数

【教学目标与要求】

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握ex,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

【教学重点】

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、e,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。

x?【教学难点】

1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 5、泰勒级数；

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

【教学课时分配】 (18学时)

第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.

[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§12? 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数? 给定一个数列 u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 则由这数列构成的表达式u1 ? u2 ? u3 ? ? ?

??? un ? ? ? ?叫做常数项)无穷级数? 简称常数项)级数? 记为?un? 即

n?1? ?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1其中第n项u n 叫做级数的一般项?

? 级数的部分和? 作级数?un的前n项和

n?1n sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

i?1?称为级数?un的部分和?

n?1三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

? 级数敛散性定义? 如果级数?un的部分和数列{sn}有极限s? 即limsn?s?

n?1n???则称无穷级数?un收敛? 这时极限s叫做这级数的和?

n?1并写成

? s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}没有极限? 则称无穷级数?un发散?

n?1?n?1?n?1 余项? 当级数?un收敛时? 其部分和s n是级数?un的和s的近似值? 它们之间的差值 rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?

?叫做级数?un的余项?

n?1 例1 讨论等比级数(几何级数)

?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?

n?0?的敛散性? 其中a?0? q叫做级数的公比? 解 如果q?1? 则部分和 sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna???? 1?q1?q1?q?aa 当|q|?1时? 因为limsn?? 所以此时级数?aqn收敛? 其和为?

1?q1?qn??n?0 当|q|>1时? 因为limsn??? 所以此时级数?aqn发散?

n??n?0?三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

如果|q|?1? 则当q?1时? sn ?na??? 因此级数?aqn发散?

n?0? 当q??1时? 级数?aqn成为

n?0? a?a?a?a? ? ? ??

当|q|?1时? 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零? 所以sn的极限不存在? 从而这时级数?aqn也发散?

n?0?综上所述，级数?aqnn?0??a,???1?q???|q|?1|q|?1

例2 证明级数

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是发散的?

证 此级数的部分和为

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n(n?1)2?

显然? limsn??? 因此所给级数是发散的?

n?? 例3 判别无穷级数 的收敛性? 提示? un?111???

n(n?1)nn?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)二、收敛级数的基本性质

?n?1?n?1 性质1 如果级数?un收敛于和s? 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数?kun也收敛?

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

且其和为ks?

?n?1?n?1 性质2 如果级数?un收敛于和s? 则级数?kun也收敛? 且其和为ks?

?n?1?n?1 性质3 如果?un?s? 则?kun?ks?

性质4 如果级数?un、?vn分别收敛于和s、?? 则级数?(un?vn)也收敛? 且其和为s???

n?1n?1n?1????n?1?n?1?n?1 性质5 如果?un?s、?vn??? 则?(un?vn)?s???

性质6 在级数中去掉、加上或改变有限项? 不会改变级数的收敛性? 比如? 级数级数10000?级数

1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收敛的? 1?22?33?4n(n?1)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收敛的? 1?22?33?4n(n?1)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收敛的? 3?44?5n(n?1)? 性质7 如果级数?un收敛? 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛? 且其和不变?

n?1 应注意的问题? 如果加括号后所成的级数收敛? 则不能断定去括号后原来的级数也收敛? 例如? 级数

（1?1)+（1?1) +? ? ?收敛于零? 但级数1?1?1?1?? ? ?却是发散的? 推论? 如果加括号后所成的级数发散? 则原来级数也发散? 级数收敛的必要条件?

? 性质8 如果?un收敛? 则它的一般项un 趋于零? 即limun?0?

n?1n?0 应注意的问题? 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件? 例4 证明调和级数

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?1?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是发散的?

n?1n?23n 证： 假若级数?1收敛且其和为s? sn是它的部分和?

n?1n?显然有limsn?s及lims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n?? 但另一方面? s2n?sn?1111111?? ? ? ? ???? ? ? ? ??? n?1n?22n2n2n2n2?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 这矛盾说明级数?1必定发散?

n??n?1n小结

1.常数项级数的概念； 2. 常数项级数的性质；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

讲课提纲、板书设计

作业 P255: 1(1), (3) ；2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5);

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

§12? 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数? 各项都是正数或零的级数称为正项级数?

? 定理1 正项级数?un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界?

n?1 定理2(比较审敛法)

?n?1?n?1 设?un和?vn都是正项级数? 且un?vn(k?0? ?n?N)?

?n?1?n?1若?vn收敛? 则?un收敛?

?n?1?n?1若?un发散? 则?vn发散?

证 设级数?vn收敛于和?? 则级数?un的部分和

n?1n?1?? sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn?? (n?1, 2, ? ? ?)?

?即部分和数列{sn}有界? 由定理1知级数?un收敛?

n?1?n?1?n?1 反之? 设级数?un发散? 则级数?vn必发散? 因为若级数

?n?1?n?1?vn收敛? 由上已证明的结论? 将有级数?un也收敛? 与假设矛盾?

?n?1?n?1?n?1 推论 设?un和?vn都是正项级数? 如果级数?vn收敛? 且存在自然数N? 使当n?N时有

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?n?1?n?1un?kvn(k?0)成立? 则级数?un收敛? 如果级数?vn发散? 且当n?N时有un?kvn(k?0)成立? 则级

?数?un发散?

n?1 例1 讨论p?级数

?1p?1?1p?1p?1p? ? ? ? ?1p? ? ? ?

n?1?n234n的收敛性? 其中常数p?0?

?提示? 级数?[n?211?]的部分和为 p?1p?1(n?1)n12]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?1? sn?[1?11np?13?11? ]?1?(n?1)p?1(n?1)p?1111因为limsn?lim[1?? 所以级数]?1[?]收敛? ?p?1p?1n??n??(n?1)p?1(n?1)nn?2?p?级数的收敛性? p?级数?n?11当p?1时收敛? 当p?1时发散? pn? 例2 证明级数?n?11n(n?1)是发散的?

证 因为

1n(n?1)?11111? 而级数???? ? ? ? ?? ? ? ? 是发散的? ?2n?123n?1n?1(n?1)n?11?根据比较审敛法可知所给级数也是发散的?

定理3(比较审敛法的极限形式)

?n?1?n?1 设?un和?vn都是正项级数?

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

(1)如果limn??unvnunvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且级数?vn收敛? 则级数?un收敛?

(2)如果limn???l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且级数?vn发散? 则级数?un发散?

证明 由极限的定义可知? 对??1l? 存在自然数N? 当n?N时? 有不等式

2 l?u1113l?n?l?l? 即lvn?un?lvn?

222vn2再根据比较审敛法的推论1? 即得所要证的结论?

? 例3 判别级数?sinn?11的收敛性? nsin 解 因为 limn??1??1n?1? 而级数1发散? 根据比较审敛法的极限形式? 级数sin发散? ??1nn?1nn?1n? 例4 判别级数?ln(1?n?11)的收敛性? n2ln(1? 解 因为 limn??1n21)2n?1? 而级数

??n?11收敛? 根据比较审敛法的极限形式? 级数2n??ln(1?n?11)收敛? n2 定理4(比值审敛法? 达朗贝尔判别法)

? 若正项级数?un的后项与前项之比值的极限等于??

n?1 limn??un?1un???

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

则当??1时级数收敛? 当??1(或limn??un?1un??)时级数发散? 当? ?1时级数可能收敛也可能发散?

例5 证明级数1??是收敛的?

1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ? (n?1)1?2?3n ! 例6 判别级数1?1?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收敛性? 23n101010101的收敛性?

n??(2n?1)?2n? 例7 判别级数?提示? limn??un?1un? limn??(2n?1)?2n(2n?1)?(2n?2)?1? 比值审敛法失效?

因为

11?2? 而级数

(2n?1)?2nn??n?11收敛? 因此由比较审敛法可知所给级数收敛? n2 定理5(根值审敛法? 柯西判别法)

设?un是正项级数? 如果它的一般项un的n次根的极限等于??

n?1? limn??nun???

n则当??1时级数收敛? 当??1(或limn??un???)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散?

例8 证明级数1?和s所产生的误差? 解 因为 limn??n111?? ? ? ? ?? ? ? ? 是收敛的? 并估计以级数的部分和sn近似代替2233nnun? limnn??11? lim?0? 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛? nnn??n 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为 |rn|? ?

111??? ? ? ?

(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111??? ? ? ? ?

(n?1)n?1(n?1)n?2(n?1)n?3三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?1? nn(n?1)? 例9判定级数?n?12?(?1)n2n的收敛性?

定理6(极限审敛法) 设?un为正项级数?

n?1? (1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 则级数?un发散?

n??n???n?1? (2)如果p?1? 而limnun?l (0?l???)? 则级数?un收敛?

n???pn?1 例10 判定级数?ln(1?n?11)的收敛性? n2 解 因为ln(1?1112221? 故)~(n??)limnu?limnln(1?)?limn?2?1? n222n??n??n??nnnn根据极限审敛法? 知所给级数收敛?

? 例11 判定级数?n?1(1?cosn?1?n)的收敛性?

解 因为 limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()??? n2n2根据极限审敛法? 知所给级数收敛? 二、交错级数及其审敛法

交错级数? 交错级数是这样的级数? 它的各项是正负交错的? 交错级数的一般形式为?(?1)n?1un? 其中un?0?

n?1?? 例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交错级数? 是交错级数? 但?(?1)n?1nnn?1? 定理7（莱布尼茨定理）

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

如果交错级数?(?1)n?1un满足条件?

n?1? (1)un?un?1 (n?1? 2? 3? ? ? ?)? (2)limun?0?

n??则级数收敛? 且其和s?u1? 其余项rn的绝对值|rn|?un?1? 简要证明? 设前n项部分和为sn? 由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)? 及 s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n 看出数列{s2n}单调增加且有界(s2n?u1)? 所以收敛?

设s2n?s(n??)? 则也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 从而级数是收敛的? 且sn?u1?

因为 |rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收敛的交错级数? 所以|rn|?un?1? 例12 证明级数?(?1)n?1 收敛? 并估计和及余项?

n?1?1n 三、绝对收敛与条件收敛? 绝对收敛与条件收敛?

?n?1?n?1?n?1 若级数?|un|收敛? 则称级数?un绝对收敛? 若级数?un

?n?1?n?1收敛? 而级数?|un|发散? 则称级?un条件收敛?

例13 级数?(?1)n?1?n?11n?11是绝对收敛的? 而级数是条件收敛的? (?1)?nn2n?1?n?1??n?1 定理8 如果级数?un绝对收敛? 则级数?un必定收敛? 值得注意的问题?

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?n?1?n?1 如果级数?|un|发散? 我们不能断定级数?un也发散?

?n?1?n?1 但是? 如果我们用比值法或根值法判定级数?|un|发散? 则我们可以断定级数?un必定发

?散? 这是因为? 此时|un|不趋向于零? 从而un也不趋向于零? 因此级数?un也是发散的?

n?1na 例14 判别级数?sin2的收敛性?

n?1?n 例15 判别级数?(?1)nn?1?11n2(1?)的收敛性? nn2小结

1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2. 利用正项级数审敛法；

3. 任意项级数审敛法：Leibniz判别法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意部分和数列的极限判别级数的敛散性，正项级数审敛法，任意项级数审敛法：Leibniz判别法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

?1. 判别级数的敛散性：（1）?n?11ln(n?1)nun?，（2）?n?11nn?n

2. 设un?0(n?1,2,3,?)，且limn???1，则级数?(?1)n?1n?1(1un?1un?1)：（）

（A）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）收敛性根据条件不能确定

讲课提纲、板书设计

作业 P268: 1 (1), (3), (5) ;

2 (2), (3), (4) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

§ 12? 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数? 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)}? 由这函数列构成的表达式 u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? 称为定义在区间I上的(函数项)级数? 记为?un(x)?

n?1? 收敛点与发散点?

对于区间I内的一定点x0? 若常数项级数?un(x0)收敛? 则称点x0是级数?un(x)的收敛点?

n?1n?1??若常数项级数?un(x0)发散? 则称点x0是级数?un(x)的发散点?

n?1n?1?? 收敛域与发散域?

函数项级数?un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域? 所有发散点的全体称为它的发散

n?1?域? 和函数?

在收敛域上? 函数项级数?un(x)的和是x的函数s(x)? s(x)称为函数项级数?un(x)的和函

n?1n?1??数? 并写成s(x)??un(x)? ∑un(x)是?un(x)的简便记法? 以下不再重述?

n?1n?1?? 在收敛域上? 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)? s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数? 并写成s(x)?∑un(x)? 这函数的定义就是级数的收敛域? 部分和?

函数项级数?un(x)的前n项的部分和记作sn(x)? 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作

n?1?sn(x)? 即

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? 在收敛域上有limsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??) ?

n?? 余项? 函数项级数

?n?1?un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)?s(x)?sn(x)叫做函数项级数

?n?1?un(x)的余项? 函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x)? 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn

n??(x)?s(x)?sn(x)? 在收敛域上有limrn(x)?0? 二、幂级数及其收敛性 幂级数?

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数? 这种形式的级数称为幂级数? 它的形式是 a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? ? 其中常数a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做幂级数的系数? 幂级数的例子?

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ? 1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 2!n! 注? 幂级数的一般形式是

a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ? 经变换t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ? 幂级数

1?x?x?x? ? ? ? ?x? ? ? ?

可以看成是公比为x的几何级数? 当|x|?1时它是收敛的? 当|x|?1时? 它是发散的? 因此它的收敛 域为(?1? 1)? 在收敛域内有

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 1?x2

3

n

定理1 (阿贝尔定理) 如果级数?anxn当x?x0 (x0?0)时收敛? 则适合不等式

n?0?三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

|x|?|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛? 反之? 如果级数?anxn当

n?0?x?x0时发散? 则适合不等式|x|?|x0|的一切x使这幂级数发散? 提示? ∑anx是?anxn的简记形式?

n?0n

? 简要证明 设∑anx在点x0收敛? 则有anx0?0(n??) ? 于是数列{anx0}有界? 即存在一个常数M? 使| anx0n |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

n 因为 |anxn| ? |anx0?nnn

xnxnxnn| ? |ax|?|| ?M?||? n0nx0x0x0?而当|x|?|x0|时? 等比级数?M?|n?0xnnn

|收敛? 所以级数∑|anx|收敛? 也就是级数∑anx绝对收敛? x0 定理的第二部分可用反证法证明? 倘若幂级数当x?x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛? 则根据本定理的第一部分? 级数当x?x0时应收敛? 这与所设矛盾? 定理得证?

推论 如果级数?anxn不是仅在点x?0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛? 则必有一

n?0?个完全确定的正数R存在? 使得

当|x|?R时? 幂级数绝对收敛? 当|x|?R时? 幂级数发散?

当x?R与x??R时? 幂级数可能收敛也可能发散?

收敛半径与收敛区间? 正数R通常叫做幂级数

?n?0?anxn的收敛半径? 开区间(?R? R)叫做幂级

??数?anxn的收敛区间? 再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数?anxnn?0n?0的收敛域是(?R, R)(或[?R, R)、(?R, R]、[?R, R]之一?

规定? 若幂级数?anxn只在x?0收敛? 则规定收敛半径R?0 ? 若幂级数?anxn对一切x都

n?0n?0??收敛? 则规定收敛半径R???? 这时收敛域为(??, ??)? 定理2 如果lim|n??an?1an|??? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系数? 则这幂级数

n?0?的收敛半径

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

? ?? ??0??1 R?? ??0?

????0 ???? 简要证明? lim|n??an?1xn?1anxn|?lim|n??an?1an|?|x| ??|x|?

(1)如果0?????? 则只当?|x|?1时幂级数收敛? 故R? (2)如果??0? 则幂级数总是收敛的? 故R???? (3)如果????? 则只当x?0时幂级数收敛? 故R?0? 例1 求幂级数

1??

n?1?(?1)?n?1nxnx2x3n?1x?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? n23n的收敛半径与收敛域?

1a解 因为?? lim|n?1|? limn?1?1?

n??an??1nn所以收敛半径为R?1??1?

? 当x?1时? 幂级数成为?(?1)n?1n?1?1? 是收敛的? n1 当x??1时? 幂级数成为?(?)? 是发散的? 因此? 收敛域为(?1, 1]?

nn?1 例2 求幂级数??1nx的收敛域? n!n?0? 例3 求幂级数?n!xn的收敛半径?

n?0? 例4 求幂级数?(2n)!2n?0(n!)x2n的收敛半径?

解 级数缺少奇次幂的项? 定理2不能应用? 可根据比值审敛法来求收敛半径，

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

幂级数的一般项记为un(x)?2

(2n)!(n!)2x2n? 因为 lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?

当4|x|?1即|x|?1112

时级数收敛? 当4|x|?1即|x|?时级数发散? 所以收敛半径为R?? 222[2(n?1)]!x2(n?1)?(2n?2)(2n?1)(n?1)2[(n?1)!]2?提示?

(2n)!2nun(x)x2(n!)un?1(x)x2?

例5 求幂级数??(x?1)n2nn的收敛域?

n?1atn2n?n1 解 令t?x?1? 上述级数变为?n? 因为 ?? lim|n?1| ?n?1??

n??a2?(n?1)2n?12nn?所以收敛半径R?2?

?(?1)1 当t?2时? 级数成为?? 此级数发散? 当t??2时? 级数成为?? 此级数收敛? 因此级

nnn?1n?1?tn数?n的收敛域为?2?t?2? 因为?2?x?1?2? 即?1?x?3? 所以原级数的收敛域为[?1, 3)? n?12n? 三、幂级数的运算 设幂级数?anx及

n?0?nn?0?bnxn分别在区间(?R, R)及(?R?, R?)内收敛? 则在(?R, R)与(?R?, R?)中

????较小的区间内有

加法? 减法?

n

n?0??anxn?nn?0??bnxn?nn?0?(an?bn)xn?

n?0?anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0n?0n

? 设幂级数∑anx及∑bnx分别在区间(?R, R)及(?R?, R?)内收敛? 则在(?R, R)与(?R?, R?)中较小的区间内有

加法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ? 减法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

乘法? (?anxn)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?

n?0n?0??三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)x? ? ? ?

性质1 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续? 如果幂级数在x?R (或x??R)也收

n?0?n

敛? 则和函数s(x)在(?R, R](或[?R, R))连续?

性质2 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积? 并且有逐项积分公式

n?0?

?0?xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0?xanxdx?nn?0n?1??anxn?1(x?I )?

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?

性质3 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛区间(?R? R)内可导? 并且有逐项求导公式

n?0 s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?

n?1?n?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径? 例6 求幂级数?1xn的和函数?

n?0n?11xn? x?[?1? 1)? 显然

n?0n?1? 解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)? 设和函数为s(x)? 即s(x)?s(0)?1? 在xs(x)?1n?1x的两边求导得 n?1n?0???? [xs(x)]??对上式从0到x积分? 得

?11n?1?x)??xn?? ?(n?11?xn?0n?0? xs(x)??1dx??ln(1?x)? 01?xx1???ln(1?x) 0?|x|?11于是? 当x ?0时? 有s(x)??ln(1?x)? 从而s(x)??x?

x? 1 x?0?x?11n?1x??[?xn?1]?dx 因为xs(x)??0n?0n?1n?0n?1? ??0x?n?0?xndx??0x1dx??ln1(?x)? 1?x三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

1???ln(1?x) 0?|x|?11所以? 当x?0时? 有s(x)??ln(1?x)? 从而 s(x)??x?

x? 1 x?0?提示? 应用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)? 即F(x)?F(0)??F?(x)dx?

001?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 1?xxx 例7 求级数??(?1)nn?1的和?

n?0小结

1.求幂级数收敛域和收敛半径的方法； 2. 幂级数的性质。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意求幂级数收敛域和收敛半径的方法，幂级数的性质，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

?1. 已知?anxn在x?x0处条件收敛，问该级数收敛半径是多少？

n?02. 求极限lim(n??1a?2a2???nan)，其中a?1

讲课提纲、板书设计

作业 P277: 1 (1), (3), (5), (7), (8)，2 (1), (3)

§12? 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

要解决的问题? 给定函数f(x)? 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说? 是否能找到这样一个幂级数? 它在某区间内收敛? 且其和恰好就是给定的函数f(x)? 如果能找到这

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

样的幂级数? 我们就说? 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数? 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数? 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)?

泰勒多项式? 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数? 则在该邻域内f(x)近似等于 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)? ?f(n?1)f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?

f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x与x0之间)?

(n)

泰勒级数? 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f?(x)? f??(x)? ? ? ? ? ff(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成为幂级数

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2(x)? ? ? ? ? 则当n??时?

f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数? 显然? 当x?x0时? f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)?

需回答的问题? 除了x?x0外? f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛? 它是否一定收敛于f(x)? 定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数? 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零? 即

n??limRn(x)?0 (x?U(x0))?

证明 先证必要性? 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数? 即 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?

又设sn?1(x)是f(x)的泰勒级数的前n?1项的和? 则在U(x0)内sn?1(x)? f(x)(n??)? 而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)? 再证充分性? 设Rn(x)?0(n??)对一切x?U(x0)成立?

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)? 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛? 并且收敛于f(x)? 麦克劳林级数? 在泰勒级数中取x0?0? 得

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??

此级数称为f(x)的麦克劳林级数?

展开式的唯一性? 如果f(x)能展开成x的幂级数? 那么这种展式是唯一的? 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致? 这是因为? 如果f(x)在点x0?0的某邻域(?R? R)内能展开成x的幂级数? 即 f(x)?a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ? 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导? 有

f ?(x)?a1?2a2x?3a3x? ? ? ??nanx? ? ? ? ? f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anxn?2 ? ? ? ? ? f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anx

n?3

2

n?1

2

n

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

f (n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1) ? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?

于是得

a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??

应注意的问题? 如果f(x)能展开成x的幂级数? 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数? 但是? 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0?0的某邻域内收敛? 它却不一定收敛于f(x)? 因此? 如果f(x)在点x0?0处具有各阶导数? 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来? 但这个级数是否在某个区间内收敛? 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察? 二、函数展开成幂级数 展开步骤?

第一步 求出f (x)的各阶导数： f ?(x)? f ??(x)? ? ? ? ? f (n)(x)? ? ? ? ?

第二步 求函数及其各阶导数在x?0 处的值： f(0)? f ?(0)? f ??(0)? ? ? ? ? f ( 0)? ? ? ? ? 第三步 写出幂级数：f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2(n)

f(n)(0)n!xn? ? ? ? ? 并求出收敛半径R?

第四步 考察在区间(?R? R)内时是否Rn(x)?0(n??)? limRn(x)?limn??f(n?1)(?)n??(n?1)!xn?1

是否为零? 如果Rn(x)?0(n??)? 则f(x)在(?R? R)内有展开式

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ? (?R?x?R)?

例1 将函数f(x)?ex展开成x的幂级数?

ex?1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ? (???x???)?

2!n! 例2 将函数f(x)?sin x 展开成x的幂级数?

2n?1x3x5n?1x sinx?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (???x???)? 3!5!(2n?1)! 例3 将函数f(x)?(1? x)m展开成x的幂级数? 其中m为任意常数? (1?x)m?1?mx?间接展开法?

例4 将函数f(x)?cos x展开成x的幂级数?

2nx2x4nx?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (???x???)? cosx?1?2!4!(2n)!m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1) ? ? ? (m?n?1)n!xn? ? ? ? (?1?x?1)?

例5 将函数f(x)?

1展开成x的幂级数? 21?x1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ? (?1?x?1)? 21?x注? 收敛半径的确定? 由?1??x2?1得?1?x?1? 例6 将函数f(x)?ln(1?x) 展开成x的幂级数?

11 解 因为f?(x)?? 而是收敛的等比级数?(?1)nxn(?1?x?1)的和函数?

1?x1?xn?0?

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ? 1?x所以将上式从0到x逐项积分? 得

n?1x2x3x4nx(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (?1?x?1)? ln1234n?1 例7 将函数f(x)?sin x展开成(x? 解 因为

sinx?sin[?4?(x??4)的幂级数?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]? 244三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

并且有

?1?1? cosx(?)?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

42!44!4??1?1? sinx(?)?(x?)?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

443!45!4所以 sinx?2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?] (???x???)? 242!43!4 例8 将函数f(x)?1展开成(x?1)的幂级数? 2x?4x?324x?1提示? 1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?)?

n?1x?1n(x?1) ??(?1) (?1??1)? nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1) ??(?1) (?1??1)? nx?1n?0441?4收敛域的确定? 由?1?x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3? 24展开式小结?

1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ? (?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ? (???x???)? 2!n!sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ? (???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (???x???)? 2!4!(2n)!ln(1?x)?x?x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ? (?1?x?1)? 234n?1m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1) ? ? ? (m?n?1)n!xn? ? ? ? (?1?x?1)?

(1?x)m?1?mx?小结

1.函数的幂级数展开式；

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

2.常用函数的幂级数展开式；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意函数以及常用函数的幂级数展开式，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 函数f(x)在x0处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同？ 2. 如何求y?sin2x的幂级数。

1?x1?x3. 将下列函数展开成x的幂级数f(x)?arctan

讲课提纲、板书设计

作业 P285: 2 (2) , (3) ,; 3 (2) ; 4

§12? 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

5例1 计算240的近似值? 要求误差不超过0?0001?

解 因为5240?5243?3?3(1?所以在二项展开式中取m?

511/5)? 4311? x??4? 即得 53111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ? )?

535?2!35?3!3这个级数收敛很快? 取前两项的和作为5240的近似值? 其误差(也叫做截断误差)为 |r2|?3( ?3? ?1?411?4?911?4?9?141?8?3?12??16? ? ? ? ) 245?2!35?3!35?4!31?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????

125325?27?40200001?81三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

于是取近似式为5240?3(1?1?1)? 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差

453之和不超过10?4? 计算时应取五位小数? 然后四舍五入? 因此最后得5240?2.9926? 例2 计算ln 2的近似值? 要求误差不超过0?0001? 解 在上节例5中? 令 x?1可得

ln2?1?1?1? ? ? ? ?(?1)n?11? ? ? ? .

23n 如果取这级数前n项和作为ln2的近似值? 其误差为|rn|?1n?1，为了保证误差不超过10?4? 就

需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了? 我们必需用收敛较快的级数来代替它. 把展开式

n?1x2x3x4nx ln(1?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (?1?x?1) 234n?1中的x换成?x ? 得

x2x3x4 ln(1?x)??x???? ? ? ? (1?x?1)?

234两式相减? 得到不含有偶次幂的展开式? ln令

1?x11?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ? ) (?1?x?1)? 1?x35111?x?2? 解出x?? 以x?代入最后一个展开式? 得

331?x13111111????? ? ? ? )? 333535737 ln2?2(??如果取前四项作为ln2的近似值? 则误差为 |r4|?2(? ?111111??11??? ? ? ? ) 99311313313211[1??()2? ? ? ? ] 11993 ?2111???. 11970000031?14?3913111111????)? 333535737三峡大学高等数学课程建设组

于是取 ln2?2(??

高等数学教案 无穷级数

同样地? 考虑到舍入误差? 计算时应取五位小数?

1?0.33333? 1?1?0.01235? 1?1?0.00082? 1?1?0.00007?

3573335373因此得 ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?1x3求sin9?的近似值? 并估计误差?

3!解 首先把角度化成弧度? 9???180?(弧度)，从而 sin????1??9(弧度)?2020203!20?? ?

3其次? 估计这个近似值的精确度? 在sin x 的幂级数展开式中令x??? 得

201??1???1?????? sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一个收敛的交错级数? 且各项的绝对值单调减少? 取它的前两项之和作为sin1??11似值? 起误差为|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?1203000005?20的近

????0.003876，于是得 sin9??0?15643，这时误差不超过10?5? 因此取 ?0.157080? ??20?20??3 例4 计算定积分

x

2??120e?xdx 的近似值? 要求误差不超过0?0001（取

2

2

1??0.56419）?

解 将e的幂级数展开式中的x换成?x? 得到被积函数的幂级数展开式 e?x2?1??(?x2)1!?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

??(?1)nn?0x2n (???x???). n!于是? 根据幂级数在收敛区间内逐项可积? 得

2??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

?1?(1?111??? ? ? ? ). 22?324?5?2!26?7?3!111?? 8900002?9?4!?前四项的和作为近似值? 其误差为|r4|?2122e?xdx0所以

???1?x(1?111??)?0.5295? 22?324?5?2!26?7?3!?4

例5 计算?1sin0xxdx的近似值(误差不超过10)?

解 由于limsinx?1? 因此所给积分不是反常积分? 如果定义被积函数在x?0处的值为1? 则

x?0sinxx2x4x6它在积分区间[0? 1]上连续.展开被积函数? 有 ?1???? ? ? ? (???x???)?

x3!5!7!在区间[0? 1]上逐项积分? 得?1sinx0xdx?1?111??? ? ? ? ? 因为第四项 3?3!5?5!7?7!11?所以取前三项的和作为积分的近似值? ?7?7!30000?01sinxxdx?1?11??0.9461? 3?3!5?5! 二、欧拉公式

复数项级数? 设有复数项级数：(u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ? 其中un ? vn (n?1? 2? 3? ? ? ?)为实常数或实函数? 如果实部所成的级数 u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ? 收敛于和u? 并且虚部所成的级数?

v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ? 收敛于和v? 就说复数项级数收敛且和为u?iv?

22 绝对收敛? 如果级?(un?ivn)的各项的模所构成的级数?un收敛? ?vnn?1n?1??则称级数?(un?ivn)绝对收敛?

n?1? 复变量指数函数? 考察复数项级数：1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ? 2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的? 在x轴上它表示指数函数ex ? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数? 记为e? 即

三峡大学高等数学课程建设组

z

高等数学教案 无穷级数

ez?1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? ?

2!n! 欧拉公式? 当x?0时? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?1(iy)2? ? ? ? ?1(iy)n? ? ? ?

2!n! ?1?iy?1y2?i1y3?1y4?i1y5? ? ? ?

2!3!4!5! ?(1?1y2?1y4? ? ? ? )?i(y?1y3?1y5? ? ? ? )

2!4!3!5! ?cos y?isin y?

把y定成x得eix?cos x?i sin x? 这就是欧拉公式? 复数的指数形式? 复数z可以表示为 z?r(cos? ?isin?)?rei? ?

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的辐角? 三角函数与复变量指数函数之间的联系? 因为eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以

e+e?2cos x? e?e?2isin x? cosx?这两个式子也叫做欧拉公式?

复变量指数函数的性质? ez1?z2?ez1?ez2?特殊地? 有e

x?iy

ix

?ix

x

?ix

11ix(e?e?ix)? sinx?(eix?e?ix)? 22i?ee?e(cos y? isin y)?

x i y x

小结

1.近似计算的方法； 2. 微分方程的幂级数解法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意近似计算和幂级数解法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

讲课提纲、板书设计

作业 P293: 1(2) , (4) ; 2 (2)

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

§12.7 傅里叶级数

一、三角级数 三角函数系的正交性 三角级数? 级数

1 a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?称为三角级数? 其中a0? an? bn (n ? 1? 2? ? ? ?)都是常数? 三角函数系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函数系的正交性? 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[??? ?]上的积分等于零? 即

???cosnxdx?0 (n?1? 2? ? ? ?)? ???sinnxdx?0 (n?1? 2? ? ? ?)?

三峡大学高等数学课程建设组

??

高等数学教案 无穷级数

???sinkxcosnxdx?0 (k? n?1? 2? ? ? ?)? ???sinkxsinnxdx?0 (k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)? ???coskxcosnxdx?0 (k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)? ???1??2???三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[????]上的积分不等于零? 即

dx?2??

2???cosnxdx?? (n ?1? 2? ? ? ?)? ???sinnxdx???2 (n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函数展开成傅里叶级数

问题? 设f(x)是周期为2?的周期函数? 且能展开成三角级数? f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系数a0? a1? b1? ? ? ? 与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分? 则

?????f(x)cosnxdx???a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????类似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里叶系数? a0? an? bn?1?1???????????f(x)dx?

f(x)cosnxdx? (n ?1? 2? ? ? ?)? f(x)sinnxdx? (n ?1? 2? ? ? ?)?

??1?系数a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函数f(x)的傅里叶系数?

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

傅里叶级数? 三角级数

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1?称为傅里叶级数? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里叶系数?

问题? 一个定义在(??? ??)上周期为2?的函数f(x)? 如果它在一个周期上可积? 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数? 然而? 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛? 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说? 这两个问题的答案都不是肯定的?

定理(收敛定理? 狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2?的周期函数? 如果它满足? 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点? 在一个周期内至多只有有限个极值点? 则f(x)的傅里叶级数收敛? 并且

当x是f(x)的连续点时? 级数收敛于f(x)?

当x是f(x)的间断点时? 级数收敛于[f(x?0)?f(x?0)]? 例1 设f(x)是周期为2?的周期函数? 它在[??? ?)上的表达式为 f(x)????1 ???x?0

1 0?x???12将f(x)展开成傅里叶级数?

解 所给函数满足收敛定理的条件? 它在点x?k? (k?0? ?1? ?2? ? ? ? )处不连续? 在其它点处连续? 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛? 并且当x?k?时收敛于

11[f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0? 22当x?k?时级数收敛于f(x)? 傅里叶系数计算如下?

an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???00(?1)cosnxdx?1?1?01?cosnxdx?0 (n ?0? 1? 2? ? ? ?)?

?? bn? ??????(?1)sinnxdx???01?sinnxdx

1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1] ?n?nn?三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

4?? n?1, 3, 5, ? ? ?n 2 ?[1?(?1)]??n?

n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是f(x)的傅里叶级数展开式为

11 f(x)?4[sinx?sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

?32k?1 (???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)? 例2 设f(x)是周期为2?的周期函数? 它在[????)上的表达式为 f(x)???x ???x?0

0 0?x???将f(x)展开成傅里叶级数.

解 所给函数满足收敛定理的条件? 它在点x?(2k?1)? (k?0? ?1? ?2? ? ? ? )处不连续? 因此? f(x)的傅里叶级数在x?(2k?1) ?处收敛于

11?[f(x?0)?f(x?0)]?(0??)??? 222在连续点x (x?(2k?1)?)处级数收敛于f(x)? 傅里叶系数计算如下? a0?an?1?1????????f(x)dx?1????0xdx??10 ?? 2?1xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?) ???nn2n2??f(x)cosnxdx?????xcosnxdx?2 n?1, 3, 5, ? ? ? ? ??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ? bn? ?1????n?f(x)sinnxdx?1????0xsinnxdx?1?[?xcosnxsinnx0cosn??]?? ??2nnn(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)???4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x) 233?三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

1 ?1sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ? (???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ? )? 2455? 周期延拓? 设f(x)只在[????]上有定义? 我们可以在[??? ?)或(??? ?]外补充函数f(x)的定义? 使它拓广成周期为2?的周期函数F(x)? 在(??? ?)内? F(x)?f(x). 例3 将函数 f(x)??展开成傅里叶级数?

解 所给函数在区间[??? ?]上满足收敛定理的条件? 并且拓广为周期函数时? 它在每一点x处都连续? 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[??? ?]上收敛于f(x)? 傅里叶系数为? a0? an?1??x ? ??x?0

x 0 ? x????1????????f(x)dx?1????0(?x)dx?101??0?xdx???

1??2f(x)cosnxdx?????(?x)cosnxdx???0 xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ?? ?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ?? bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)? 三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时? f(x)cos nx是奇函数? f(x)sin nx是偶函数? 故傅里叶系数为 an?0 (n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?2 ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ? )(???x??)? 2?35??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

?因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数?bnsinnx?

n?1 当f(x)为偶函数时? f(x)cos nx是偶函数? f(x)sin nx是奇函数? 故傅里叶系数为

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0 (n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02??ancosnx?

n?1? 例4 设f(x)是周期为2?的周期函数? 它在[??? ?)上的表达式为f(x)?x? 将f(x)展开成傅里叶级数?

解 首先? 所给函数满足收敛定理的条件? 它在点x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不连续? 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x?(2k?1)?收敛于f(x)? 在点x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收敛于

11[f(??0)?f(???0)]?[??(??)]?0? 22 其次? 若不计x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 则f(x)是周期为2?的奇函数? 于是 an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而 bn? ?2?2?0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

?[?22xcosnxsinnx???cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?) ? ?]02nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n (???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ? )? 例5 将周期函数u(t)?E|sin1t|展开成傅里叶级数? 其中E是正的常数? 2 解 所给函数满足收敛定理的条件? 它在整个数轴上连续? 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)?

因为u(t)是周期为2?的偶函数? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而 an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

2 ?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt

22三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

11cosn(?)tcosn(?)tE2?2]? ?[?011?n?n?22 ??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

(4n2?1)?所以u(t)的傅里叶级数展开式为

u(t)?4E(1??1cosnt)(???t???)? 2?2n?14n?1 奇延拓与偶延拓? 设函数f(x)定义在区间[0? ?]上并且满足收敛定理的条件? 我们在开区间(??? 0)内补充函数f(x)的定义? 得到定义在(??? ?]上的函数F(x)? 使它在(??? ?)上成为奇函数(偶函数)? 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)? 例6 将函数f(x)?x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦级数?

?小结

1.周期为2?的函数的傅里叶级数以及收敛定理； 2. 周期为2?的奇，偶函数的傅里叶级数； 3. 在[0,?]上函数的傅里叶级数展开法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意周期为2?的函数的傅里叶级数以及收敛定理，周期为2?的奇，偶函数的傅里叶级数，在[0,?]上函数的傅里叶级数展开法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 在[0,?]上函数的傅里叶级数展开法唯一吗？

22. 设f(x)??x?x，0?x??，又设S（x）是f（x）(0,?)内以2?为周期的正弦级

数展开式的和函数，求当x?(?,2?)时S(x)的表达式。 3. 函

a02数

?f(x)??x?x2，(???x??)的傅里叶级数展式为

??(an?1ncosnx?bnsinnx)，则其中系数b3??（93考研）

讲课提纲、板书设计

作业 P315: 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ;

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

6 ; 7 (2)

§12? 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

我们所讨论的周期函数都是以2?为周期的? 但是实际问题中所遇到的周期函数? 它的周期不一定是2?? 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题? 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数? 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2?的周期函数? 令x?l?t及f(x)?f(l?t)?F(t)? 则F(t)是以2?为周期的函数?

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

这是因为 F(t?2?)?f[l(t?2?)]?f(lt?2l)?f(lt)?F(t)?

???于是 当F(t) 满足收敛定理的条件时? F(t)可展开成傅里叶级数? F(t)?a02??(ancosnt?bnsinnt) ?

n?1???其中an?1?F(t)cosntdt? (n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?1?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

??????从而有如下定理?

定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件? 则它的傅里叶级数展开式为 f(x)?其中系数an ? bn 为 an??f(x)cosl?l bn??f(x)sinl?l1la0n?xn?x??(ancos?bnsin)? 2n?1ll?1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)? ln?xdx(n?1? 2? ? ? ?)? l? 当f(x)为奇函数时? f(x)??bnsinn?1n?x2ln?x? 其中bn??f(x)sindx(n ? 1? 2? ? ? ?)? ll0ln?x2ln?x? 其中an??f(x)cosdx (n ? 0? 1? 2? ? ? ?)? ll0l 当f(x)为偶函数时? f(x)?a02??ancosn?1? 例1 设f(x)是周期为4的周期函数? 它在[?2? 2)上的表达式为 f(x)???0 ?2?x?0(常数k?0)?

k 0?x?2?将f(x)展开成傅里叶级数? 解 这里l?2? an?12n?xkn?x2kcosdx?[sin]0?0(n?0)? ?202n?212 a0???2200dx?12?kdx?k? 201 bn?22k?? n?1, 3, 5, ? ? ? n?xkn?x2kksindx?[?cos]?(1?cosn?)? n??0?02n?2n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

f(x)?k2k?x13?x15?x?(sin?sin?sin? ? ? ?) 2?232522(???x???? x?0? ?2? ?4? ? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收敛于k)?

?pxl 0?x??2展开成正弦级数? 例2 将函数M(x)??2p(l?x)l? ?x?l22? 解 对M(x)进行奇延拓? 则 an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

2 bn?lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]? l?0??0ll2l2l2l对上式右边的第二项? 令t?l?x? 则

l0ptn?(l?t)22pxn?x bn?[?sindx??lsin(?dt)]

l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12pt ?[?sindx?(?1)?sindt]?

02l02ll当n?2? 4? 6? ? ? ?时? bn?0? 当n?1? 3? 5? ? ? ?时? bn?于是得 M(x)?2pl4p2l?l202pln?xn?? xsindx?22sinl2n??2(sin?xl?13?x15?xsin?sin? ? ? ? )(0?x?l)?

ll3252

小结

1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式； 2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法； 3.傅里叶级数的复数形式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式，在任意有限区间上函数的傅里叶展开法，要结合实例，反复讲解。

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

师生活动设计

1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?

2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?

3.将函数f(x)?2?|x|，(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数

??n?11n2的和。

讲课提纲、板书设计

作业 P322: 1 (1) , (3) ; 2 (2)

习题课

一、数项级数的审敛法

1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性

2. 正项级数审敛法:比值审敛法，极值审敛法，收敛的必要条件。 3. 任意项级数审敛法 二、求幂级数收敛域的方法

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

1.2.1.2.3.4.

三、幂级数和函数的求法

求部分和式极限

初等变换法: 分解、套用公式 映射变换法 （在收敛区间内） 数项级数求和

标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论x??R处的敛散性 . 非标准形式幂级数：通过换元转化为标准形式或者直接用比值法或根值法

（1）直接求和: 直接变换,

求部分和等

（2）间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 四、函数的幂级数和付式级数展开法 1. 函数的幂级数展开法

（1）直接展开法— 利用泰勒公式

（2）间接展开法— 利用已知展式的函数及幂级数性质 2. 函数的付式级数展开法 系数公式及计算技巧;五、例题分析

1.P322： 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5；7；8；9（2）

?

收敛定理;

延拓方法

2.求幂级数?(?1)nn?0x(2n?1)！n?12n?1的和函数。

作业：P322 ：6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 无穷级数

1.2.1.2.3.4.

三、幂级数和函数的求法

求部分和式极限

初等变换法: 分解、套用公式 映射变换法 （在收敛区间内） 数项级数求和

标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论x??R处的敛散性 . 非标准形式幂级数：通过换元转化为标准形式或者直接用比值法或根值法

（1）直接求和: 直接变换,

求部分和等

（2）间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 四、函数的幂级数和付式级数展开法 1. 函数的幂级数展开法

（1）直接展开法— 利用泰勒公式

（2）间接展开法— 利用已知展式的函数及幂级数性质 2. 函数的付式级数展开法 系数公式及计算技巧;五、例题分析

1.P322： 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5；7；8；9（2）

?

收敛定理;

延拓方法

2.求幂级数?(?1)nn?0x(2n?1)！n?12n?1的和函数。

作业：P322 ：6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12

三峡大学高等数学课程建设组

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ojir.html