2016年辽宁省重点中学协作体高三第一次教学质量检测 数学（理科

2016年辽宁省重点中学协作体高三第一次教学质量检测

数学（理科）试卷

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1、已知

A．－1 B．1 C．－2 D．2 2、

为非零向量“函数

为偶函数”是“

”的

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分又不必要条件 3、若复数

为纯虚数为虚数单位，则实数的值是

A．—3 B．—3或1 C．3或—1 D．1 4、函数

A．

B． C． D．

的部分图象如图所示，设

是图象的最高点，

是图象与轴的交点，则

5、右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是

A．0.28 B．0.38 C．0.72 D．0.62

6、设＝，则二项式展开式中不含项的系数和是

A．－192 B．193 C．－6 D．7

7、已知数列满足:，，用表示不超过的最大整数，

则 的值等于

A．1 B．2 C．3 D．4

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8、.如图，过椭圆中心的直线与经椭圆长短轴端点的两条切线B，O是与的交点，

，则直线有

分别交于点A、

被椭圆分成四部分，若这四部分图形的面积满足

A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条

9、已知三棱锥的一个端点点

在棱

，

两两垂直且长度均为6，长为2的线段

在

内运动含边界，则

的中

上运动，另一个端点

的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为

A．

B．或 C． D．或

10、设则称

和

与

在

是定义在同一区间

上是“密切函数”，

上的两个函数，若对任意的

称为“密切区间”，设

，都有

与

，在

上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 A．

B．

C．

D．

11、已知点P是椭圆

成立，则

上一点，

的值为

分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若

A．

B． C． D．

12、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）S=能的是 A．

=1且

=0 B．

C．

=2且

=2 D．

=2且

=3

若

，

．记集合

分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可

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第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13、以下说法中正确的是

① 甲乙两同学各自独立地考察了两个变量等，都是。对交于定点

。

的线性相关关系时，发现两个人对的观测数据的平均值相，则直线

必定相

的观测数据的平均值也相等，都是。各自求出的回归直线分别是

②用独立性检验2×2列联表法来考察两个分类变量“

有关系”成立的可能性越大。

是否有关系时，算出的随机变量的值越大，说明

③合情推理就是正确的推理。

④最小二乘法的原理是使得⑤用相关指数

来刻画回归效果，

最小。

越小，说明模型的拟合程度越好。

14、任意满足的实数

·

，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． ，定义

其中

分别是

15、．设M是△ABC内一点，

△MBC，△MAC，△MAB的面积，若，则的取值范围是 ．

16、已知函数，过点P0，m作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值

范围为 ．

三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17、（本小题满分12分） 已知函数

（I）求函数f（x）在区间

的最小正周期为3π．

上的最大值和最小值；

，求C的大小；

（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，

（Ⅲ）在（II）的条件下，若

，求cosB的值．

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18、（本小题满分12分）

已知梯形上的点，（Ⅰ） 当（Ⅱ）若以（Ⅲ)当

、∥

中，，

∥，，⊥

是

的中点.沿 ；

， 将梯形

，、分别是

翻折，使平面

⊥平面

、

．

时，求证：、

、

为顶点的三棱锥的体积记为

的余弦值.

，求的最大值；

取得最大值时，求二面角

19、（本小题满分12分）

第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语。

（I）根据以上数据完成以下2X2列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0．10的前提下认为性别与会俄语有关？

（II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？ （III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为，求的期望。

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20、（本小题满分12分） 已知点

是直角坐标平面内的动点，点

到直线

的距离为

，到点

的距离为

，且

．

（I）求动点P所在曲线C的方程；

（II）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线垂线，对应的垂足分别为况)； （III）记

，

，

(A、B、

是(2)中的点)，问是否存在实数

，使

，试判断点F与以线段

的

为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情

成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅳ）若上述问题中直线

成立的

、点、曲线C：，则使等式

的值仍保持不变，请给出你的判断，并给出证明。

21、（本小题满分12分） 已知函数（Ⅰ）求函数

=

在区间

，上的值域；

，在区间

上都存在两个不同的

，使得

.

（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的

成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）给出如下定义：对于函数

图象上任意不同的两点

，如果对于函数

图

象上的点试判断函数

其中

是不是具备性质“

总能使得”，并说明理由.

成立，则称函数具备性质“”，

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请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。

（Ⅰ）求证：∽；

（Ⅱ）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求

的值。

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为

，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，

．

与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求

的取值范围；

（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

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数学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1、B 2、C 3、D 4、B 5、C 6、B 7、B 8、B 9、D 10、D 11、A 12、D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13、①②④ 14、 15、 16、

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）

解：（I）∵，

由函数f（x）的最小正周期为3π，即∵

时，可得：

，解得，∴，∴

，

，

∴x=﹣π时，f（x）的最小值是﹣3，（II）由已知

又∵sinA≠0，∴（Ⅲ）由

得

，由正弦定理，有=

时，f（x）的最大值是1．

=

． ，∴

．

．

，

，又∵ a＜b＜c，∴

．∵

由知，∴18、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）作

由平面而又（Ⅱ） ∵

又由Ⅰ

平面

于平面

，故，故，面平面

平面面 ∴ ，连

，知：

平面又四边形，而 ∴

为正方形 ∴平面面

∴

.

∴ ＝

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即（Ⅲ）设平面

∵

时有最大值为的法向量为,

，

．

，

∴

则 即取 则 ∴

∵面的一个法向量为 ∴<>

∵所求二面角19、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如下表：

男 女 总计 的平面角为钝角 ∴此二面角的余弦值为－.

会俄语 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30 假设：是否会俄语与性别无关．由已知数据可求得

所以在犯错的概率不超过0．10的前提下不能判断会俄语与性别有关；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）会俄语的人数的取值分别为0,1,2．其概率分别为

,

所以的分布列为：

P 0 1 2

．

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20、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设动点为，依据题意，有 ，化简得

因此，动点P所在曲线C的方程是：（Ⅱ）点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：所示．

，如图

联立方程组，可化为，

则点又

、

的坐标满足，可得点

、

． ．

因于是，

，，则=．

为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．

（Ⅲ）依据（Ⅱ）可算出，，

则 ，

∴

，即存在实数

．

使得结论成立．

（Ⅳ）正确，证明略 21、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

在区间 的值域为

上单调递增，在区间

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上单调递减,且

（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得

在

，原问题等价于：对任意的不可能是单调函数

在上总有

两个不同的实根，故

当当

时, 时,

,

,.s 在区间

在区间上递减，不合题意

上单调递增，不合题意

当时, ,在区间上单调递减，不合题意

当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，

由上可得，此时必有的最小值小于等于0

而由

综上，满足条件的不存在。 （Ⅲ）设函数

具备性质“

可得，则

”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，

则，

而在点处的切线斜率为，

故有，即；

令，则上式化为，

令，则由可得在上单调递增，

故，即方程无解，所以函数不具备性质“”.

高三年级数学（理科）试卷 第 10 页 共 6 页

22．（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：∵AD是两圆的公切线， ∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴

，

又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。 （Ⅱ）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线， ∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC， ∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x， ∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x） ∴DE=6x，DF=4x，∴23、（本小题满分10分） 24、（本小题满分10分）

。

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22．（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：∵AD是两圆的公切线， ∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴

，

又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。 （Ⅱ）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线， ∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC， ∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x， ∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x） ∴DE=6x，DF=4x，∴23、（本小题满分10分） 24、（本小题满分10分）

。

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