北京市西城区2012届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案

北京市西城区2012年高三一模试卷

数 学（理科） 2012.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. 1．已知全集U?R，集合A?{x|（A）(0,1)

（C）(??,0]?(1,??)

2．执行如图所示的程序框图，若输入x?2，则输出y的 值为（ ） （A）2 （B）5 （C）11 （D）23

?x?y?0,?3．若实数x，y满足条件?x?y?3?0,则2x?y的最大值为（ ）

?0?x?3,?1x?1}，则eUA?（ ）

（B）(0,1]

（D）(??,0)?[1,??)

（A）9

（B）3 （C）0 （D）?3

34．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为123cm．

其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）

2（A）43cm

2（B）23cm

（C）8cm

2（D）4cm

2

445．已知函数f(x)?sin?x?cos?x的最小正周期是π，那么正数??（ ）

（A）2 （B）1 （C）

12 （D）

14

6．若a?log23，b?log32，c?log46，则下列结论正确的是（ ） （A）b?a?c （C）c?b?a

7．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对?n?N*，有S2n?3Sn，则q的取值范围是（ ） （A）(0,1]

8．已知集合A?{x|x?a0?a1?3?a2?32?a3?33}，其中ak?{0,1,2}(k?0,1,2,3)，且a3?0.则A中所有元素之和等于（ ） （A）3240

（B）3120

（C）2997

（D）2889

（B）(0,2)

（C）[1,2)

（D）(0,2)

（B）a?b?c （D）b?c?a

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，

[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．

10．(x?2)6的展开式中，x3的系数是_____．（用数字作答）

11. 如图，AC为⊙O的直径，OB?AC，弦BN交AC

BC于点M．若OC?

12. 在极坐标系中，极点到直线l:?sin(??

π4)?2的距离是_____．

MONA3，OM?1，则MN?_____．

?0?x?c,?x2,13. 已知函数f(x)?? 其中c?0．那么f(x)的零点是_____；若

2??x?x,?2?x?0,f(x)的

1值域是[?

14,2]，则c的取值范围是_____．

B 分别在射线y?14. 在直角坐标系xOy中，动点A，

33x(x?0)和y??3x(x?0)上

运

动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为_____；△OAB周长的最小值是

_____．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

在△ABC中，已知sin(A?B)?sinB?sin(A?B)． （Ⅰ）求角A；

????????????（Ⅱ）若|BC|?7，AB?AC?20，求|AB?AC|．

16.（本小题满分13分）

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；

（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.

17．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ?DAB??DBF?60?，且FA?FC． （Ⅰ）求证：AC?平面BDEF；

E（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A?FC?B的余弦值．

DFC

18.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?eaxAB?(ax?a?1)，其中a??1.

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

53，定点M(2,0)，椭圆短轴的端

点是B1，B2，且MB1?MB2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，

使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

对于数列An:a1,a2,?,an(ai?N,i?1,2,?,n)，定义“T变换”：T将数列An变换成数

列Bn:b1,b2,?,bn，其中bi?|ai?ai?1|(i?1,2,?,n?1)，且bn?|an?a1|，这种“T变换”记作Bn?T(An).继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，?，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

（Ⅰ）试问A3:4,2,8和A4:1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写

出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：A4:a1,a2,a3,a4一定能经过有限次“T变换”后结束．

北京市西城区2012年高三一模试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

2012.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.54； 10.?160； 11.1； 12.2； 13.?1和0，(0,4]； 14.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：原式可化为 sinB?sin(A?B)?sin(A?B)?2cosAsinB． ??????3分

因为B?(0,π)， 所以 sinB?0， 所以 cosA?1232，2(1?2).

． ??????

5分

因为A?(0,π)， 所以 A?π3． ??????

6分

????????????????????222（Ⅱ）解：由余弦定理，得 |BC|?|AB|?|AC|?2|AB||AC|?cosA．??????

8分

????????????????????因为 |BC|?7，AB?AC?|AB||AC|?cosA?20，

????????22所以 |AB|?|AC|?89． ??????

10分

????????????????????????222因为 |AB?AC|?|AB|?|AC|?2AB?AC?129， ??????

12分

????????所以 |AB?AC|?129． ??????

13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1分

记“甲以4比1获胜”为事件A，

34?3则P(A)?C3()()412． ??????

111222?18． ??????4

分

（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.

35?3 因为，乙以4比2获胜的概率为P1?C3()()5111222?532， ??????

6分

乙以4比3获胜的概率为P2?C6()()2231316?312?532， ??????

7分

所以 P(B)?P1?P2?8分

（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．

1414P(X?4)?2C4()?， ??????

28516． ??????

9分

? P(X?5)3131?43124C()()?22214， ??????

10分

? P(X?6)3131?52125C()(?)?2225165， ??????

11分

? P(X?7)3131?63126C()(?)?22216． ??????

12分

比赛局数的分布列为：

X P 4 5 1418 6 516 7 516 ??????13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．

因为 四边形ABCD为菱形，所以AC?BD，

且O为AC中点． ??????1分

又 FA?FC，所以 AC?FO． ???3分 因为 FO?BD?O，

所以 AC?平面BDEF． ??????4分

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，

所以AD//BC，DE//BF， 所

以

平

面

FBC//平面

EAD． ??????7分

又FC?平面FBC， 所

以

FC// 平面

EAD． ??????8分

（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以FO?BD，故FO?平面ABCD．

由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz． ??????9分

设AB?2．因为四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，则BD?2，所以OB?1，

OA?OF?3．

所以 O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3)．

????所以 CF?(3,0,????3)，CB?(3,1,0)．

??????n?CF?0,设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CB?0.所以 ???3x?3z?0, 取x?1，得n?(1,?3,?1)． ??????

3x?y?0．12分

易知平面AFC的法向量为v?(0,1,0)． ??????

13分

由二面角A?FC?B是锐角，得 cos?n,v??n?vnv?155．

所以二面角A?FC?B的余弦值为

14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?ex?(2分

由于f(1)?3e，f?(1)?2e，

1x155． ??????

x?2)，f?(x)?e?(1x?2?1x2)． ??????

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2ex?y?e?0． ??????

4分

ax（Ⅱ）解：f?(x)?ae(x?1)[(a?1)x?1]x2，x?0． ??????6

分

① 当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1．

f(x)的单调递减区间为(??,?1)；单调递增区间为(?1,0)，(0,??)．?????8

分

当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1，或x?1a?1．

1a?1,??)；单调递增区

② 当?1?a?0时，f(x)的单调递减区间为(??,?1)，(间

(0,1a?1为(?，

)． ??????10分

③ 当a?0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间． ??????

11分

④ 当a?0时，f(x)的单调递减区间为(?1,0)，(0,(??,?1)(1a?11a?1)；单调递增区间为

，

,??)． ??????

13分

19.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由 2分

59?e?2a?ba222?1?ba22， 得

ba?23. ??????

依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2，故a?3. ??????

4分

所x2以椭圆C的方程是

9?y24?1. ??????5分

（Ⅱ）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2.

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立， 消去

22x得

(4m?9)y?16my?20?0. ??????7分

所以 y1?y2?8分 ?16m4m?92，y1y2??204m?92. ??????

若PF平分?APB，则直线PA，PB的倾斜角互补， 所

kPA?kPB?0. ??????9分

以

设P(a,0)，则有

y1x1?a?y2x2?a?0.

将 x1?my1?2，x2?my2?2代入上式， 整理得

2my1y2?(2?a)(y1?y2)(my1?2?a)(my2?2?a)?0，

所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0. ??????

12分

将 y1?y2??16m4m?92，y1y2??204m?92代入上式，

整理得 (?2a?9)?m?0. ??????

13分

由于上式对任意实数m都成立，所以 a?992.

综上，存在定点P(,0)，使PM平分?APB. ??????

2

14分

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：数列A3:4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；

2,0,2；?．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ??????

2分

数列A4:1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ?????

?3分

（Ⅱ）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．??????4分

若a1?a2?a3，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ?????

5分

当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，

则A3为常数列”．

当a1?a2?a3时，数列T(A3):a1?a2,a2?a3,a1?a3．

由数列T(A3)为常数列得a1?a2?a2?a3?a1?a3，解得a1?a2?a3，从而数列A3也 为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，

它变换之前的数列也为常数列，可知数列列． ??????8分

所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．

（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列T(An)的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n?3”．

证明：记数列An中最大项为max(An)，则0?ai?max(An)．

A3也为常数

令Bn?T(An)，bi?ap?aq，其中ap?aq． 因为aq?0， 所以bi?ap?max(An)，

故max(Bn)?max(An)，证毕． ??????

9分

现将数列A4分为两类．

第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此

时由引理可知，max(B4)?max(A4)?1．

第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)?max(A4)． 下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a?0)．（其它情形同理） ① 当数列A4中只有一项为0时，

b,|bc?|,c若A4:0,a,b,c(a?b,a?c,bc?0)，则T(A4):a,a?，此数列各项均不

为0

或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若

A4:0,a,a,b(a?b,b?0)，则T(4A)?:a,a0；b,bT(T(A4)):a,a?b,|a?2b|,a?b

此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

b,ab?,b若A4:0,a,b,a(a?b,b?0)，则T(A4):a,a?，此数列各项均不为0，为

第一 类数列；

,0,0,若A4:0,a,a,a，则T(A4):aaT(T(A4)):a,0,a,0；T(T(T(A4))):a,a,a,a，；

此数列各项均不为0，为第一类数列．

② 当数列A4中有两项为0时，若A4:0,a,0,b(a?b?0)，则T(A4):a,a,b,b，此数列

各项均不为0，为第一类数列；

若A4:0,a,b,0(a?b?0)，则T(A):a,a?b,b,0，T(T(A)):b,|a?2b|,b,a，此数列

各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③ 当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0,a,0,0，则T(A):a,a,0,0，

T(T(A)):0,a,0,a，T(T(T(A))):a,a,a,a，此数列各项均不为0，为第一类数列．

总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经

历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从

而

结

束． ??????13分

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