东北三省四市教研联合体高三数学一模试卷（文科）

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。2017年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x∈Z|﹣2＜x＜4}，则A∩B=（ ） A．{x|0＜x＜4} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．? 2．复数z满足（z﹣i）（5﹣i）=26，则z的共轭复数为（ ） A．﹣5﹣2i B．﹣5+2i C．5﹣2i 3．=2sin已知函数f（x）（ωx+

D．5+2i

）（ω＞0）的周期为π，则下列选项正确的是（ ）

A．函数f（x）的图象关于点（B．函数f（x）的图象关于点（﹣C．函数f（x）的图象关于直线x=

，0）对称 ，0）对称 对称 对称

D．函数f（x）的图象关于直线x=﹣

4．已知命题p：函数y=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上单调递减，命题q：函数y=2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q

B．（￢p）∨（￢q）

C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）

5．b20b21=4，已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a2016+a2017=π，则tanA．

B．

=（ ） C．1

D．﹣1

6．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（则输入的n的值为（ ）

，

），

A．7 B．6 C．5 D．4

的最小值为（ ）

7．已知a＞0，b＞0，则A． B．1

C．2

D．4

8．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的

棱长度之和为（ ）

A．6 B．4 C．2+2 D．2+2

9．已知实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，则函数y=ax3+ax2+b有三个零点的概率为（ ） A．

B． C． D．

10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为

，则这个球的表面积为（ ）

A． B．4π C．

﹣

D．

11．设双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲

线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离等于虚轴长，则双曲线的离心率e等于（ ） A．

B．

C．2

D．

12．定义域为R的函数f（x）=

，若关于x的函数y=3f2（x）+2bf

（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ） A．（﹣2，﹣

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．两个单位向量，满足⊥，且⊥（x+），则|2﹣（x+1）|= ． 14．如果两组数a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数分别是a和b，那么一组数a1+3b1，a2+3b2，…，an+3bn的平均数是 ．

15．已知抛物线ny2=x（n＞0）的准线与圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0相切，则n的值为 ．

） B．（﹣2，0） C．（﹣3，﹣） D．（﹣，+∞）

16．观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…则归纳上述求和的一般公式13+23+33+…+n3= ．

三、解答题

17．已知f（α）=cosα

+sinα

（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）； （Ⅱ）当α∈（

，π）时，求f（α）的最大值．

18．某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：

组数 分组 19题满分人数 19题满分人数占本组人数比例

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 [105，110） [110，115） [115，120） [120，125） [125，130） [130，135） 15 30 x 100 120 195 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 y （Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；

（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取6份进行展出，并从6份试卷中选出两份作为优秀试卷，求优秀试卷分别来自两个分数段的概率．

19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=别为A1C1与B1C的中点，且侧面ABB1A1⊥底面ABC． （Ⅰ）证明：MN∥平面ABB1A1 （Ⅱ）求三棱柱B1﹣ABC的体积．

，M，N分

20．已知椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：y=kx+1（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到

直线l的距离为，求△BOC的面积．

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax+1（a∈R） （Ⅰ）讨论函数g（x）=x2+f（x）的单调性； （Ⅱ）若a=，证明：|f（x）﹣1|＞

【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．已知曲线C：

kx﹣y+k=0，l2：cosθ﹣2sinθ=（θ为参数），直线l1：

+．

（Ⅰ）写出曲线C和直线l2的普通方程；

（Ⅱ）l1与C交于不同两点M，N，MN的中点为P，l1与l2的交点为Q，l1恒过点A，求|AP|?|AQ|

【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数f（x）=|x+（Ⅰ）证明：f（x）≥2

；

|+|x﹣a|（a＞0）

（Ⅱ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集．

2017年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x∈Z|﹣2＜x＜4}，则A∩B=（ ） A．{x|0＜x＜4} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．? 【考点】交集及其运算．

【分析】根据指数函数的值域求出集合A，化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．

【解答】解：集合A={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}， B={x∈Z|﹣2＜x＜4}={﹣1，0，1，2，3}， 则A∩B={1，2，3}． 故选：B．

2．复数z满足（z﹣i）（5﹣i）=26，则z的共轭复数为（ ） A．﹣5﹣2i B．﹣5+2i C．5﹣2i

D．5+2i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】解：∵（z﹣i）（5﹣i）=26， ∴z﹣i=则z=5+2i， ∴

．

，

故选：C．

3．=2sin已知函数f（x）（ωx+ ）（ω＞0）的周期为π，则下列选项正确的是（ ）

A．函数f（x）的图象关于点（B．函数f（x）的图象关于点（﹣C．函数f（x）的图象关于直线x=

，0）对称 ，0）对称 对称 对称

D．函数f（x）的图象关于直线x=﹣【考点】正弦函数的对称性． 【分析】根据函数f（x）=2sin（ωx+对各选择考查一下即可．

【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+即T=∴ω=2．

则f（x）=2sin（2x+由对称轴方程：2x+得：x=

）， =

，

）（ω＞0）的周期为π，求解ω可得解析式，

）（ω＞0）的周期为π，

，（k∈Z）

，（k∈Z）

经考查C，D选项不对． 由对称中心的横坐标：2x+得：x=

，（k∈Z）

，0）．

=kπ，（k∈Z）

当k=0时，可得图象的对称中心坐标为（﹣故选：B．

4．已知命题p：函数y=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上单调递减，命题q：函数y=2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q

B．（￢p）∨（￢q）

C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）

【考点】复合命题的真假．

【分析】利用函数的单调性与奇偶性先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真

假的判定方法即可得出．

【解答】解：命题p：函数y=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上单调递减，是真命题； 命题q：函数y=2cosx是偶函数，是真命题． 则下列命题中为真命题的是p∧q． 故选：A．

5．b20b21=4，已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a2016+a2017=π，则tanA．

B．

=（ ） C．1

D．﹣1

【考点】等差数列与等比数列的综合．

【分析】由等差数列的性质可得a1+a4032=a2016+a2017=π，由等比数列的性质可得b19b22=b20b21=4．再由正切函数值，即可得到所求值． 【解答】解：数列{an}为等差数列，a2016+a2017=π， 可得a1+a4032=a2016+a2017=π， 数列{bn}为等比数列，b20b21=4， 可得b19b22=b20b21=4． 则tan故选：A．

6．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（则输入的n的值为（ ）

，

），

=tan

=

．

A．7 B．6 C．5 D．4

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（n值．

【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行循环体，S=，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行循环体，S=，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行循环体，S=，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行循环体，S=判断5＞n不成立，执行循环体，S=判断6＞n不成立，执行循环体，S=…

由于输出的S∈（≤n＜6，

可得输入的正整数n的值为5．

，

），可得：当S=

，k=6时，应该满足条件6＞n，即：5，k=4+1=5． ，k=4+1=6． ，k=4+1=7．

，

）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的

故选：C．

7．已知a＞0，b＞0，则A． B．1

C．2

D．4

的最小值为（ ）

【考点】基本不等式．

【分析】构造基本不等式的性质即可求解． 【解答】解：由∵a＞0，b＞0， ∴则故选D

8．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的

的最小值为4．

=4，当且仅当a+2b=2时取等号． =

棱长度之和为（ ）

A．6 B．4 C．2+2 D．2+2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案 【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，

其中底面△ABC为俯视图中的等腰直角三角形，腰长为2，高为4，所以三棱锥的最短棱为2，最长棱为

；

；

故最长的棱和最短的棱长度之和为2+2

故选C．

9．已知实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，则函数y=ax3+ax2+b有三个零点的概率为（ ） A．

B． C． D．

【考点】利用导数研究函数的极值；简单线性规划；几何概型．

【分析】由函数有极值可得b＜a2，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．

【解答】解：对y=ax3+ax2+b求导数可得y′=ax2+2ax，令ax2+2ax=0，可得x=0，或x=﹣2，0＜a＜1，

x=﹣2是极大值点，x=0是极小值点，函数y=ax3+ax2+b有三个零点，可得

，即：

，

画出可行域如图：满足函数y=ax3+ax2+b有三个零点，如图深色区域，实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，为长方形区域，所以长方形的面积为：2，实数区域的面积为：

∴所求概率为P==故选：A．

= ，

10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为A．

，则这个球的表面积为（ ）

D．

B．4π C．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上， 且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°， ∴BC=

，

∴△ABC外接圆半径2r=2，即r=1， ∴S△ABC=×1×1×sin120°=

，

小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，

所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=∴DQ=3，

设球的半径为R，则

在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（3﹣R）2，∴R=， ∴球的表面积为故选D．

=

，

，

11．设双曲线﹣（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲

线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离等于虚轴长，则双曲线的离心率e等于（ ） A．

B．

C．2

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求出直线BD的方程，可得D的坐标，利用D到直线BC的距离对于虚轴长的2倍，可得方程，即可求出双曲线的离心率e的值． 【解答】解：由题意，B（c，令y=0，可得x=c﹣

），直线BD的方程为y﹣

，0），

=（x﹣c），

，根据对称性，可得D（c﹣

∵D到直线BC的距离等于虚轴长的2倍， ∴∴e=

=4b，∴c2﹣a2=4a2， ，

故选D．

12．定义域为R的函数f（x）=

，若关于x的函数y=3f2（x）+2bf

（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ） A．（﹣2，﹣

） B．（﹣2，0） C．（﹣3，﹣

） D．（﹣

，+∞）

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】作函数f（x）=

的图象，结合图象可知方程3t2+2bt+1=0

有2个不同的且在（0，1）上的实数根，从而解得b的范围． 【解答】解：∵函数f（x）=

，作出它的图象如图所示：

关于x的函数y=3f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，

则令t=f（x），则关于t的方程3t2+2bt+1=0在（0，1）上有2个不同的解． 即函数g（t）=3t2+2bt+1在（0，1）上有2个不同零点，

故有，求得﹣2＜b＜﹣，

故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．两个单位向量，满足⊥，且⊥（x+），则|2﹣（x+1）|= 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】两个单位向量，满足⊥，不妨设=（1，0），=（0，1）．利用向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质即可得出．

【解答】解：两个单位向量，满足⊥，不妨设=（1，0），=（0，1）． ∵⊥（x+），∴?（x+）=（1，0）?（x，1）=x=0，解得x=0． ∴2﹣（x+1）=（2，﹣1）． 则|2﹣（x+1）|=故答案为：

14．如果两组数a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数分别是a和b，那么一组数a1+3b1，a2+3b2，…，an+3bn的平均数是 a+3b ．

．

=

．

．

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】根据a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数写出a1+3b1，a2+3b2，…，an+3bn的平均数即可．

【解答】解：数据a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数分别是a和b， 则a1+a2+…+an=na， b1+b2+…+bn=nb；

∴（a1+3b1）+（a2+3b2）+…+（an+3bn） =（a1+a2+…+an）+3（b1+b2+…+bn） =na+3nb =n（a+3b），

∴数据a1+3b1，a2+3b2，…，an+3bn的平均数是a+3b． 故答案为：a+3b．

15．已知抛物线ny2=x（n＞0）的准线与圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0相切，则n的值为 ．

【考点】圆与圆锥曲线的综合．

【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得n．

【解答】解：由x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0，得 （x﹣4）2+（y﹣2）2=25，

∴圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0是以（4，2）为圆心，以5为半径的圆， ∵抛物线ny2=x的准线x=∴4﹣（﹣

与圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0相切，

）=5，即n=．

故答案为：．

16．观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…则归纳上述求和的一般公式13+23+33+…+n3= （1+2+3+…+n）2=[【考点】归纳推理．

]2 ．

【分析】左边是从1开始连续自然数的立方的和，右边是左边的所有自然数的和的平方，根据此规律列式计算即可得解．

【解答】解：∵13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102， ∴13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=[故答案为（1+2+3+…+n）2=[

三、解答题

17．已知f（α）=cosα

+sinα

]2．

]2．

（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）； （Ⅱ）当α∈（

，π）时，求f（α）的最大值．

【考点】三角函数的最值；三角函数的化简求值．

【分析】（Ⅰ）根据当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0，即可化简． （Ⅱ）当α∈（解其最大值．

【解答】解：（Ⅰ）当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0， f=cosα

+sin

（Ⅱ）当α∈（那么：则sin（

）∈（+sinα

（

=cosα

=sinα﹣1+1﹣cosα=

sin（

α+sinα

） sin（

）

）=cosα?

，π）时，求出f（α）内层函数的范围，利用三角函数的性质求

，π）时，由（Ⅰ）可得f（α）=

， ，1] ．

∴f（α）的最大值为

18．某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：

组数 分组 19题满分人数 19题满分人数占本组人数比例 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 [105，110） [110，115） [115，120） [120，125） [125，130） [130，135） 15 30 x 100 120 195 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 y （Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；

（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取6份进行展出，并从6份试卷中选出两份作为优秀试卷，求优秀试卷分别来自两个分数段的概率．

【考点】频率分布直方图；频率分布表． 【分析】（Ⅰ）根据频率=

，即可求出n，x，y的值，

（Ⅱ）先根据分层抽样求出第二组抽取的试卷份数为2份，第三组抽取的试卷份数为4份，并记第二组抽取的2份试卷为a，b，第三组抽取的4份试卷为A，B，C，D，一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．

【解答】解：（Ⅰ）图形如图所示：

由题意和频率分布直方图可得，第一组的频率为0.05，第一组的人数为∴

=0.05，

=50

解的n=1000，

第三组的频率为0.03×5=0.15，则第三组的人数为1000×0.15=150 ∴x=150×0.4=60

第6组的频率为1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04+0.04）×5=0.30， ∴第六组的人数为1000×0.30=300， ∴y=

=0.65，

（Ⅱ）由[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取6份进行展出，

∵第二组和第三组的试卷份数为比为30：60=1：2，

∴第二组抽取的试卷份数为2份，第三组抽取的试卷份数为4份，

并记第二组抽取的2份试卷为a，b，第三组抽取的4份试卷为A，B，C，D， aA，aB，则从6份试卷中选出两份作为优秀试卷，共有15种基本事件，分别为ab，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，

其中优秀试卷分别来自两个分数段有8种，分别为aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，

故优秀试卷分别来自两个分数段的概率为

19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=别为A1C1与B1C的中点，且侧面ABB1A1⊥底面ABC． （Ⅰ）证明：MN∥平面ABB1A1 （Ⅱ）求三棱柱B1﹣ABC的体积．

，M，N分

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，从而PN∥AB1，PM∥AA1，从而平面PMN∥平面AB1A1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．

（Ⅱ）连结PB，过B1作BO⊥平面ABC，推导出O是AB中点，由此能求出三棱柱B1﹣ABC的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，

∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为A1C1与B1C的中点， ∴PN∥AB1，PM∥AA1， ∵PM∩PN=P，AB1∩AA=A，

PM，PN?平面PMN，AB1，AA1?平面AB1A1， ∴平面PMN∥平面AB1A1，

∵MN?平面PMN，∴MN∥平面ABB1A1． 解：（Ⅱ）连结PB，过B1作BO⊥平面ABC， ∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=

，

M，N分别为A1C1与B1C的中点，且侧面ABB1A1⊥底面ABC． ∴△ABB1是边长为2的等边三角形，∴O是AB中点，∴B1O=∵

∴三棱柱B1﹣ABC的体积V=

=

，

=

=1．

，

20．已知椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：y=kx+1（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为

，求△BOC的面积．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（1）利用椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是

，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．

，求出k，再将直线l与椭圆联立，求出B、

（2）先由原点O到直线l的距离为

C坐标，转化求解三角形的面积即可．

【解答】解：（1）椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是∴b=1，c=

，则a=

， +y2=1．

，

∴所求椭圆方程为

（2）设C（x1，y1），B（x2，y2）．由已知可得：得k=

．不妨取k=

．

又由，消去y得：

x2+

x=0，∴x1=0，y1=1，x2=﹣

=1．

，y2=0，∴|AB|==2．

△BOC的面积：当k=﹣

时，所求三角形的面积也是1．

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax+1（a∈R） （Ⅰ）讨论函数g（x）=x2+f（x）的单调性；

（Ⅱ）若a=，证明：|f（x）﹣1|＞+．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，g′（x）==2x2﹣2ax+1的取值情况即可； （Ⅱ）问题转化为证明：|lnx﹣x|＞=

+，令m（x）=lnx﹣x，（x＞0），n（x）

（x＞0），再讨论h（x）

+，根据函数的单调性证明即可．

（x＞0），记h（x）=2x2﹣2ax+1，

【解答】（Ⅰ）解：g′（x）=+2x﹣2a=

①当a≤0时，因为x＞0，所以h（x）＞1＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当0＜a≤

时，因为△=4（a2﹣2）≤0，所以h（x）≥0，函数g（x）在（0，

+∞）上单调递增； ③当a＞

时，由

，解得x∈（

，

），

所以函数f（x）在区间（，）上单调递减，

在区间（0，），（，+∞）上单调递增．

+，

（Ⅱ）证明：a=时，问题转化为证明：|lnx﹣x|＞令m（x）=lnx﹣x，（x＞0），m′（x）=﹣1=

，

令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1， 故m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故m（x）＜m（1）=﹣1， 故|lnx﹣x|＞1， 令n（x）=

+，则n′（x）=

，

令n′（x）＞0，解得：0＜x＜，令n′（x）＜0，解得：x＞， 故n（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

故n（x）＜n（）=﹣e+＜0， 故：a=时，|f（x）﹣1|＞

【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．已知曲线C：

kx﹣y+k=0，l2：cosθ﹣2sinθ=（θ为参数），直线l1：

+．

（Ⅰ）写出曲线C和直线l2的普通方程；

（Ⅱ）l1与C交于不同两点M，N，MN的中点为P，l1与l2的交点为Q，l1恒过点A，求|AP|?|AQ|

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可写出曲线C和直线l2的普通方程； l1的参数方程（Ⅱ）

即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C：﹣4）2=16； l2：cosθ﹣2sinθ=

普通方程为x﹣2y﹣4=0；

代入圆C方程可得t2+4（cosα﹣2sinα）t﹣12=0，

l2的方程，代入圆C方程、利用参数的几何意义，

（θ为参数），普通方程为（x+3）2+（y

（Ⅱ）l1的参数方程t1+t2=﹣4（cosα﹣2sinα），

∴|AP|=|t1+t2|=|2（cosα﹣2sinα）| 代入l2的方程，可得t=|AQ|=|∴|AP|?|AQ|=10．

【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数f（x）=|x+（Ⅰ）证明：f（x）≥2

；

|+|x﹣a|（a＞0）

|，

（Ⅱ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集． 【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可；（Ⅱ）将a的值代入，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0， ∴f（x）=|x+当且仅当3a=即a=

|+|x﹣a|≥|x+2a+﹣x+a|=3a+≥2时”=“成立；

=2

，

（Ⅱ）a=1时，f（x）=|x+3|+|x﹣1|≥5， x≥1时，x+3+x﹣1≥5，解得：x≥， ﹣3＜x＜1时，x+3+1﹣x=4≥5，无解，

x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣x+1=﹣2x﹣2≥5，解得：x≤﹣， 故不等式的解集是{x|x≥或x≤﹣}．

2017年3月22日

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