命题及四种命题数学练习

§1.1 命题及四种命题

学习目标 1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；

2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题. 学习过程 一、新课导学 ※ 学习探究 1.在数学中,我们把用 、 、或

表达的，可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题 练习：下列语句中：

（1）若直线a//b，则直线a和直线b无公共点； （2）2?4?7

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若x2?1，则x?1；

（5）两个全等三角形的面积相等； （6）3能被2整除.

其中真命题有 ，假命题有 2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的 ，q叫做命题的 .

※ 典型例题

例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）指数函数是增函数吗？

（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；

（5）(?2)2?2；

（6）x?15.

命题有 ，真命题有 假命题有 .

例2 指出下列命题中的条件p和结论q： （1）若整数a能被2整除，则a是偶数；

（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分. 解：（1）条件p： 结论q： （2）条件p： 结论q： 变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假： （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等.

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※ 动手试试

1.判断下列命题的真假：

（1） 能被6整除的整数一定能被3整除；

（2） 若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形； （3） 二次函数的图象是一条抛物线；

（4） 两个内角等于45?的三角形是等腰直角三角形.

2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等； (2) 偶函数的图象关于y轴对称；

(3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.

小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假. 3.四种命题的概念

（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们

这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“ ”.

(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“ ” （3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的

两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“ ” 练习：下列四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为

例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子a?b,c?d，则a?c?b?d”.写出逆命题、

否命题、逆否命题.

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变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a?b是无理数，则a、b都是无理数”，写出它

的逆命题、否命题、逆否命题.

※ 动手试试

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假： （1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；

（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称.

二、总结提升： ※ 学习小结

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（ ）. A.x2?0 B.正弦函数是周期函数 C.x?{1,2,3,4,5} D.12?5

2.设M、N是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）. A.如果M?N，那么M?N?M B.如果M?N?N，那么M?N C.如果M?N，那么M?N?M D.M?N?N，那么N?M

3.下面命题已写成“若p，则q”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5

B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式 D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中：（1）2?2是有理数（2）2100是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是

5.将“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式，则p： ，q： 课后作业 1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1）若a,b都是偶数，则a?b是偶数；

（2）若m?0，则方程x2?x?m?0有实数根.

2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：

（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）矩形的对角线相等.

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§1.1 四种命题间的相互关系

学习目标 1．掌握四种命题的内在联系；

2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 学习过程 一、课前准备 复习1：四种命题 命题 原命题 表述形式 若p,则q (1) 逆命题 (2) 否命题 (3) 逆否命题 请填(1)（2）（3）空格. 复习2：判断命题“若a?0，则x2?x?a?0有实根”的逆命题的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究

1：分析下列四个命题之间的关系

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为

通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

2、四种命题的真假性

例1 以“若x2?3x?2?0，则x?2”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并

判断这些命题的真假并总结其规律性.

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通过上例真假性可总结如： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 假 四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： （1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.

(1)命题“在?ABC中，若AB?AC，则?C??B”的逆命题； （2）命题“若ab?0，则a?0且b?0”的否命题； （3）命题“若a?0且b?0，则ab?0”的逆否命题； （4）命题“若a?0且b?0，则a2?b2?0”的逆命题.

反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题

例1 证明:若x2?y2?0，则x?y?0. 、

变式：判断命题“若x2?y2?0，则x?y?0”是真命题还是假命题？

练习：证明：若a2?b2?2a?4b?3?0，则a?b?1.

例2 已知函数f(x)在(??,??)上是增函数,a,b?R,对于命题“若a?b?0，f(a)?f(b)?f?(a)?f?(.”b)

(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.

※ 动手试试

命题“如果x?a2?b2，那么x?2ab”的逆否命题是（ ） A.如果x?a2?b2，那么x?2ab B.如果x?2ab，那么x?a2?b2 C.如果x?2ab，那么x?a2?b2 D.如果x?a2?b2，那么x?2ab

三、总结提升：

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则

※ 学习小结

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 命题“若x?0且y?0，则xy?0”的否命题是（ ）. A.若x?0,y?0，则xy?0 B.若x?0,y?0，则xy?0

C.若x,y至少有一个不大于0，则xy?0

D.若x,y至少有一个小于0，或等于0，则xy?0 2. 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）. A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题

3. 用反法证明命题“2?3是无理数”时，假设正确的是（ ）. A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设2?3是有理数

4. 若x?1，则x2?1的逆命题是 否命题是 5.命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为

课后作业 1. 已知a,b是实数，若x2?ax?b?0有非空解集，则a2?4b?0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.

2.证明：在四边形ABCD中，若AB?CD?AC?CD，则AB?AC.

§1.2.1 充分条件与必要条件

学习目标 1. 理解必要条件和充分条件的意义；

2. 能判断两个命题之间的关系. 学习过程 一、课前准备 复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.

复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究

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探究任务：充分条件和必要条件的概念 问题：

1. 命题“若x?a2?b2，则x?2ab” （1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p，则q”的形式，则 P： q： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 2. 1.命题“若ab?0,则a?0” （1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p，则q”的形式，则

P： q： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.我们就说,由p推

出q,记作p?q,并且说p是q的 ,q是p的 试试：用符号“?”与“”填空： （1） x2?y2 x?y；

（2） 内错角相等 两直线平行；

（3） 整数a能被6整除 a的个位数字为偶数； （4） ac?bc a?b. ※ 典型例题

例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若x?1，则x2?4x?3?0；

（2）若f(x)?x，则f(x)在(??,??)上为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数.

练习：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若x?5，则x?10

例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？ （1）若x?y，则x2?y2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a?b，则ac?bc

练习：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？ （1）若a?5是无理数，则a是无理数； （2）若(x?a)(x?b)?0，则x?a.

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小结：判断命题的真假是解题的关键.

※ 动手试试

练1. 判断下列命题的真假.

（1）x?2是x2?4x?4?0的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin??sin?是???的充分条件； （4）ab?0是a?0的充分条件.

练2. 下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x?1，q：x?1?x?1； （2）p：|x?2|?3，q：?1?x?5；

（3）p：x?2，q：x?3?3?x；

（4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.

三、总结提升 ※ 学习小结

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

※ 知识拓展

设A,B为两个集合,集合A?B，那么x?A是x?B的 条件，x?B是x?A的 条件. 学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直

2.x,y?R，下列各式中哪个是“xy?0”的必要条件？（ ）.

A.x?y?0 B.x2?y2?0 C.x?y?0 D.x3?y3?0 3.平面?//平面?的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线a,a//?,a//? B.存在一条直线a,a??,a//?

C.存在两条平行直线a,b,a??,b??,a//?,b//? D.存在两条异面直线a,b,a??,b??,a//?,b//?

4.p:x?2?0,q：(x?2)(x?3)?0，p是q的 条件.

5. p：两个三角形相似；q：两个三角形全等，p 是q的 条件. 课后作业 1. 判断下列命题的真假 （1）“a?b”是“a2?b2”的充分条件；

||?|b”是“a2?b2”的必要条件. （2）“|a

2. 已知A?{x|x满足条件p}，B?{x|x满足条件q}. (1)如果A?B,那么p是q的什么条件? (2)如果B?A,那么p是q的什么条件?

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