历年高考湖南理科数学试卷和答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

21．设集合M?{?1,0,1}，N?{xx?x}，则M?N?

A．{0} B．{0,1} C．{?1,1} D．{?1,0,1} 【答案】B

【解析】?N??0,1? M={-1,0,1} ?M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出N??0,1?,再利用交集定义得出M∩N.

2．命题“若??A．若???4，则tan??1”的逆否命题是

?4，则tan??1 B．若???4，则tan??1

C．若tan??1，则??【答案】C

?4 D．若tan??1，则???4

【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若?p，则?q”，所以 “若α=α=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠

?，则tan4?”. 4【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ．．．

A B C D 【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.

4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi,yi)(i?1,2,?,n)，用最小二乘法建立的回归方程为

??0.85x?85.71，则下列结论中不正确y的是 ．．．

A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x,y)

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D

【解析】由回归方程为?y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相

??bx?a?bx?y?bx(a?y?bx)，所关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知y以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.

x2y25．已知双曲线C:2?2?1的焦距为10 ，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为

abx2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1 A．

20552080202080【答案】A

x2y2【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.

ab又?C 的渐近线为y??222bbx，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1??2，即a?2b. aax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.

205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

6．函数f(x)?sinx?cos(x??6)的值域为

A．[?2,2] B．[?3,3] C．[?1,1] D．[?【答案】B

【解析】f（x）=sinx-cos(x+

33,] 22?31?)?sinx?cosx?sinx?3sin(x?)，6226?sin(x?)???1,1?，?f(x)值域为[-3,3]. 6【点评】利用三角恒等变换把f(x)化成Asin(?x??)的形式，利用sin(?x??)???1,1?，求得f(x)的值域.

7．在?ABC中，AB?2，AC?3，AB?BC?1，则BC?

A．3 B．7 C．22 D．23 【答案】A

?????????????????????【解析】由下图知AB?BC= ABBCcos(??B)?2?BC?(?cosB)?1.

1?cosB??2BC.又由余弦定理知

AAB2?BC2?AC2cosB?，解得BC?3. 2AB?BC

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知

BC????????识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的

夹角为?B的外角.

8．已知两条直线l1:y?m和l2:y?8(m?0)，l1与函数y?log2x的图像从左至

2m?1右相交于点A,B，l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于点C,D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b．当m变化时，

b的最小值为 aA．162 B．82 C．834 D．434 【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=

8(m＞0)，y?log2x图像如下

2m?1?my?log2xC图，

由log2x= m，得x1?2,x2?2，

mDy?82m?1log2x= x3?2?8，得

2m?1AOB1y?m82m?1,x4?282m?1x.

依照题意得

8?2m?182m?1a?2?m?2,b?2?2mb,?a2?22?m?2m82m?182m?1?82m?1?22m?2m?82m?1.

?m?

b814111?m????4??3，?()min?82. a2m?12m?122228(m＞0)，y?log2x图像，结合图像可

2m?1【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=

解得.

二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．

题卡中对应题号后的横线上． ．．

（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9． 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1:??x?t?1,（t为参数）与曲线C2?y?1?2t?x?asin?,:??y?3cos?（?为参数，a?0）有一个公共点在x轴上，则a? ． 【答案】

3 2【解析】曲线C1：??x?t?1,3

直角坐标方程为y?3?2x，与x轴交点为(,0)；

2?y?1?2t?x?asin?,x2y2?1，其与x轴交点为(?a,0),(a,0)， 曲线C2 ：?直角坐标方程为2?a9y?3cos??由a?0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在X轴上，知a?3. 2【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线C1与曲线C2的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得.

10．不等式2x?1?2x?1?0的解集为 ． 【答案】?xx???1?? 4?1??3,(x??)?2?1?【解析】令f(x)?2x?1?2x?1，则由f(x)??4x?1,(??x?1)得f(x)?0的解集

2?3,(x?1)???为?xx???1??. 4?

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.

11．如图2，过点P的直线与⊙O相交于A,B两点．若PA?1，

DAB?2，PO?3，则⊙O的半径等于 ．

【答案】?xx???1?? 4?OB?ACP【解析】令f(x)?2x?1?2x?1，则由

1??3,(x??)?2??1?1?f(x)??4x?1,(??x?1)得f(x)?0的解集为?xx??.

4?2??3,(x?1)???【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.

（二）必做题（12～16题）

12．已知复数z?(3?i)（i为虚数单位)，则z? ． 【答案】10

22【解析】z?(3?i)=9?6i?i?8?6i，z?8?6?10.

222【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的a?bi(a,b?R)形式，利用

z?a2?b2求得.

13．(2x?【答案】-160 【解析】( 2x-1x)6的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）

161rr6?rr6?r)?C62(?1)rx3?r.)的展开式项公式是Tr?1?C6(2x)(?xx333由题意知3?r?0,r?3，所以二项展开式中的常数项为T4?C62(?1)??160.

【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

14．如果执行如图3所示的程序框图，输入x??1,n?3，则输出的数

S? ．

【答案】?4

【解析】输入x??1,n=3,，执行过程如下：i?2:S??6?2?3??3；

i?1:S??3(?1)?1?1?5；i?0:S?5(?1)?0?1??4，所以输出的是?4.

【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.

15．函数f(x)?sin(?x??)的导函数y?f?(x)的部分图象如图4所示，其中，P为图象

与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．

（1）若???6，点P的坐标为(0,33)，则?? ； 2ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在?ABC内的概率（2）若在曲线段?为 ．

【答案】（1）3；（2）

? 4【解析】（1）y?f?(x)??cos(?x??)，当???6，点P的坐标为（0，33）时 2?cos?6?33,???3； 22?（2）由图知AC?设曲线段

1?T????，S?ABC?AC???，设A,B的横坐标分别为a,b.

2222?x

轴所围成的区域的面积为

?ABC与

baS则

S??baf?(x)dx?f(x)?sin(?a??)?sin(?b??)?2，由几何概型知该点在△ABC

内的概率为P?S?ABC2???. S24?【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求?，

（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

16．设N?2(n?N,n?2)，将N个数x1,x2,?,xN依次放入编号为1,2,?,N的N个位

置，得到排列P0?x1x2?xN．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

n*NN和后个位置，得到排列P1?x1x3?xN?1x2x4?xN，将此22N个数，并对每段作C变换，得到P2；当2操作称为C变换．将P1分成两段，每段

2?i?n?2时，将Pi分成2i段，每段

N个数，并对每段作C变换，得到Pi?1．例如，2i当N?8时，P2?x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置． （1）当N?16时，x7位于P2中的第 个位置； （2）当N?2(n?8)时，x173位于P4中的第 个位置． 【答案】（1）6；（2）3?2【解析】（1）当N=16时,

n?4n?11

P0?x1x2x3x4x5x6?x16,可设为(1,2,3,4,5,6,?,16),

P1?x1x3x5x7?x15x2x4x6?x16,即为(1,3,5,7,9,?2,4,6,8,?,16),

P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6?x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,?,16), x7位于P2中的第6

个位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第3?2n?4?11个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量 顾客数（人） 结算时间（分钟/人） 1至4件 5至8件 30 1.5 9至12件 13至16件 17件及以上 25 2 x 1 y 2.5 10 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．

（Ⅰ）确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求

该顾客结算前的等候时间不超过（注：将频率视为概率） ．．．2.5分钟的概率．

【解析】（1）由已知,得25?y?10?55,x?y?35,所以x?15,y?20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

153303?,p(X?1.5?)?p,X(?1002010010201101)?p,X(?3?)? . p(X?2.5?100510010 p(X?1)?2512?)?,

1004X的分布为

X 1 1.5 2 2.5 3 33 10P 20 X的数学期望为

111 1054 ? E(X)?1331?1.?5??2?201041?2.5??513?. 1.910为该顾客前面

（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i?2,1)第i位顾客的结算时间，则

P(A)?P(X1X?P(1X?且12X?1.5?)P1X(?且1.25X. ?1?且2?1)由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)?P(X?(P2X?1)?P(?P2(X?1?1)1X?1) ?1)1.?5)P(?1X ?1.?5P)X(21)3333339??????. 202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知

25?y?10?100?55%,x?y?35,从而解得x,y，计算每一个变量对应的概率，从而求

得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.

18．（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，

AB?4，

BC?3，

AD?5，

?DAB??ABC?90?，E是CD的中点．

（Ⅰ）证明：CD?平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面

ABCD所成的角相等，求四棱锥P?ABCD的体积．

【解析】

?解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，BC?3，?ABC?90,得AC?5.

又AD?5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD?AE.

?PA?平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA?CD.

而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG??CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是?BPF为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG?AE.

由PA?平面ABCD知，?PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.

AB?4,AG?2,BG?AF,由题意，知?PBA??BPF,

因为sin?PBA?PABF,sin?BPF?,所以PA?BF. PBPB由?DAB??ABC?90?知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GD?BC?3.于是AG?2.

在RtΔBAG中，AB?4,AG?2,BG?AF,所以

AB21685 BG?AB?AG?25,BF???.

BG25522于是PA?BF?85. 51?(5?3)?4?16,所以四棱锥P?ABCD的体积为 2又梯形ABCD的面积为S? V?

11851285?S?PA??16??. 33515

解法2：如图（2），以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA?h,则相关的各点坐标为：

A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

????????????（Ⅰ）易知CD?(?4,2,0),AE?(2,4,0),AP?(0,0,h).因为

????????????????CD?AE??8?8?0?0,CD?AP?0,所以CD?AE,CD?AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD?平面PAE.

????????(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，CD,AP分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与

平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以

????????????????????????????????CD?PBPA?PBcos?CD,PB??cos?PA,PB?,即?????????????????.

CD?PBPA?PB????????????由（Ⅰ）知，CD?(?4,2,0),AP?(0,0,?h),由PB?(4,0,?h),故

?16?0?025?16?h解得h?2?0?0?h2h?16?h2.

85. 51?(5?3)?4?16，所以四棱锥P?ABCD的体积为 2又梯形ABCD的面积为S? V?1185?S?PA??16??3351285. 151?S?PA算得体3【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA?CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由V?积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)?a1?a2???an，

B(n)?a2?a3???an?1，C(n)?a3?a4???an?2，n?1,2,?.

（Ⅰ）若a1?1,a2?5，且对任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求

数列{an}的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N，三

个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

【解析】

解（１）对任意n?N,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以 B(n)?A(n)?C(n)?B(n),

?**即an?1?a1?an?2,亦即an?2?an?1?a2?a1?4.

故数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列.于是an?1?(n?1)?4?4n?3. （Ⅱ）（１）必要性：若数列?an?是公比为ｑ的等比数列，则对任意n?N，有

?an?1?anq.由an?0知，A(n),B(n),C(n)均大于０，于是

B(n)a2?a3?...?an?1q(a1?a2?...?an)???q, A(n)a1?a2?...?ana1?a2?...?anC(n)a3?a4?...?an?2q(a2?a3?...?an?1) ???q,

B(n)a2?a3?...?an?1a2?a3?...?an?1即

B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)?（２）充分性：若对于任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列， 则

? B(n)qA(n),?C(n)，q Bn于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),即 an?2?qan?1?a?2a.

由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0. 因为an?0，所以

an?2a2??q，故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列， an?1a1综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数

A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

20．（本小题满分13分）

某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产

B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．

（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最

短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

T1(x),T2(x),T3(x),由题设有

T01000200011(x)?2?3006x?x,T2(x)?kx,T503(x?)200??(1k) 0x,期中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数.

（Ⅱ）完成订单任务的时间为f(x)?max?T1(x),T2(x),T3(x)?,其定义域为

???x0?x?2001?k,x?N????.易知，T1(x),T2(x)为减函数，T3(x)为增函数.注意到

T22(x)?kT1(x),于是

（1）当k?2时，T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T?10001(x),T3(x)??max??x,1500?200?3x??， 由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当

1000x?1500200?3x时f(x)取得最小值，解得 x?4009.由于 44?4009?45,而f(44)?T?2503001(44)11,f(45)?T3(45)?13,f(44)?f(45).

故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)?25011.

（2）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?3，T(x)?37550?x,?(x)?max?T1(x),T(x)?易知T(x)为增函数，则 f(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)?

此时

?1000375???(x)?max?,?.

?x50?x?1000375400?时?(x)取得最小值，解得x?.由于x50?x1140025025037525036??37,而?(36)?T1(36)??,?(37)?T(37)??,

119111311250此时完成订单任务的最短时间大于.

11由函数T1(x),T(x)的单调性知，当

（3）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?1，此时

?2000750?f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知，

x100?x??2000750800?时f(x)取得最小值，解得x?.类似（1）的讨论.此时 x100?x11250250完成订单任务的最短时间为，大于.

911综上所述，当k?2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数

当

分别为44,88,68.

【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

21．（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2:(x?5)2?y2?9外，且对C1上任意一点M，M到直线x??2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)(y0?3?)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相

交于点A,B和C,D.证明：当P在直线x??4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(x,y)，由已知得

x?2?(x?5)2?y2?3，

易知圆C2上的点位于直线x??2的右侧.于是x?2?0，所以

(x?5)2?y2?x?5.

化简得曲线C1的方程为y2?20x.

解法2 ：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x??5的距离，因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x??5为准线的抛物线，故其方程为y2?20x.

（Ⅱ）当点P在直线x??4上运动时，P的坐标为(?4,y0)，又y0??3，则过P且与圆

C2相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

y?y0?k(x?4),即kx-y+y0+4k=0.于是

5k?y0?4kk?1整理得

272k2?18y0k?y0?9?0. ①

2?3.

设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是方程①的两个实根，故

k1?k2??

18y0y??0. ② 724?k1x?y?y0?4k1?0,由?得k1y2?20y?20(y0?4k1)?0. ③ 2y?20x,?设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4，则是方程③的两个实根，所以

y1?y2?同理可得

20(y0?4k1). ④

k1y3?y4?于是由②，④，⑤三式得

20(y0?4k2). ⑤

k2y1y2y3y4?400(y0?4k1)(y0?4k2)

k1k2?2400?y0??4(k1?k2)y0?16k1k2??k1k222400??y0?y0?16k1k2??

?k1k26400.

所以，当P在直线x??4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A,B,C,D四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.

22．（本小题满分13分）

ax已知函数f(x)?e?x，其中a?0.

（Ⅰ）若对一切x?R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合.

（Ⅱ）在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1?x2)，记直线AB的

斜率为k.问：是否存在x0?(x1,x2)，使f?(x)?k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

ax【解析】（Ⅰ）若a?0，则对一切x?0，f(x)?e?x?1，这与题设矛盾，又a?0，

故a?0.

ax而f?(x)?ae?1,令f?(x)?0,得x?11ln. aa1111ln时，f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?ln时，f?(x)?0,f(x)单调递增，aaaa1111111故当x?ln时，f(x)取最小值f(ln)??ln.

aaaaaaa当x?于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当

111?ln?1. ① aaa令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt.

当0?t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递减.

故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1.因此，当且仅当综上所述，a的取值集合为?1?.

1?1即a?1时，①式成立. af(x2)?f(x1)eax2?eax1（Ⅱ）由题意知，k???1.

x2?x1x2?x1eax2?eax1令?(x)?f?(x)?k?ae?,则

x2?x1axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1?, ??x2?x1eax2a(x1?x2)??(x2)?e?a(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?e?t?1，则F?(t)?et?1.

当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增.

t故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0.

t从而ea(x2?x1)?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)eax1eax2?0,?0, ?a(x1?x2)?1?0,又

x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.

因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在c?(x1,x2)，

1eax2?eax1使?(c)?0，故这样的c是唯一的，且c?ln.??(x)?ae?0,?(x)单调递增，

aa(x2?x1)2ax1eax2?eax1故当且仅当x?(ln,x2)时， f?(x0)?k.

aa(x2?x1)综上所述，存在x0?(x1,x2)使f?(x0)?k成立.且x0的取值范围为

1eax2?eax1(ln,x2). aa(x2?x1)【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(11111ln)??ln对一切.x∈R，f(x) ?1恒成立转化为aaaaaf(x)min?1，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函

数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(湖南卷)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )．

ππππA．12 B．6 C．4 D．3

?y?2x,?4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件?x?y?1,则x＋2y的最大值是( )．

?y??1.?555A．2 B．0 C．3 D．2

?5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋5的图象的交点个数为( )．

A．3 B．2 C．1 D．0

6．(2013湖南，理6)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )．

A．[2?1，2?1] B．[2?1，2?2] C．[1，2?1] D．[1，

2

2?2]

7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．

2?12?1A．1 B．2 C．2 D．2

8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )．

A．2 B．1

8C．3

4D．3

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．

(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)

9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：?圆C：??x?t,(t为参数)过椭

?y?t?a?x?3cos?,(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为__________．

?y?2sin?10．(2013湖南，理10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________．

11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的?O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．

(二)必做题(12～16题)

12．(2013湖南，理12)若x2dx＝9，则常数T的值为__________． 13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．

?T0x2y2?2?12b14．(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C：a(a＞0，b

＞0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小

内角为30°，则C的离心率为__________．

15．(2013湖南，理15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan

1n－2，n∈N*，则

(1)a3＝__________；

(2)S1＋S2＋?＋S100＝__________.

16．(2013湖南，理16)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.

(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为__________；

(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)

①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0；

xxx②?x∈R，使a，b，c不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1,2)，使f(x)＝0.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)?sin?x?＝2sin2??π?π??g(x)?cosx????，

6?3??x. 2(1)若α是第一象限角，且f(α)＝

33，求g(α)的值； 5(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)证明：AC⊥B1D；

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．

(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：

(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

2

21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E：x＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.

?????????2

(1)若k1＞0，k2＞0，证明：FM·FN＜2p；

75(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．

522．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝

x?a.

x?2a(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；

(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(湖南卷)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：B

2

解析：z＝i＋i＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B．

2．答案：D

解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．

3．答案：D 解析：由2asin B＝3b得2sin Asin B＝3sin B，故sin A＝又△ABC为锐角三角形，故A＝

π2π3，故A＝或.

332π. 34．答案：C

解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．

1dx?， 22145?12?由线性规划知识可得最优点为?,?，所以dmax＝??.

333?33?令x＋2y＝d，即y??

5．答案：B

解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)， 则y＝2ln x，y＝x2－4x＋5，联立得2ln x＝x2－4x＋5，令h(x)＝x2－4x＋5－2ln x(x＞0)，

2＝0得x1＝1?2，x2＝1?2(舍)． x当h′(x)＜0时，即x∈(0,1?2)时，h(x)单调递减； 当h′(x)＞0，即x∈(1?2，＋∞)时，h(x)单调递增．

由h′(x)＝2x－4－

又∵h(1)＝2＞0，h(2)＝1－2ln 2＜0，h(4)＝5－2ln 4＞0， ∴h(x)与x轴必有两个交点，故答案为B．

6．答案：A

2

解析：由题意，不妨令a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝1得(x－1)＋(y222

－1)＝1，|c|＝x?y可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1

为半径的圆上．如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时最远，而PO＝2?1，P′O＝2?1，故选A．

7．答案：C

解析：根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．

故正视图的面积为S＝2cos θ(0≤θ≤∴1≤S≤2， 而π)， 4

2?12?1. <1，故面积不可能等于228．答案：D

解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．

则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)． 设△ABC的重心为D，则D点坐标为?

?44?,?. ?33?设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上， ∴kPD?kP2D， 14?4?m即， ?344?m?4334解得，m＝或m＝0.

3当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．

43∴m＝

4. 3二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．

(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．答案：3

x2y2解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为??1，

94所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.

10．答案：12

2222222

解析：由柯西不等式得(1＋1＋1)(a＋4b＋9c)≥(a＋2b＋3c)，

222222

即a＋4b＋9c≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a＋4b＋9c的最小值为12. 11．答案：3解析：如图所示，取CD中点E，连结OE，OC． 25，OC＝7. 222

由圆内相交弦定理知PD·PC＝PA·PB， 所以PC＝4，CD＝5，则CE＝

3?5?所以O到CD距离为OE＝?7?????. 2?2?(二)必做题(12～16题) 12．答案：3解析：∵?13T13?13?2

x|0＝T－0＝9，∴T＝3. x?'＝x2，∴?T0xdx＝33?3?13．答案：9

解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3； a＝3不满足a＞8，故a＝5； a＝5不满足a＞8，故a＝7；

a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 14．答案：3 解析：不妨设|PF1|＞|PF2|，由??|PF1|?|PF2|?6a,可得

|PF|?|PF|?2a?12?|PF1|?4a, ?|PF|?2a.?2∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，

?2c?2??4a?2??2a?2∴cos 30°＝，

2?2?4a222

整理得，c＋3a－23ac＝0，即e－23e＋3＝0，∴e?3. 11?1?15．答案：(1)? (2)?100?1?

163?2?16．答案：(1){x|0＜x≤1} (2)①②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：f(x)?sin?x?＝

??π?π???cosx???? 6?3??1133sin x－cos x＋cos x＋sin x

2222＝3sin x，

x＝1－cos x. 2333(1)由f(α)＝得sin α＝.

55g(x)＝2sin2又α是第一象限角，所以cos α＞0. 从而g(α)＝1－cos α＝1－1?sin2? ＝1?41?. 55(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x≥1－cos x，即3sin x＋cos x≥1.

π?1??. 6?2ππ5π从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

6662π即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.

3于是sin?x???故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为

2π??x|2kπ?x?2kπ?,k?Z?. ?3??18．解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，

边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有

1C13C12＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为

82?. 369(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．

因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)， 所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．

记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则 n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3. 由P(X＝k)＝

nk得 NP(X＝1)＝

246231?，P(X＝4)＝?. ，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝

1515155155Y P 51 48 45 42 故所求的分布列为

2 154 152 51 5所求的数学期望为

242134?64?90?42＋48×＋45×＋42×＝＝46. 151555519．解法1：(1)如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.

E(Y)＝51×

又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D． 而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D．

(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1

所成的角(记为θ)．

如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1. 从而A1B1⊥AD1.

又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1. 故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D．

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.

在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB．从而Rt△ABC∽Rt△DAB， 故

ABBC?.即AB＝DA?BC?3. DAAB连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，

222222

且B1D＝BB1＋BD＝BB1＋AB＋AD＝21， 即B1D＝21. 在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝从而sin θ＝

21AD321，即cos(90°－θ)＝. ??7B1D72121. 721. 7即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为

解法2：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．

?????????????从而B1D＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)．

????????2

因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t＋3＋0＝0.解得t?3或t??3(舍去)．

?????????于是B1D＝(?3，3，－3)，AC＝(3，1,0)．

??????????????????因为AC·B1D＝－3＋3＋0＝0，所以AC⊥B1D，即AC⊥B1D．

??????????????(2)由(1)知，AD1＝(0,3,3)，AC＝(3，1,0)，B1C1＝(0,1,0)．

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

??????3x?y?0,?n?AC?0,?即 ?????????3y?3z?0.?n?AD1?0,?令x＝1，则n＝(1，?3，3)．

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

??????????n?B1C1sin θ＝|cos〈n，B1C1〉|＝?????

n?B1C1＝321. ?7721. 7即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为

20．解：设点P的坐标为(x，y)．

(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为 |x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．

(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．

①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|， 因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*) 当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立， 又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)

当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．

d2(y)＝2y＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．

故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，

所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|， 此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|， d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.

由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立． 综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

21．解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F?0,??pp?，直线l， 1的方程为y＝k1x＋?22?p?y?kx?,?221由?2得x－2pk1x－p＝0.

2??x?2py设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个实数根． 从而x1＋x2＝2pk1，

y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk12＋p.

?p??????22FM所以点M的坐标为?pk1,pk1??，＝(pk1，pk1)． 2???p?????22同理可得点N的坐标为?pk2,pk2??，FN＝(pk2，pk2)．

2???????????222

于是FM·FN＝p(k1k2＋k1k2)．

由题设，k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，

?k?k2?所以0＜k1k2＜?1?＝1. 2???????????222

故FM·FN＜p(1＋1)＝2p.

(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋

2

2pp，|FB|＝y2＋， 22所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk1＋2p.

2

从而圆M的半径r1＝pk1＋p， 故圆M的方程为

p??222

(x－pk1)＋?y?pk12??＝(pk1＋p).

2??32222

化简得x＋y－2pk1x－p(2k1＋1)y－p＝0.

4同理可得圆N的方程为

2x2＋y2－2pk2x－p(2k22＋1)y－

32

p＝0. 42

2

于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k2－k1)y＝0.

又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0. 因为p＞0，

所以点M到直线l的距离

|2pk12?pk1?p| d?5p|2k12?k1?1|＝

52??1?7?p?2?k1????4?8?????. ＝517p故当k1＝?时，d取最小值.

485由题设，7p75，解得p＝8. ?5852

故所求的抛物线E的方程为x＝16y. 22．解：(1)当0≤x≤a时，f(x)＝当x＞a时，f(x)＝

a?x；

x?2ax?a.

x?2a?3a＜0，f(x)在(0，a)上单调递减；

?x?2a?23a当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增． 2?x?2a?1①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝.

2因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝

②若0＜a＜4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．

14?aa?1??， 24?2a2?a4?a故当0＜a≤1时，g(a)＝f(4)＝；

4?2a1当1＜a＜4时，g(a)＝f(0)＝.

2?4?a,0?a?1,??4?2a综上所述，g(a)＝?

1?,a?1.??2而f(0)－f(4)＝

(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．

当0＜a＜4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．

若存在x1，x2∈(0,4)(x1＜x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直，

则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1， 即

?3a3a???1.

?x1?2a?2?x2?2a?2亦即x1＋2a＝

3a.(*)

x2?2a由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，

3a?3a?∈,1?.

x2?2a?4?2a??3a??x?1?的交集非空．

?4?2a?3a1因为＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜时，A∩B≠?.

4?2a2故(*)成立等价于集合A＝{x|2a＜x＜3a}与集合B＝?x综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是?0,?.

???1?2?2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数 学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

z?11、满足=i （i的虚数单位）的复数z=

z11111111A、?i B、?i C、??i D、??i

222222222、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则 A、p1?p2?p3 B、p1?p2?p3 C、p1?p3?p2 D、p1?p3?p2

3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）= x3?x2?1，则f（1）+g（1）=

A、?3 B、?1 C、1 D、3

14、(x?2y)5的展开式中x2y3的系数是

2A、-20 B、-5 C、5 D、20 【答案】A

5?n?1?【解析】第n?1项展开式为C5n?x???2y?,

?2?5?n3?1??1?则n?2时, C5n?x???2y??10?x?2y??20x2y3,故选A. ?????2??2?【考点定位】二项式定理

5、已知命题p：若x>y，则-x<-y ：命题q：若x>y，在命题 ①p?q ②p?q ③p?(?q) ④(?p)?q 中，真命题是

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 【答案】C 【解析】当x?y时,两边乘以?1可得?x??y,所以命题p为真命题,当x?1,y??2时,因为x2?y2,所以命题q为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词

6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的t?[?2,2]，则输出的S属于

n2n

A、[-6,-2] B、[-5,-1] C、[-4，5] D、[-3,6]

6.【答案】D

【解析】当t???2,0?时,运行程序如下,t?2t2?1??1,9?,S?t?3???2,6?,当

t??0,2?时 ,则S???2,6????3,?1????3,6?,故选D.

【考点定位】程序框图 二次函数

7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则8?r?6?r?82?62?r?2,故选B. 【考点定位】三视图 内切圆 球 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为

p?q(p?1)(q?1)?1A、 B、

22C、pq D、(p?1)(q?1)?1 【答案】D

【解析】设两年的平均增长率为x,则有

?1?x?2??1??p?x?1?q???1p???1?q?1D. ?,故选

【考点定位】实际应用题

9、已知函数发f（x）=sin(x??)，且?2x30f(x)dx?0，则函数f（x）的图象的一

条对称轴是

5?7???A、x= B、x= C、x= D、x=

61236【答案】A

【解析】函数f?x?的对称轴为x???2?3?2?k??x????2?k?,

????2???sin??sinx??dx?0??cos???cos??0?????0, ????3??3?05?则x?是其中一条对称轴,故选A.

6【考点定位】三角函数图像 辅助角公式

110、已知函数f（x）=x2+ex-（x<0）与g（x）=x2+In（x+a)的图象在存在关

2于y轴对称点，则a的取值范围是

111（-?，）（-，e）（-e，）A、 B、 C、 D、 （-?，e）eee10.【答案】B

122?ex0????x0??ln??x0?a? 【解析】由题可得存在x0????,0?满足x0211?ex0?ln??x0?a???0,当x0取决于负无穷小时,ex0?ln??x0?a??趋近于

221??,因为函数y?ex?ln??x?a??在定义域内是单调递增的,所以

2故选B. lna?lne?a?,e【考点定位】指对数函数 方程

二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分

(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

?x?2?cosa?11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线 l与曲线 C:?（a为

4?y?1?sina参数）

交于A，B两点，且 AB?2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极

因为

坐标

系，则直线l的极坐标方程是_________。

12.如图3，已知AB，BC是?O的两条弦，AO?BC，AB= BC=22，则?O的半径等于________。

3，

51??13．若关于x的不等式 ax?2?3的解集为 ?x|??x??，则

33?? a=________.

(二)必做题(14-16题)

?y?x,?14若变量 x,y满足约束条件 ?x?y?4,且 z?2x?y的最小值为-6，则

?y?k,?k?_______。

15.如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a

b 过C、F两点，则?_________。

a15.【答案】2?1

?a??a?【解析】由题可得C?,?a?,F??b,b?,则

?2??2??a2?paa???2?1,故填2?1. ?2a??bb?2p?b???2???【考点定位】抛物线

16．在平面直角坐标系中，O为原点 A(?1,0),B(0,3),

????????????????C(3 0)动点D满足 CD?1，则 OA?OB?OD的最

大值是__________。 16.【答案】23 【解析】动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则设为?3?cos?,sin??????0,2???,????????????22则OA?OB?OD??3?cos??1??sin??3，因为cos??3sin?的最大值

????????????为2,所以OA?OB?OD的最大值为12?23,故填23. ??【考点定位】参数方程 圆 三角函数

三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17 .(本小题满分l2分)

23某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和，

35现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立。 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (II)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望

18． （本小题满分l2分）

如图5，在平面四边形ABCD中，AD?1,CD?2,AC?7 (I) 求cos?CAD的值

1721,sin?CBA?(II)若cos?BAD?? 146求BC的长

19. （本小题满分l2分）

如图6，四棱柱ABC的C所D有棱长都相等，?D11A1B，四边形A?CB?OD1A?C,?B1DOACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形。 11(I)证明：O1O?底面ABCD；

(II)若?CBA?60?，求二面角C1?OB1?D的余弦值。

20. （本小题满分13分）

已知数列?an?满足a1?1,an?1?an?pn,n?N?.

(I)若?an?是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； (II)若p?

x2y221、如图7，O为坐标原点，椭圆C1:2+2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，

abx2y2F2，离心率为e1：双曲线C2：2-2=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为

ab3，且F2F4=3-1。 e2。已知e1e2=21

，且?a2n?1?是递增数列，?a2n?是递减数列，求数列?an?的通项公式。 2

（Ⅰ）求C1、C2的的方程；

（Ⅱ）过F1做C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值

2x22、已知常数a>0，函数f（x）=In（1+ax）-。 x+2（0，+?）（Ⅰ）讨论f（x）在区间上的单调性；

（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）>0，求a的取值范围

一.选择题.

4.【答案】A

5?n?1?【解析】第n?1项展开式为C5n?x???2y?,

?2?n5?n3?1??1?23则n?2时, C?x???2y??10?x?2y??20xy,故选A. 学科网 ?????2??2?【考点定位】二项式定理

n5n25.【答案】C

【解析】当x?y时,两边乘以?1可得?x??y,所以命题p为真命题,当x?1,y??2时,因为x2?y2,所以命题q为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词 6.【答案】D

【解析】当t???2,0?时,运行程序如下,t?2t2?1??1,9?,S?t?3???2,6?,当

[来源学科网]

t??0,2?时,S?t?3???3,?1?,则S???2,6????3,?1????3,6?,故选D. 学科网 【考点定位】程序框图 二次函数

7.【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则8?r?6?r?82?62?r?2,故选B. 【考点定位】三视图 内切圆 球

【考点定位】指对数函数 方程 二.填空题.

13.【答案】?3

?5??3a?2?3??a??3,故填?3. 【解析】由题可得??1a?2?3??3【考点定位】绝对值不等式 14.【答案】?2

【解析】求出约束条件中三条直线的交点为?k,k?,?4?k,k?,?2,2?,学科网

[来源学*科*网]

且y?x,x?y?4的可行域如图,所以k?2,则当?k,k?为最优解时,3k??6?k??2,当?4?k,k?为最优解时,2?4?k??k??6?k?14, 因为

k?2,所以k??2,故填?2.

[来源:Z.xx.k.Com]

【考点定位】线性规划

15.【答案】2?1

?a2?paa??a??a???2?1,故填【解析】由题可得C?,?a?,F??b,b?,则?2a??bb?2p?b22???????2???2?1.

【学科网考点定位】抛物线

【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立

B事件,则事件为一种新产

2412?120??100??220??32?20?88?130. 151555【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率

18.如图5,在平面四边形ABCD中,AD?1,CD?2,AC?7. (1)求cos?CAD的值;

则数学期望E??0?(2)若cos?BAD??721,sin?CBA?,求BC的长. 146

19.如图

的所有棱长都相ABCD?A1BC11D1等,AC?BD?O,AC11?B1D1?O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形. (1)证明:O1O?底面ABCD;

(2)若?CBA?600,求二面角C1?OB1?D的余弦值.

6,四棱柱

25719.【答案】(1) 详见解析 (2)

19 (2)过O1作B1O的垂线交B1O于点E,连接EO1,EC1.不妨设四棱柱

2a. ABCD?A1BC11D1的边长为

?OO1?底面ABCD且底面ABCD//面A1B1C1D1

?OO1?面A1B1C1D1 又?O1C1?面A1B1C1D1 ?OC11?OO1

?四边形A1B1C1D1为菱形 ?O1C1?O1B1 又?OC11?OO1且OO1?O1C1?O1,O1O,O1B1?面OB1D ?O1C1?面OB1D 又?B1O?面OB1D ?B1O?OC11 又?BO?O1E且O1C1?O1E?O1,O1C1,O1E?面O1EC1 1?B1O?面O1EC1

??O1EC1为二面角C1?OB1?D的平面角,则cos?O1EC1???CBA?600且四边形ABCD为菱形

O1E EC1OO1?2a,B1O?B1O12?OO12?7a, ?O1C1?a,BO11?3a,OO2a221则O1E?B1O1?sin?O1B1O?B1O1?1?3a??a

B1O77a再由?O1EC1的勾股定理可得EC1?O1E2?O1C12?12219a?a2?a, 77

221a257O1E7??则cos?O1EC1?,所以二面角C1?OB1?D的余弦值为19EC119a7257. 19【考点定位】线面垂直 二面角

1?4?,n为奇数??33?2n?1综上an??.

41??,n为偶数n?1?33?2?【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列

x2y221.如图7,O为坐标原点,椭圆C1:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,

abx2y2离心率为e1;双曲线C2:2?2?1的左右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知

ab3,且F2F4?3?1. e1e2?2(1)求C1,C2的方程;

(2)过F1点的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.

21.【答案】(1)

xx?y2?1 ?y2?1 (2)42222

[来源学科网ZXXK]

b2b2【解析】解:(1)由题可得e1?1?2,e2?1?2,且F1F2?2a2?b2,因为

aa3,且e1e2?2F2F4?a?b?a?b2222,所以

b2b23且1?2?1?2?aa2a2?b2?a2?b2?3?1?a?2b且b?1,a?2,所以椭圆C1方程为

x2x22?y?1,双曲线C2的方程为?y2?1.学科网 22(2)由(1)可得F2??1,0?,因为直线AB不垂直于y轴,所以设直线AB的方程为x?ny?1,联立直线与椭圆方程可得?n2?2?y2?2ny?1?0,则yA?yB?2n,则n2?2nn2?2ym?2?1?2,因为M?xM,yM?在直线AB上,所以xM?2,因为ABn?2n?2n?2为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得

42n2?122n2AB?2e1xM?22?2?22?,则直线PQ的方程为2n?2n?2yny?Mx?y??x,联立直

xM2??[来源学科网]

2x. x?222.已知常数a?0,函数f?x??ln?1?ax??(1)讨论f?x?在区间?0,???上的单调性;

(2)若f?x?存在两个极值点x1,x2,且f?x1??f?x2??0,求a的取值范围. 【答案】(1)详见解析

【学科网解析】解:(1)对函数f?x?求导可得

?1?ax??x?2?2?01?a?0时,即a?1时,f'?x??0恒成立,则函数f?x?在?1?a??x??x2,所以当

2a?1?a?a?1单调递增,当时, ,则函数f?x?在区间0,??f'x?0?x??????a4f'?x???1?ax?x?2?2?a?x?2??4?1?ax?2?1?ax??x?2?2?ax2?4?1?a?2,因为

a?2a?1?a???2a?1?a???0,?单调递减,在????单调递增的. ????aa???? (2) 解:(1)对函数求f?x?a4f'?x???1?ax?x?2?2?a?x?2??2导

,

可因

得为

??4ax?2?1?ax??x?2?1ax2?4?1?a??2?1?ax??x?2??1?a??x??x22?01?a?0时,即a?1时,f'?x??0恒成立,则函数f?x?在,所以当

?0,???单调递增,当a?1时, f'?x??0?x??2a?1?a?a,则函数f?x?在区间

?2a?1?a???2a?1?a???0,?单调递减,在????单调递增的. 学科网 ????aa????

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

理科数学

本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．

(1?i)2?1?i（i为虚数单位）1．已知，则复数z?( ) zA．1?i

B．1?i C．?1?i D．?1?i

(1?i)2?2i???1?i．故选D． 【解析】由题意得，得z?1?i1?i考点：复数的运算．

2．设A，B是两个集合，则“A?B?A”是“A?B”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

选C．

考点：集合的关系．

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】由题意得，A?B?A?A?B，反之，A?B?A?B?A，故为充要条件．故

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