求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 33 , 1+ 2 33 ] x +x+1

例6 求下列函数的值域:2-2x+5 2x x (1)y= 2 ; (2)y= (x>1) . x 1 x +1

[-1, 1]

[4, +∞)

方法6、反解法

cx d 形如 y 的函数均可用此法求解。 ax b

2x 1 例5、 (1) y x 3 4x 1 (2) y 2x 3

例7、数形结合法(图像法)所谓图像法，就是利用函数图象的直观性，求 得函数值域的方法。 例6、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x 2(2)用 min a, b, c 表示a,b,c三个数中的最小 值， f ( x) min 2 x , x 2,10 x ( x 0) ,求函 数f(x)的值域 。

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