2011-2012年中考数学压轴题分类汇编01动点问题1与二次函数

2011年中考数学压轴题分类汇编01动点问题1与二次函数

1．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时

出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

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（2）当k＝－ 时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)＋n与直线AB的另一交点为D（如

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图2）． ① 求CD的长； ② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

y y B B C D 1C 1 P

O 1 Q A x O 1 P A x 图1 图2

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2．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，与x轴的另一交点为点B，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点D．

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点E，使四边形ODBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点P是线段OD上的一个动点（不与O、D重合），以每秒 2 个单位长度的速度由点D向点O运动，过点P作直线PQ∥x轴，交BD于点Q，将△DPQ沿直线PQ对折，得到△D1PQ．在点P运动的过程中，设△D1PQ与梯形OPQB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式． y C O A B x D 图1

y C A B O x P Q D 图2 2

15．如图所示，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴

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上，抛物线y＝ax＋bx＋c经过点A、B和D（4，－）．

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（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S＝PQ（cm2）．

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

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②当S取

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时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四

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边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标． y O C Q Dx AP B

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16．在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC＝60°，∠OAB＝90°，OC＝2，BC＝4，以O点为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图1），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．

（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． y C B F O A( D) E x 图1

y C F B O D A E x 图2 4

34．已知二次函数y＝ax＋bx－2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

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（1）求实数a、b的值；

（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．

①当t为何值时，线段DF平分△ABC的面积？

②是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

③设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）如图2，点P在二次函数图象上运动，点Q在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC能否成为以PQ为底的等腰梯形？如果能，直接写出P、Q两点的坐标；如果不能，请说明理由．

B O F C 图1 C 图2 y y D E A x B O A x 5

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40．如图，直线y＝－x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－

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1，0）、B、C三点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；

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个单位长度的速度沿折线OBC按2

O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒

当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）． ①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．

A O B x A O 备用图 y D C y D C B x 6

43．已知抛物线y＝ax＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，3）三点，连接AB，过

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点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）． （1）求抛物线的解析式；

（2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；

（3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；

若不存在，请说明理由． y

C B F O E A x

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46．如图，抛物线y＝ax＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式；

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（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标； （3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒

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个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达2

抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值． y l C P T A M O Q B x

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48．如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线经过点A（－3，0）和点C（0，3），与x轴的另一交点为B．点P、Q同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）求抛物线的解析式；

（2）连接PQ，将△BPQ沿PQ翻折，所得的△B′PQ与△ABC重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若点D的坐标为（－4，3），当点B′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M，使四边形MADB′的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

x＝－1 y D C B′ Q A O P B x

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50．如图，抛物线y＝ax＋bx＋

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（a≠0）经过A（－3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物2

线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求此抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N． ①当t为何值时，线段MN最长； ②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．

y B P N M A O D C x

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55．如图，抛物线y＝－x－2x＋3与x轴相交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）求线段AC所在直线的解析式；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAC＝

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S△，求点M的坐标； 2MAB

（3）点P以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA由B向A运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度，从A开始沿射线AC运动，当P到达A时，整个运动随即结束．设运动的

时间为t秒．

①求△APQ的面积S与t的函数关系式，并求当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？

②在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线BC相切？若能，请直接写出相应的t值；若不能，请说明理由；

③直接写出线段PQ的中点在整个运动过程中所经过路径的长．

y y C C Q A O P B x A O 备用图 B x 10

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