浙江省湖州中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题Word版

考生须知：

1. 全卷分试卷和答卷．试卷2页，答卷 2页．考试时间120分钟，满分150分． 2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效．

3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、准考证号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上． 命题人：胡春香

试 卷

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

b?5，sinA?1，则sinB= 1．在?ABC中，a?3，3 A．1 B．5 C．595 D．1

3【答案】B 【解析】

试题分析： 利用正弦定理得：考点： 正弦定理解三角形

2. 若a?b?0，则下列不等式成立的是 A．ac?bc 【答案】C 【解析】

B．b?1

aC．a?b

D．12absinA?b5??sinB??sinB? sinAsinBa9????a?1

2b

考点： 不等式的性质

3．在等比数列{an}中，a5a14?5，则a8a9a10a11=

A． 10 B． 25 C． 50 D．75 【答案】B 【解析】

试题分析：等比数列中若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)则am?an?ap?aq 所以a5?a14?a8?a11?a9?a10?5即a8?a9?a10?a11?25 考点： 等比数列性质的应用

4. 如图所示，表示满足不等式(x?y)(x?2y?2)?0的点(x，y)所在的区域为

【答案】B 【解析】

?x?y?0试题分析：线性规划中直线定界、特殊点定域。由 (x?y)(x?2y?2)?0???x?2y?2?0或??x?y?0?x?2y?2?0交点为取特殊点,结合图形可确定答案为B. （，）（，1）（，-1）22332323考点： 线性规划、不等式

0，则5．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，，bc，且b?c?bc?a?asin?30?C?的值为

b?c222A．1 B．23 C．?1 D．?3 222【答案】A 【解析】

试题分析：由余弦定理 a?b?c?2bccosA及已知条件a?b?c?bc得

2222221?2bccosA?bc即cosA??又A为三角形内角. ?A?1200

23sin(300?C)asin(30?C)sinAsin(30?C)2?利用正弦定理化简得: =

b?csinB?sinCsin(600?C)?sinC00133(cosC?sinC)12=22= 233cosC?sinC22考点： 正弦定理,余弦定理解三角形..

6．若正数x,y满足x?3y?5xy,则3x?4y的最小值是 A.24 B. 28 C.5 D.6

55【答案】C 【解析】

考点： 基本不等式

7. 已知数列{an}是等差数列，若a9?3a11?0，a10?a11?0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于

A．20 【答案】c 【解析】

B．17 C．19 D．21

试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得 a10?0,a11?0又可得: S19?19a10?0 而S20?10(a10?a11)?0,进而可得Sn取得最小正值时n?19. 考点： 等差数列的性质

?x?y?6?0?8. 设x,y满足不等式组?2x?y?1?0，若z?ax?y的最大值为2a?4，最小值为a?1，

??3x?y?2?0则实数a的取值范围为

A. ??1，2? B. ??2，1? C. ??3，?2? D. ??3，1? 【答案】B 【解析】

试题分析： 一般作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.三个交点(2,4),(1,1),(,考点： 线性规划,最优解

二、填空题：本大题共7小题，其中9-12题每小题6分，13-15题每小题4分，共36分． 9. 已知数列?an?的前n项和Sn?n2?3，则首项a1?______，当n?2时，an?______ 【答案】a1?S1??2，an=2n?1 【解析】

试题分析：由an??711711)代入得: a?1?a??2a?4??2?a?1 3333?S1?Sn?Sn?1可得:当 n?1时，a1?S1??2；当n?2时，

an?Sn?Sn?1=2n?1

考点：由Sn求an

?x?3y?3?0，?10．已知实数x，y?构成的区域的面积为 ▲ ， 2x?yy满足?x?y?1?0，则点P?x，??y??1，的最大值为 ▲ 【答案】8，11 【解析】

试题分析：先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形面积，令z?2x?y，变为

y??2x?z，显然直线y??2x?z过B(6,?1)时，z最大进而求出最大值。

考点：线性规划问题，求最优解

11. 设正实数a，b满足a?2b?2，则ab的最大值为 ▲ ， a?b的最小值为 ▲ 【答案】

2214， 251；又可得a?2?2b2【解析】

试题分析： 由题意可得2?a?2b?2a?2b，变形可得ab的最大值且a?b由二次函数区间的最值可得，最小值考点： 基本不等式

224 5BC?13，BD?1DC，则AC? ▲ ， 12. 在?ABC中,若A?120，AB?1，2 AD? ▲ 【答案】3；【解析】

试题分析：由余弦定理 a?b?c?2bccosA，代入解得b，利用余弦定理可得

2227 3cosB?53131，由BD?DC，可得BD?，在?ABC中，由余弦定理可得：26327 3AD2?AB2?BD2?2AB?BDcosB可得：AD?考点： 线段的定比分点，余弦定理

13．设?ABC内角A，B，C的对边分别为a，，bc，若a?2，b?2，sinB?cosB?2，

则角A 的大小为 ▲ 【答案】

? 6【解析】

试题分析： 根据sinB?cosB?2，利用辅助角公式，可求B的值，根据a?利用正弦定理，即可求得A的值考点： 解三角形

14．已知数列{an}满足a1?1，2，b?2，

?。 6nan?2an?1?n，n?N*，则数列{an}的通项公式是 ▲ an?1【答案】

2

n(n?1)【解析】 试题分析： 先化简

nan?2an?1an?2?n为：n?，利用累积法求数列{an}的通项公式为

an?1an?1n2。

n(n?1)考点： 数列递推式

15已知a，，，bcd为常数，若不等式

b?x?d?0的解集为?1，?1x?ax?c3?，1，则不等??12?式 bx?dx?1?0的解集为 ▲

ax?1cx?1【答案】(1,3)?(?2,?1) 【解析】

试题分析： 把要求解的不等式变形，分子分母同时除以x后把?1看做一个整体，由不等式xbx?d1??0解集得到?范围，进一步求出的范围。 x?ax?cx考点： 其他不等式的解法。

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，，bc．已知asinB?3bcosA． （1）求角A的大小； （2）若a?7，b?2，求?ABC的面积．

【答案】(1) 【解析】

33?（2）

23试题分析：(1)由asinB?3bcosA变形,利用正弦定理得sinA,进一步得出tanA,从而求得

A.

（2）利用余弦定理可求出C,进一步利用面积公式得出?ABC面积.

试题解析：(1)asinB?3bcosA，由正弦定理得sinAsinB?3sinBcosA．……………3分

又sinB?0，从而tanA?3．………………5分 由于0?A?π，所以A??3. ………………7分

(2) 解法一：由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，而a?得7?4?c2?2c=13，即c?2c?3?0. 因为c?0，所以c?3.……………11分 故?ABC的面积为

27,b?2,A??3，……………9分

133bcsinA?.……………14分 22解法二：由正弦定理，得7sin?3?2， sin?从而sinB?21，……………9分 727. 7又由a?b知A?B，所以cosB?故sinC?sin?A?B??sin?B???????321.……………12分 ?sinBcos?cosBsin??3?3314所以???C的面积为

133bcsinA=.……………14分 22考点：1.正弦定理解三角形；2.余弦定理解三角形；3.三角形面积公式.

17.已知函数f(x)?x?ax?3.

2(1) 当x?R时，f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当x?[?2，2]时，f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ?6?a?2（2）?7?a?2 【解析】

试题分析：(1)二次函数在R上的恒成立问题,转化为f(x)?a?0利用??0求解. （2）二次函数在闭区间上的恒成立问题,运用对称轴与区间的相对关系利用单调性求解. 试题解析：（1）

2f(x)?a，当x?R时恒成立，

?x?ax?3?a?0当x?R时恒成立，……………2分

2 ???0即a?4?3?a??0化简得a?4a?12?0，……………5分

2 解得?6?a?2.……………7分 （2）

x2?ax?3?a?0当x???2,2?时恒成立

?a????2(i）?2无解.……………9分

??4?2a?3?a?0a??2???2?2?（ii）?解得?4?a?2.……………11分 243?a?a????0??4?a???2（iii）?2解得?7?a??4……………13分

??4?2a?3?a?0所以?7?a?2……………15分

考点：1.二次函数图像性质；2. 在R上的恒成立问题；3. 闭区间上的恒成立问题

18.已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边， bcosA?3bsinA?c?a?0. (1)求角B的大小； (2)若b?3，求a?c的最大值.

【答案】(1) 【解析】

?（2）23 3试题分析：(1)利用正弦定理使边转化到角上, 由bcosA?3bsinA?c?a?0得

sinBcosA?3sinBsinA?sinC?sinA?0再利用三角形内角和得出B.（2）利用余弦定理得

出a2?c2?ac?3,再利用基本不等式得出a?c的最大值. 试题解析：（1）

bcosA?3bsinA?c?a?0

?sinBcosA?3sinBsinA?sinC?sinA?0

?sinBcosA?3sinBsinA?sin?A?B??sinA?0

?sinBcosA?3sinBsinA?sinAcosB?cosAsinB?sinA?0 ?3sinBsinA?sinAcosB?sinA?0

sinA?0?3sinB?cosB?1……………4分

??1?sin?B???，由于B??0,??

6?2??B?（2）

?3……………7分

b2?a2?c2?2accosB……………9分

?a2?c2?ac?3……………11分

??a?c?2?a?c??3?3ac?3?3??当且仅当a?c取等号……………14分

?2?3时，a?c的最大值为23.……………15分

2所以当a?c?考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3. 余弦定理；4.基本不等式

5a3，9a5成等19. 已知等比数列{an}的首项a1?1，公比q满足q?0且q?1，又已知a1，3差数列；

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn?log31，记Tn?1?1?1?anb1b2b2b3b3b4?1，是否存在最大的整数m，使bnbn?1?得对任意n?N，均有Tn?m成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由. 16?1?【答案】(1) ?an???（2）m?7

?3?【解析】

试题分析：(1)根据等比数列和等差数列的性质建立方程组,即可求出数列{an}的通项公式（2）求出?bn?的通项公式,利用裂项法即可求和. 试题解析：（1）

na1,5a3,9a5成等差数列，?10a3?a1?9a5……………2分

24 所以10a1q?a1?9a1q，又由a1?142得9q?10q?1?0 31122解得q?1或q?，又由q?0且q?1得q?……………5分

93n?1??an???……………7分

?3?（2）

bn?log31?n……………9分 an?1

n?n?1??Tn?111???1?22?33?41111111 ?1????????22334nn?11……………11分 ?1?n?11m?由Tn为关于n的增函数，故?Tn?min?T1?，于是欲使Tn?对任意n?N恒成立

216m1则?则m?8∴存在最大的整数m?7满足题意…………………………15分 162

考点：1.等差中项；2.等比数列通项公式；3. 对数运算4.列项相消求和；5.不等式

20.已知数列{an}满足：a1?1，a2?3，2an?an?1?an?1(n?2，n?N*)，数列{bn}满足：

44b1?0，3bn?bn?1?n(n?2,n?N*)，数列{bn}的前n项和为Sn.

（1）求证：数列{bn?an}为等比数列； （2）求证：数列{bn}为递增数列；

（3）若当且仅当n?3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围． 【答案】（3）(?47,?11) 【解析】

试题分析：(1)由已知得{an}是等差数列,an?由此能证明{bn?an}是b1?（2）由bn?bn?1?112n?11, bn?1?an?1?(bn?an),?(n?1)??424311为首项，以为公比的等比数列． 43?b3?01211（3）由已知得?,?(b1?)()n?2(n?2)得出?bn?是单调递增数列.

b?02343?4由此得出b1的取值范围.

*试题解析：（Ⅰ）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N)．

?{an}是等差数列． 又?a1?13,a2? 44112n?1 ………………3分 ?(n?1)??4241n ?bn?bn?1?(n?2,n?N*)

331n?12n?112n?112n?1 ?bn?1?an?1?bn???bn??(bn?)

3343123411?(bn?an)． 又?b1?a1?b1??0 3411?{bn?an}是b1?为首项，以为公比的等比数列．………………6分

3411n?12n?1 （Ⅱ）?bn?an?(b1?)?(),an?．

434112n?11211n?2?bn?(b1?)?()n?1? ． 当n?2时,bn?bn?1??(b1?)()．

4342343?an?

又b1?0， ?bn?bn?1?0． ?{bn}是单调递增数列． ………………10

（Ⅲ）?当且仅当n?3时，Sn取最小值．

112?5?(b?)()?01??b3?0?443??， 即?，

?b4?0?7?(b?1)(1)3?01?43?4

?b1?(?47,?11)．………………15分

考点：1.数列递推式；2.数列求和；3.求数列最值

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