《数字信号处理》第三版答案（非常详细完整）

答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试

成功！！

电子科技大学微电子与固体电子学陈钢教授著

数字信号处理课后答案

1.2 教材第一章习题解答

1. 用单位脉冲序列?(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解：

x(n)??(n?4)?2?(n?2)??(n?1)?2?(n)??(n?1)?2?(n?2)?4?(n?3) ?0.5?(n?4)?2?(n?6)?2n?5,?4?n??1?2. 给定信号：x(n)??6,0?n?4

?0,其它?

（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令x1(n)?2x(n?2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)?2x(n?2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)?2x(2?n)，试画出x3(n)波形。 解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）

x(n)??3?(n?4)??(n?3)??(n?2)?3?(n?1)?6?(n) ?6?(n?1)?6?(n?2)?6?(n?3)?6?(n?4)

1

（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)； （3）y(n)?x(n?n0)，n0为整常数； （5）y(n)?x2(n)； （7）y(n)??x(m)。

m?0n解：

（1）令：输入为x(n?n0)，输出为

y'(n)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)y(n?n0)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)?y(n)'

故该系统是时不变系统。

y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))

T[ax1(n)]?ax1(n)?2ax1(n?1)?3ax1(n?2) T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2) T[ax1(n)?bx2(n)]?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证

2

明。

令输入为x(n?n1)，输出为y'(n)?x(n?n1?n0)，因为

y(n?n1)?x(n?n1?n0)?y'(n)

故延时器是一个时不变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

故延时器是线性系统。

（5） y(n)?2x(n )令：输入为x(n?n0)，输出为y'(n)?x2(n?n0)，因为

y(n?n0)?x2(n?n0)?y'(n)

故系统是时不变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))2 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

2 ?ax12(n)?bx2(n)因此系统是非线性系统。

（7） y(n)??x(m)

m?0n令：输入为x(n?n0)，输出为y(n)??x(m?n0)，因为

'm?0ny(n?n0)?n?n0m?0?x(m)?y(n)

'故该系统是时变系统。又因为

T[ax1(n)?bx2(n)]??(ax1(m)?bx2(m))?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]

m?0n故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并

3

说明理由。

1（1）y(n)?N?x(n?k)；

k?0N?1（3）y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)；

（5）y(n)?ex(n)。 解：

（1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)?M，则y(n)?M，因此系统是稳定系统。

（3）如果x(n)?M，y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)?2n0?1M，因此系统是稳定的。

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)?M，则y(n)?ex(n)?ex(n)?eM，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解：

解法（1）:采用图解法

y(n)?x(n)?h(n)??x(m)h(n?m)

m?0?图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

4

x(n)???(n?2)??(n?1)?2?(n?3)1h(n)?2?(n)??(n?1)??(n?2)2

因为

x(n)?*(n?)x(n)k?)x(n)*?A(?nAx(?n

)k1y(n)?x(n)*[2?(n)??(n?1)??(n?2)]2所以 1 ?2x(n)?x(n?1)?x(n?2)2将x(n)的表达式代入上式，得到

y(n)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2) ?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)

8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 （1）h(n)?R4(n),x(n)?R5(n)； （2）h(n)?2R4(n),x(n)??(n)??(n?2)； （3）h(n)?0.5nu(n),xn?R5(n)。 解：

（1） y(n)?x(n)*h(n)?m????R(m)R(n?m)

45?先确定求和域，由R4(m)和R5(n?m)确定对于m的非零区间如下：

0?m?3,n?4?m?n

根据非零区间，将n分成四种情况求解： ①n?0,y(n)?0

②0?n?3,y(n)??1?n?1

m?0n 5

?（5）?X(ejw)dw

??2解：

（1）X(e)??x(n)?6

j0n??37?（2）?X(ejw)dw?x(0)?2??4?

??（5）?X(e)dw?2??x(n)?28?

jw??n??3?2726. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)??(n?1)??(n)??(n?1)； （3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解： （2）

1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???

1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?1212（3） X3(e)?jwn?????au(n)en?jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae7. 设:

（1）x(n)是实偶函数，

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn

11

?（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?jwn????x(n)e?jwn

两边取共轭，得到

X(e)?*jwn????x(n)e?jwn?n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)

因此X(ejw)?X*(e?jw)

上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

n?????x(n)sinwn?0

?因此X(e)?jwn????x(n)coswn

该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。

（2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即

X(ejw)?X*(e?jw)

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么?x(n)coswn?0

n???因此X(e)?j?x(n)sinwn

jwn???? 12

这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。

10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

HR(ejw)?1?cosw

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：

?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???

??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1，输入序列为

x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）

y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ann?2u(n?2)

（2）

13

?X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e???jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)?X(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对

?a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面xa(t)进行采样，得到采样信号x各题：

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)；

?a(t)和x(n)的表达式； （2）写出x?a(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 （3）分别求出x解： （1）

Xa(j?)??xa(t)e?j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt??????? ??(e??j?0t?e?j?0t)e?j?t

dt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：

Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])

?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)

a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??

?0?2?f0?200?rad,T?1?2.5ms fs（3）

14

?1?(j?)??X(j??jk?)XaasTk??? ?2?Tk????[?(????

0?k?s)??(???0?k?s)]式中?s?2?fs?800?rad/s

X(e)? ?jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn

?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]式中w0??0T?0.5?rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2?nu(?n)； （6）2?n[u(n)?u(n?10)] 解：

（2） ZT[2u(n)]??nn?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2（3）

ZT[?2u(?n?1)]? ??nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?12

（6）

ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?09 ?

15

1?2z,0?z???1?11?2z?10?10

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