07-08高数B（上）（A卷）试题与答案

2007-2008 学年 1 学期 高等数学B（上）A 卷 课程考试试题

拟题学院（系） : 数 理 学 院 拟题人: 全校本、专科 适 用 专 业: 校对人:

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一、填空题：（每小题3分，共15分）

1．lim(1?)?4，则a? 。

x??axx2．设y?y(x)由方程2xy?x?y确定，则dyx?0? 。 3．函数f(x)?4．

x的间断点是 。 sinx?1?1(x?4?x2)2dx? 。

????AB?5. 设A(1,1,1)、B(2,2,1)、C(2,1,2)，则Prj???AC? 。

二、选择题：（每小题3分，共15分）

1．下列极限存在的是 1x(x?1)1x2?1x A.lim2 B.limx C.lime D.lim

x?0x??x?0x???x2?1x2．设f(x)?(x?a)?(x)，其中lim?(x)?0,?(a)?2，则f?(a)? x?a A.2 B.a C.0 D.不存在 3．设f(x)在x?0的某邻域内连续，且f(0)?0,limf(x)?4，则在x?0处，

x?01?cosxf(x) A. 不可导 B. 可导且f?(0)?0 C. 取极小值 D.取极大值

4．若f?(x)?sinx，则f(x)有一个原函数为

A. x?cosx B.x?sinx C. x?cosx D. x?sinx

x115．设?f(t)dt?f(x)?，且f(0)?1,则f(x)=

0222x A.e B.e C.x21x1e D.e2x 22三、 （本大题共28分）

1.（7分）求极限limx?0x??e?tdt0x2x?ln(1?2x)?cosx2。

?12x?(e?1),x?02.（7分）设f(x)??x，试确定a,b的值，使f(x)处处可导，并求

??a?sinbx,x?0f?(x)。

?tsinux???1udu3.（7分）设 ??y?sint?tcost?4.（7分）求不定积分(四、（本大题共22分）

?dyd2y，求，。

dxdx2?31?)dx。 221?xxx?9?1.（8分）求定积分(1)2.（6分）判断反常积分

?40sin2xdx；(2)6?20excosxdx。

???e1dx的收敛性，若收敛求其值。 2x(lnx)3.（8分）设f(x)?lnx?五、应用题：（10分）

1 ，试讨论f(x)的单调性、极值、凹凸性及拐点。 x设由曲线y?x2(x?0)及其在点(1,1)处的切线和x轴所围成的平面图形为A， （1）求平面图形A的面积；

（2）求平面图形A绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、证明题：（10分）

1.（5分）当x?0时，证明：e?1?x?1?cosx 。 2.（5分）设f?x?在?0,1?连续，在?0,1?内可导，且f?1??内存在?,??????，使得f

x?f?x?dx，证明在?0,1?120????2???1?f????。

2007-2008 学年 1 学期 高等数学（B）（上）A 试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 适用专业： 全校本、专科 书写标准答案人：

（答案要注明各个要点的评分标准）

一、

填空题：（每小题3分，共15分）

1. ln4 ； 2.(ln2?1)dx； 3.x?0，x?n?(n??1,?2,?) ； 4. 8 ；22 二、选择题：（每小题

3分，共15分）

1).A 2).C 3).C 4).D 5).B

三、（本大题共28分）

x??x21.原式?lim0e?tdtx?0x2?2x-------------------------------------------------------- 2分

?lim1?e?x2x?06x2 --------------------------------------------------------------4分 2 ?lim2xe?xx?012x --------------------------------------------------------------6分

?16 -------------------------------------------------------------7分 2. 解：要使f(x)处处可导，当且仅当f(x)在x?0处连续且可导，

limx?0?f(x)=lime2x?1x?0?x?2，xlim?0?f(x)?a?f(0)， 所以当a?2时，f(x)在x?0处连续。 ---------------------2分 当a?2时，

e2x?1f?limf(x)?f(0)?2e2x?1???(0)x2xx?0?x?0?limx?0?x?xlim?0?x2?2， 5.

f(x)?f(0)(2?sinbx)?2sinbxf??(0)?lim?lim?lim?b，------4分

x?0?x?0?x?0?x?0xx所以b?2时，f(x)在x?0处可导，且f?(0)?2。 -----------------5分

?12x2x(2xe?e?1),x?0?x2 - --------------------------------7分 f?(x)???x?0?2cos2x,dydydtcost?cost?tsint23．解：???t，-------------------------------------3分

dxsintdxdttd2dtd2yd2t2t2?(t)?(t)?2t??。 ----------------------------7分 2dtdxdxdxsintsint4.解：原式?31dx??1?x2?xx2?9dx ---------------------------------------2分

3?1?x2dx?3arctanx?C ----------------------------------3分

令x2?9?t，则x2?t2?9,xdx?tdt，

?x1x2?9dx??xx2x2?9dx??2t1dt?dt22?t(t?9)(t?9)-----------------------6分

1t1x?9?arctan?C?arctan?C3333311x2?9?原式??dx??dx?3arctanx?arctan?C-------7分 221?x33xx?9四、（本大题共22分）

1.解：（3分）（1）令2x?t，从而x?11??t，dx?dt;x?0,t?0;x?,t? 22421??原式??2sin6tdt ------------------ ------------------------------------------2分

20?1531?5?? -------------------------------------3分

2642264??xx?0 （5分）（2）原式?分

???20edsinx?[esinx]02??2sinxexdx -----------------2

?e?1?2?20cosxexdx - ---------------------------------------------2分

1??原式?(e2?1) --------------------------------------------5分

22.解：

???e??11dx??e(lnx)2d(lnx) -------------------------------1分 x(lnx)21??]e ---------------------------------------------4分 lnx11?lim[?]??1 ---------------------------------------6分 x???lnxlne?[? 3.解：（1）函数的定义域为(0,??)，

11x?1??2，令f?(x)?0，则x?1.-------------------------------1分 xx2x2?x（3） y???，令f??(x)?0，则x?2 ---------------------------3分

x3（2） y??（4）列表讨论如下： 1 0 极小值1 x y? y?? y (0,1) (1,2) 2 0 拐点 (2,??) ? ? ? 凹升 ? ? 凸升 ? 凹降 1(2,ln2?) 2 ---------------------------6分 单调递减区间为(0,1)，单调增区间为(1,2)和(2,??)，x?1为极小值，f(1)?1； 凹区间为(0,1)和(1,2)，凸区间为(2,??)；拐点为(2,ln2?) -------------------------8分 五、应用题（10分）

解： y?x，y??2x，y?x?1?2

过点(1,1)的切线方程是：y?2x?1，切线与x轴的交点为(,0)-------------------2分 （1）平面图形的面积A?（2）所求的体积为

122112212

1112xdx??1?? ---------------------------------5分 ?022121V???(x)dx???(2x?1)2dx?012?30 --------------------------------------10分

1或V?222?(x)dx???1???01312?30 -------------------------------------10分

六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）

1.解：设f(x)?ex?x?cosx?2，且f(0)?0，

则f?(x)?ex?1?sinx，且f?(0)?0， --------------------------------1分

f??(x)?ex?cosx，?x?0时，ex?1，cosx?1，?x?0,f??(x)?0

即f??(x)单调增加，且f?(x)?f?(0)?0 -------------------------------3分 所以f(x)在x?0时单调增加，x?0时，有f(x)?f(0)?0

即x?0时，有e?1?x?1?cosx成立。 -------------------------------5分 2、解：因为f?1??使得f?1??x?1201f?x?dx，由积分中值定理，至少存在一点??(0,)，

21f???； -------------------------------2分 2又由于f(x)在[?,1]内满足拉格朗日中值定理的条件，在(?,1)内至少存在一点?， 使得f(1)?f(?)?f?(?)(1??)成立， 即f

????2???1?f????成立。 -------------------------------5分

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