江西省上高二中、新钢中学2010届上学期高三年级联考数学试卷（理科）

江西省上高二中、新钢中学2010届上学期高三年级联考数学试卷（理科）

审核 吴付平

一、选择题（本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1．设集合A??x|??x? ?0?,B?{x|x2?x?0}，那么“m?A”是“m?B”的（ ）

x?1?A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知{an}为等差数列，且a1?a7?a13?4?，则tan(a2?a12)的值为( )

A．3 B．?3 C．?3 D．?33

3．在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量

??????m?(b?c,c?a),n?(b,c?a)，若m?n,则角A的大小为（ ） A

???2? B. C. D. 3632－1

4．设f(x)是函数

A．

B．

的反函数，使f(x)＞1成立的x取值范围是 ( )

－1

C． D．x＜0

5．已知函数y?2sin(?x??)为偶函数(0????)，其图象与直线y?2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2?x1|的最小值为?，则（ ） A．??2,??C．???2

B．??1??,?? D．??2,??244

6．如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，若E是AD的中点，

则异面直线A1B与C1E所成角的大小是（ ）

A.

1?,??22

A1 B1 A C1 D1 E D B C ???? B. C. D. 64327、若函数f(x)?(k?1)ax?a?x(a?0且a?1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)?loga(x?k)的图象是（ ）.

cosx000 ，则?． f(1)?f(2)??f(59)＝（ ）

cos(300?x)59593 C．593 D．?593 A．3 B． ?228．已知函数f(x)?9

．

如

图

，

平

面

内

- 1 -

向量

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a,b的夹角为120?,a,c的夹角为30?,且|a|?2,|b|?1,|c|?23，若c??a?2b,则?等

于（ ） （ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2

10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有

，区间[a，b]称为“密|f(x)?g(x)|?1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”

切区间”.若f(x)?x2?3x?4与g(x)?2x?3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区

间”可以是（ ）

A. [1，4] B. [2，4] C. [3，4] D. [2，3]

11．已知函数y?f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意的x,y?R，等式

f(x?)f(?y)，且f?(x都成y立，若数列{an}满足a1?f(0)f(na??1)??????12．平面向量的集合A 到A的映射f(x)＝x－(x·a)a，其中a为常向量．若映射f满

??????????足f(x)·f(y)＝x·y对任意的x，y∈A恒成立，则a的坐标可能是（ ）

A．(

，

A．4016 B．4017 C．4018 D．4019

1f(?2?an)?(n?N则)a2009的值为（ ）

13112273，) B．(，－) C．(，) D．(－，) 24424422二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上）

a2b2?13．已知0?x?1，a,b是正常数，则的最小值是 ． x1?x2?1,a]上的值域为[?,2]，则实数a的取值 14.函数y?sin2x?2cosx在区间[?34范围是

m??,m?Z}，⑵数列{an}前200915、数列{an}满足：⑴对任意n?N,an?{t|t?cos2项和为-99。⑶数列{(an?1)2}前2009项和为2010。则{an}前2009项中，取值为-1的项

有 项。16．有4个标号为1，2 ，3，4的红球和4个标号为1，2，3，4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是

三、解答题（本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满12分）

在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，

?32????????????????（1）判断?ABC的形状；（2）若|BA?BC|?2，求BA?BC的取值范围。

?C??且

bsin2C? a?bsinA?sin2C

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18.（本小题满分12分）有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2；蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.

（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

19．（本小题满分12分）如下图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ΔABC外的地方种草，ΔABC 的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花.若BC=a, ?ABC??,设ΔABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值

S1称为“规划合理度”. S2（1）试用a,?表示S1和S2；

（2）当为定值，?变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角?的大小.

a(x?1)(a?R)． x111??（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）求证：不等式lnxx?12对一切x?(1,2)恒成立．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)?lnx?

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21．(本小题满分12分)已知函数f(x)?ln(ex?a)(a为常数)是R上的奇函数，函数

g(x)=?f(x)?sinx是区间??11，?上的减函数.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若g(x)?t??t?1在x???1,1?上恒成立，求t的取值范围；

2(Ⅲ)讨论关于x的方程

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lnx?x2?2ex?m的根的个数． f(x)- 4 -

22．（本小题满分14分）设数列{an}的首项a1?1，前

n项和为Sn，且点

(2t?3)x?3ty?3t?0(t为与n无关的正实数)上． (Sn?1,Sn)n(?N?n,?在直线2)(Ⅰ) 求证：数列{an}是等比数列；

1(Ⅱ) 记数列{an}的公比为f(t)，数列{bn}满足b1?1,bn?f()(n?N?,n?2)．设

bn?1cn?b2n?1b2n?b2nb2n?1，求数列{cn}的前n项和Tn；

1n(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，设dn?(1?)(n?N*)，证明dn?dn?1．

3bn?1

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参考答案

一、选择题 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B 二、填空题13、(a?b)2 14、[0,2?] 15、149 个 16、432 3三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．

18、解：（1）设红色骰子投掷所得点数为?1，其分布如下：

?1 P

8 1 32 2 3??????2分

12E?1?8??2??4；??????????????????4分

33设蓝色骰子投掷所得点数?2，其分布如下；

?2 P

7 1 21 1 2E?2?7?11?1??4.????????????8分 2234121????????12分 66233（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，

红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是19、解：（1）、 如图，在

，

设正方形的边长为 则

ＡＢＣ中

＝

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＝

???6分

（2）、 而＝

∵0 < < ,又0 <２ <,０

时 取得最小值为此时

20．(本小题满分12分)

解（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)???????????12分

1ax?a??2(x?0)????2分 xx2x① 若a?0，f?(x)?0，f(x)在(0,??)上单调递增．???????????4分 ② 若a?0，当x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)在(0,a)上单调递减；当x?(a,??)时，f?(x)?0，f(x)在(a,??)上单调递增． ????????????6分

111??等价于(x?1)lnx?2(x?1)?0．???7分 （Ⅱ）∵1?x?2，∴

lnxx?12x?11?2?lnx??1????8分 令F(x)?(x?1)lnx?2(x?1)，则F?(x)?lnx?xx由（Ⅰ）知，当a?1时，fmin(x)?f(1)?0，

1∴f(x)?f(1)?0，∴lnx??1?0，即F?(x)?0，???????10分

x111??．????12分 则F(x)在(1,2)上单调递增，∴F(x)?F(1)?0，即

lnxx?12x?x

21．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ) ?f(x)?ln(e?a)是奇函数，? ln(e?a)=?ln(ex?a) ??1分

?(e?x?a)(ex?a)?1，

?xx2x?x ?1?ae?ae?a?1,?a(e?e?a)?0故a?0． 3分

，1?上单调递减，(Ⅱ)由（１）知：f(x)?x，?g(x)??x?sinx，?g(x)在??1，1?上恒成立，????1，?????4分 ?g?(x)???cosx?0????cosx在??1?g(x)?max?g(?1)????sin1，?只需???sin1?t2??t?1，

恒成立， ?(t?1)??t2?sin1?1?0(其中???1），令h(?)＝(t?1)??t?sin1?1?0(???1）,则?2t?1<0，2??t?1?t?sin1?1?0?t??1?2，而t?t?sin1?0恒成立，?t??1 ?????8分 ??2?t?t?sin1?0lnxlnx??x2?2ex?m.， ??????????9分 (Ⅲ) 由f(x)xlnx1?lnx,f2(x)?x2?2ex?m,?f1?(x)?, 令f1(x)?xx2http://school.chinaedu.com

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当x?(0,e)时，f1?(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数；

当x??e,???时，f1?(x)?0,?f1(x)在?e,???为减函数；

1.而f2(x)?(x?e)2?m?e2，?????10分 e111122?当m?e2?,即m?e2?时，方程无解；当m?e?,即m?e?时，方程有

eeee1122一个根；当m?e?,即m?e?时，方程有两个根。 ???12分

ee(22) 解：(Ⅰ)因为点(Sn?1,Sn)(n?N?,n?2)在直线(2t?3)x?3ty?3t?0（t为与n无

?f1(x)?max?f1(e)?当x?e时，关的正实数）上，所以

(t?2Sn?3tSn?t?31?)，3即有03tSn?(2t?3)Sn?1?3t(n?N?,n?2)．当n?2时，3t(a1?a2)?(2t?3)a1?3t．

a2t?32t?3 由a1?1，解得a2?，所以2?．

3ta13t当n?2时，有 3tSn＋1?(2t?3)Sn?3t ①3tSn?(2t?3)Sn?1?3t ②

3tan＋1?(2t?3)an?0，整理得an?1?2t?3．

① ②，得

an3ta2t?3综上所述，知n?1? (n?N*)，因此{an}是等比数列． ???????4分

an3t12??3bn?1122t?3)???bn?1， (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知f(t)?，从而bn?f(13tbn?133?bn?12所以bn?bn?1?(n?N?,n?2)．

321因此，{bn}是等差数列，并且bn?b1?(n?1)d?n?．

33所以，Tn?c1?c2?c3???cn?bb12?b2b3?b3b4?b4b5???b2n?1b2n?b2nb2n?1 ?b2(b1?b3)?b4(b3?b5)???b2n(b2n?1?b2n?1)

54n?1n(?)4n(b2?b2n)433 ??2d(b2?b4???b2n)??? ???3232824 ??n?n． ?????????9分

93?1?1nd?(1?)(Ⅲ) 由(Ⅱ)知n，则dn?1??1??2n2n?1????nn?1．

1?? 将dn??1??用二项式定理展开，共有n?1项，其第k?1项?0?k?n?为

?2n?k11n?n?1???n?k?1?k?1? Tk?1?Cn? ????kkn?2n?2k!11?1??2??k?1? ?k???1???1????1??，

2k!?n??n??n?http://school.chinaedu.com

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?1? 同理，dn?1??1??2n?1???? n?1用二项式定理展开，共有n?2项，第n?2项

?1?n?1为Un?2?Cn?1???0，其前n?1项中的第k?1项?0?k?n?为

?2?n?1??11?1??2??k?1?Uk?1?k???1?1??????1??，

2k!?n?1??n?1??n?1?1122kk,1??1?,?,1??1?,k?2,3,?,n 由1??1?n?1nn?1nn?1nn?1得Tk?1?Uk?1,k?2,3,?,n,又T1?U1,T2?U2,Un?2?0，∴ dn?dn?1．http://school.chinaedu.com - 9 -

?14分

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