2011年4月绍兴市高三数学卷

2011年4月绍兴市高三教学质量调测试卷

数学理

（浙江省绍兴鲁迅中学 施建昌 312000）

一．选择题

M

1．全集U 0,1,2,3 ,CU 2 ，则集合M （ ）

A． 0,1,3 B． 1,3 C． 0,3 D． 2

M

A 解析：对于U 0,1,2,3 ,CU 2 ，则M 0,1,3

2．已知复数z满足 2 i (1 i) i z（i为虚数单位），则z （ ） A． 1 3i B． 1 3i C．1 3i D．1 3i B 解析：对于2 1 i iz,z 1 3i

3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是（ ）

A．

3483 B． C． D． 4338

38;x 1,y 43 x y 1 0

4．已知变量x,y满足约束条件 3x y 1 0，则z 2x y的最大值为（ ）

x y 1 0

C 解析：对于x 3,y 4;x 2,y

A．1 B．2 C．3 D．4

B 解析：对于线性区域内过点 1,0 时z 2x y取最大值，因此zmax 4

5．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为以是（ ）

1

，则该几何体的俯视图可3

正视图

侧视图

A． B． C． D．

D 解析：该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D

x cos

x 2x图象的一条对称轴为（ ）

2

2 5 11

A．x B．x C．x D．x

63612

D 解析：对

于y sinxcosx2x cos(2x )，其对称轴为

3

k 2x k , x ,k Z，当k 2时D符合

6212

7．设l,m为两条不同的直线， 为一个平面，m// ，则“l ”是“l m”的（ ）

6．函数y cos

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A 解析：对于直线垂直平面则l m成立，但反之可能l// ，因此“l ”是“l m”的充分不必要条件

x2y2

8．已知椭圆2 2 1(a b 0)的右焦点为F，下顶点为A，直线AF与椭圆的另一交点

ab

为B，点B关于轴的对称点为C，若四边形OACB为平行四边形（O为坐标原点），则椭圆的

离心率等于（ ）

11 B． C

D

． 322

92b2c

b

1, e C

解析：对于B( 2c, , 2 2

2ab3

A．

9．★在三行三列的方格期盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2

点和5点，3点和4点），开始时骰子如图1所示摆放，朝上的点数为2；最后翻动到如图2所示位置，现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数仍为2的概率为（ ） A．

1111 B． C． D． 12634

C 解析：可采用立方体模拟法或逐步画图法，对于骰子的翻动共有6种路线，只有二条路线参实现，因此最后骰子朝上的点数仍为2的概率为

1 3

10．★★已知函数f x ax2 (4a 2)x 4a 6，则使函数f x 至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于（ ） A．8 B．20 C．26 D．28

B 解析：此题可采用分离参数法进行破解，对于a

3 x

，x 3， 2

(x 2)

2226

若x 2,a 2;x 1,a 2;x 0,a ;x 1,a 8;x 2,a(不存在)；

434

1416

x 3,a 12,x 4,a ;x 5,a ; 后面不成立，因此符合条件的正整数a

49

的值之和20

二．填空题

3

, 0, ，则cos2 的值等于 5 2

7972

解析：对于cos2 1 2sin 1 2

252525

解析：对于a b 0.7,a 2b 0.6 1.5，因此a 0.5,b 0.2 2

1

13．★★在边长为1的正三角形ABC中，BD DC，则AD CD的值等于

2

1

解析：（可用坐标法或线性运算法）对于9

2 2121121AD CD (AB BD) CB 1 1

33233399

11．已知sin

14．现有张风景区门票分配给6位游客，其中A、B风景区门票各2张，C、D风景区门票各

1张，则不同的分配方式共有 种（用数字作答）

211

C62C4C2C1

45，再将四种180 解析：对于位游客分成四堆，即2、2、1、1，因此共有

2! 2!

门票分配给游客，因此共有180种

15．★已知奇函数f x 是定义在R上的增函数，数列 xn 是一个公差为2的等差数列，满足f x8 f x9 f x10 f x11 0，则x2011的值等于4003 解析：对于奇函数f x 是定义在R上的增函数，数列 xn 是一个公差为2的等差数列满足f x8

f x9 f x10 f x11 0，

则有x9 x10 0,d 2,x9 1, x2011 x9 2002d 1 4004 4003

x2y2

16．★★已知曲线2 2 1(a b 0)恒过点P，当a,b变化时，所有这些曲线

ab

上满足y 1的点组成的图形面积等于

4

解析：对于这些曲线上满足y 1的点组成的图形一是个扇形减去一个三角形，

3

114 2

因此其面积为 2

1

323

16.(文) ★★已知函数f x xx a，若对任意的x1,x2 2, 且x1 x2，

x1 x2 f x1 f x2 0恒成立，则实数a的取值范围为

a 2 解析：此题可结合a的范围进行分类讨论，并数形结合， 当a 2时可使 2, 上单调递增.

17．★★★如图，在三棱锥A BCD中，AB,AC,AD两两互相垂直，AB AC AD 4，点P,Q分别在侧面ABC,棱AD上运动，PQ 2,M为线段PQ中点，当P,Q运动时，点

M的轨迹把三棱锥A BCD分成上、下两部分的体积之比等于

D

解析：此图可放置为一立方体的一角，中点M的轨迹为球面的八分之一，因此这

64

14

13

个几何积为一个八分之一球体，上、下两部分的体积之比为

64 3 26

三．解答题

18. ★（巧设参数突破瓶颈）在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，

c 2acosB R

（1）当 1时，求证：A B

（2）若B 600,2b2 3ac,，求 的值 解析：（1）对于c 2acosB, sinC 2sinAcosB，

因此sin(A B) 2sinAcosB, sin(A B) 0，因 ABC，则A B （2）因

a

,2b2 3ac, 2 a2 c2 ac 3ac, c

222

则2a c 5ac, 2 5 2 0, 2或

1 2

19．★（巧设参数提效率）已知 an 是公差不为零的等差数列， bn 是等比数列，满足

b1 a12,b2 a22,b3 a32,

（1）求数列 bn 公比q的值

（2）若a2 1，且a1 a2，求数列 an 公差的值

解析：（1）设a1 a2 d,a3 a2 d,因b1,b2,b3成等比数列， 则b2 b1b3, a2

2

a

22

22

，

2 d a2 d ，因此有2a2 d或d 0（舍去）

22

当d2时q

a22

a2 d

a22

2

a22

a

2

2

2

3

当d 2时q

a2 d

2

a22

a22

2

3 ；

（2）因为a2 1，且a1 a2，因此d

0，则d2 2 20．★★（合理建系，避免错解）如图，在Rt abc中， ACB 900,BA BC 2，分

别过点A、C作平面ABC的垂线AA 和CC ，且h1 h2连结A C 和AC AA h1,CC h2，交于点P

（1）设点M为BC中点，求证：直线PM与平面A AB不平行；

（2）设O为AC中点，若h1 2，二面角A A C B等于45，求直线OP与平面A BP所成的角

B

C

解析：（1）（反证法）连结PM，假设直线PM//平面A AB，

因PM 平面A BC，而平面A BC 平面A AB A B， PM//A B 又 M为BC中点，故P为A C中点

A A 平面ABC，CC 平面ABC，则AA //CC ，

即得h1 h2与已知h1 h2矛盾，

AA A Ph1

, 1， CC PCh2

所以假设错误，所以直线PM与平面A AB不平行．

（2）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为

z

轴，建立空间直角坐标系，则B,A 0,2,C h，

BA (BC (h2)，

设平面ACA的法向量为n1，n1 (1,0,0)，

设平面A C B的法向量为n2，n2 (x,y,z)，

BA n2 0 2z 0由 得，则n2 ，

BC n2 0

h2z 0

n1n2

, h2 1，

因cos45

2n1n2 A P2 2 2

2, OP (1 )OA OC 0, 因，

PC33 33

设平面A PB的法向量，即平面A BC的法向量为n3 (x,y,z)，又BC (

n3 BA 0 2z 0由 ，得，得n3 (1,1，

0 n3 BC 0

OP n3则 600，所以直线与平面所成的角为600 则sin 2OP n3

21．★★★（整合计算突破难点）如图，设圆x2 y2 12与抛物线x2 4y相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，

（1）若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左到右依次为

P1,P2,P3,P4，求PP12 P3P4的值 设直线OP与平面A PB所成的角为

（2）若直线m与抛物线相交于M,N两点，且与圆相切，切点D在劣弧 AB上，求

MF NF的取值范围

22 x x y 12 x , 解析：（1

）由 2

y 2y 2

x 4y

即A ,B，

kl kFB， 所以直线l与圆交于P1,P3两点，与抛物线交于P2,P4两点 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4)，

因F

0,1 ， kFB

把直线l方程与物线线联立得x2 4x 4 0, x2 x4 4， 把直线l方程与与圆联立得2x 2x 11 0， x1 x3 1，

因为PP12 2

1 x2 x2 x1 ，

P3P4 3 x4 x4 x3 ，

则PP12 P3P4

x2 x1

x4 x3 x2 x4

x1 x3 ，

2

所以PP12

P3P4的值为（2）设直线m的方程为y kx b(b 0)，与抛物线联立得x 4kx 4b 0，设则x1 x2 4k,y1 y2 k(x1 x2) 2b 4k2 2b， M(x1,y1),N(x2,y2),

因直线m

与圆相切， b

又因MF y1 1,NF y2 1,

则MF NF y1 y2 2 4k 2b 2 4k 2

2

2

， kOB

22

因分别过A、B

k

因此MF NF 2 22

=2

5，因为kOA

22．★★★（分离参数化暗为明）已知函数f x 4x k(x2 2clnx)(c,k R)有一个极值点是1，

（1）讨论函数f x 的单调性

（2）当c 1时，记f x 的极大值为M c ，极小值为N c ，对于t R，问函数

h c M(c)

说明理由．

12c tN(c) 是否存在零点？若存在，请确定零点的个数；若不存在，请2c 1

2

2c 2kx 2ck 4x

解析：（1）由已知得k 0,f x 4 k 2x

xx 2

因函数f x 的一个极值点为1， f 1 0, c 1，

k

令f x 0, kx2 2x ck 0，此方程的一个根为1，

2

另一个根为x 1 c，且c 1,

k

4(x 1)(x c)

而f x

(1 c)x

①当c 0且c 1时，即k 0或k 2时

当c 1时，即k 0函数f x 在 0,1 上为减函数，在 1, 为增函数；

当 1 c 0时，即k 2时函数f x 在 0,1 上为增函数，在 1, 为减函数； ②当0 c 1，即1 k 2时，函数f x 在 c,1 上为增函数，在 0,c ,(1, )上为减函数；

③当c 1时，即0 k 1时，函数f x 在 1,c 上为增函数，在 1,c , c, 为减函数 （2）当c 1时，由（1）知x c时f x 取到极大值，在x 1时f x 取到极小值，

2

M(c) f(c) 4c k(c2 2clnc),N(c) f(1) 4 k，其中 1 c，

k

2c24clnc12c t2c2 1 4clnc t

h(c) 4c 2 ，

c 1c 1c 1c 1c 1

t 2c2 1 4clnc，t 4c 4(1nc 1) 4(c lnc 1)

1

令k c c lnc 1, c 1,k c 1 0，因此k c 在 1, 上单调递增，

c

则k c k(1) 0，因此t 0，则t c 在 1, 上单调递增，

t c t 1 1，即当t 1时函数h c 没有零点，

当t 1时函数h c 有且仅有一个零点

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