2012年解三角形高考题集

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC

sinC－b－c＝0．

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC

b，c．

17．解：(1)由acosC

sinC－b－c＝0及正弦定理得 sinAcosC

AsinC－sinB－sinC＝0． 因为B＝π－A－C，

AsinC－cosAsinC－sinC＝0． 由于sinC≠0，所以sin(A 又0＜A＜π，故A

π1) ． 62

π． 31

(2)△ABC

的面积S bcsinA ，故bc＝4．

2

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8． 解得b＝c＝2．

17．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 17． C 由正弦定理可知a2＋b2＜c2，

a2 b2 c2

0， 从而cosC

2ab

∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形． 11．在△ABC中，若a＝3

，b A 11．答案：

π

，则∠C的大小为________． 3

π 2

ab1 sin B ， sin Asin

B2解析：由正弦定理得，

∴∠B＝30°或∠B＝150°． 由a＞b可知∠B＝150°不合题意，∴∠B＝30°． ∴∠C＝180°－60°－30°＝90°． 5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝(

)

B

C

D

A

5． B 因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝

π

. 4

cos∠BEC

∠CED

π＝sin(－∠BEC)

＝cos∠BEC

－sin∠BEC

＝.

422216．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2

，． c

cosA 在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC

(1)求sinC和b的值； (2)求cos(2A＋

π

)的值． 3

，可得sinA ． 44

ac 又由及a＝2

，c

sinC sinAsinC16．解：(1)在△ABC

中，由cosA

由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0． 因为b＞0，故解得b＝1．

所以sinC

b＝1． 3(2)

由cosA

，sinA ，得cos2A＝2cos2A－1＝ ，sin2A＝2sinAcosA

＝

444

， 4

πππ 3 所以，cos(2A＋)＝cos2Acos－sin2Asin＝．

333

8

16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC

＋cosAsinC．

(1)求角A的大小；

(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

16．解：(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以

cosA

1． 2

π． 3

b2 c2 a2a2 b2 c2b2 c2 a2

a c 方法二：由题设可知，2b ，

2bc2ab2bcb2 c2 a21222

． 于是b＋c－a＝bc，所以cosA

2bc2

π

由于0＜A＜π，故A ．

3222AB AC21

(2)方法一：因为AD () (AB AC 2AB AC)

24

1π7＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝， 434

由于0＜A＜π，故A

所以AD

，从而AD ． 1

＝3， 2

方法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×所以a2＋c2＝b2，B 因为BD

π．

2

，AB＝

1， 所以AD

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC．

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S．

17．解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC， 所以sinB(

sinAsinCsinAsinC

) ， cosAcosCcosAcosC

因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，

所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC， 又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sinB， 因此sin2B＝sinAsinC． 由正弦定理得b2＝ac， 即a，b，c成等比数列．

a2 c2 b212 22 23

，(2)因为a＝1，c＝2，所以b 由余弦定理得cosB

2ac2 1 24

因为0

＜B＜π，所以sinB ，

11故△ABC的面积

S＝ac

sinB＝ 1 2

226

．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC

AC＝( ) A

． B

． C

D．

2

6． B

由正弦定理得

BCACAC

，即，解得AC sinAsinBsin60 sin45

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C．

(1)求cos

A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为b，c.

16．解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C， 得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1， 即cos(B＋C)＝

11，从而cos A＝－cos(B＋C)＝. 33

(2)由于0＜A＜π，cos A＝又S△ABC

＝

1，所以sin A

＝. 33

1

bcsin A bc＝6. 2

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13. 解方程组

b 2， b 3， bc 6，

得或 22

c 3，c 2.b c 13，

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA

cosB．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 18．解：(1)由bsinA

cosB及正弦定理得sinB

B，

ab ， sinAsinB

π． 3ac (2)由sinC＝2sinA及，得c＝2a． sinAsinC

所以tanB

B

由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得9＝a2＋c2－ac．

所以a

c

8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为( )

A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4

8．D 由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.又∵3b＝20a·cosA，∴3b＝20(b＋

b2 (b 1)2 (b 1)2

，整理得，7b2－27b－40＝0，解得b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，

2b(b 1)

即sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.

8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )

B

C

D

A

8． B 在△ABC中，由余弦定理可知：

AC=AB+BC－2AB·BCcosB， 即7=AB2+4－2×2×AB×

222

整理得AB2－2AB－3=0.

解得AB=－1(舍去)或AB=3.

1. 2

故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°

13．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°

，BC，则AC＝__________． 13．

解析：如图： 由正弦定理得

ACBC

，

sinBsinA

AC即，故AC ．

sin45

2

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列． (1)求cosB的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值． 17．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°， 所以cosB

1

． 2

(2)解法一：由已知b2＝ac，及cosB 根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC， 所以sinAsinC＝1－cos2B＝

1， 2

3． 4

1， 2

a2 c2 ac

根据余弦定理得cosB ，解得a＝c，

2ac

3

所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝．

4

解法二：由已知b2＝ac，及cosB

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝sinB＝__________.

13．

答案：

1

，则4

4

，∵b＝c，故解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，故c＝2，而sinC

sinB＝sinC

π

，c ，6

13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B

则b＝________.

13．答案：2

解析：∵b2=a2+c2－2accosB=4+12－2×2

×16．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 16． C 由正弦定理可知a2＋b2＜c2，

=4，∴b=2. a2 b2 c2

0， 从而cosC

2ab

∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC

sinC－b－c＝0．

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC

b，c．

17．解：(1)由acosC

sinC－b－c＝0及正弦定理得 sinAcosC

AsinC－sinB－sinC＝0． 因为B＝π－A－C，

AsinC－cosAsinC－sinC＝0． 由于sinC≠0，所以sin(A 又0＜A＜π，故A

π1) ． 62

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．

解得b＝c＝2．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C．

17．解：由B＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．

于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．② 由①②得sinC＝，

2

π． 31

(2)△ABC

的面积S bcsinA ，故bc＝4．

2

1.① 2

14

11

(舍去)或sinC＝.

22

π

又a＝2c，所以C .

6

于是sinC＝

11．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB 11．答案：4

1

，则b＝________． 4

a2 c2 b24 (7 b)2 b21

解析：由余弦定理得，cosB ，解得b＝4．

2ac2 2 (7 b)4

4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED

＝( )

B

10C

D

A

．

π

. 4在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC

＝，cos∠BEC

∠CED

5

π＝sin(－∠BEC)

cos∠BEC

sin∠BEC

.

44． B 因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )

77247

B． C． D．

25252525

bcsinCc 6． A 在△ABC中，由正弦定理：，∴，sinBsinCsinBb

sin2B84

，∴cosB ． ∴

sinB55

7

∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝．

25

A．

15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

ππ ②若a＋b＞2c，则C 33

ππ

③若a3＋b3＝c3，则C ④若(a＋b)c＜2ab，则C

22

π

⑤若(a2＋b2)c2＜2a2b2，则C

3

①若ab＞c2，则C 15．答案：①②③

a2 b2 c2a2 b2 ab2ab ab1

． 解析：对于①，由ab＞c可得cosC

2ab2ab2ab2

π

故C ，∴①正确；

3

a b(a b)22

对于②，由a＋b＞2c可得c ，故c ．

24

(a b)2322ab3ab22

a b (a b) 2ab 222

a b c 1． 故cosC 2ab2ab2ab2ab2π

∴C ，②正确；

3

2

a3 b3a3 b322222

对于③，由a＋b＝c可得c ，故a＋b－c＝a＋b－＝

cc

a2c b2c (a3 b3)a2(c a) b2(c b)

．

cc

3

3

3

2

又a3＋b3＝c3，故c＞a，c＞b，

a2(c a) b2(c b)

0， 故

c

π

故a2＋b2＞c2．故C ，③正确；

2

2ab4a2b24a2b22

对于④，c ，故c ab． 2

a b(a b)4ab

πa2 b2 c2a2 b2 ab1

．∴C ，④不正确； 故cosC

32ab2ab2

2a2b22a2b2222222

ab． 对于⑤，由(a＋b)c＜2ab可得c 2

a b22ab

a2 b2 c2a2 b2 ab2ab ab1

． 故cosC

2ab2ab2ab2π

∴C ，⑤不正确．综上可知，①②③正确．

3

πππ

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A ，bsin(＋C)－csin(

444

＋B)＝a.

(1)求证：B－C＝(2)

若a

π

； 2

ABC的面积．

ππ

17． (1)证明：由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，

44

应用正弦定理，得

ππ

＋C)－sin Csin(＋B)＝sin A， 44sin B

sin C

cos C)－sin C

sin B

B)

sin Bsin(

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，

即sin(B－C)＝1，

π33

π，0＜C＜π，从而B－C＝.

244

3ππ5ππ

(2)解：B＋C＝π－A＝，又因为B－C＝，因此B ，C ，

4288πasinB5πasinCπ

2sin 2sin， 由a A ，得b ，c

4sinA8sinA8

15ππππ1

sin sin . 所以△ABC

的面积S bcsin A 288882

2

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA ，sinB

C．

3

由于0＜B＜

(1)求tanC的值； (2)

若a

ABC的面积．

2，

3

18．解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝得sin A

，

3

C＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

2

C sinC． 3

所以tan

C

＝

(2)

由tanC

sinC 于是sinB C

cosC ．

ac 由a ，得c

sin

AsinC

设△ABC的面积为S，则S

1． acsinB

22

13．已知△ABC

________． 13．答案：

4

解析：设△ABC

的最小边长为a(m＞0)

，2a，故最大角的余弦

2222值是cos ． 417．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

(1)求cosB的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值． 17．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°， 所以cosB

1

． 2

1， 2

(2)解法一：由已知b2＝ac，及cosB 根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC， 所以sinAsinC＝1－cos2B＝

3． 4

1， 2

a2 c2 ac

根据余弦定理得cosB ，解得a＝c，

2ac

3

所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝．

4

解法二：由已知b2＝ac，及cosB

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝3，则c＝__________.

13．答案：

355

，b＝13

14 5

45

解析：由已知条件可得sinA＝，sinB＝＝

12

，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB13

1456bc

，根据正弦定理得c .

565sinBsinC

9．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的

最小值为( )

B

11C． D．

22

a2 b2 c22c2 c2c2

9． C 因为cosC ，

2ab2ab2ab

A

又因为a2＋b2＝2c2≥2ab，所以c2≥ab.

c2ab1 ， 所以cosC

2ab2ab2

当且仅当a＝b时等号成立．

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