基础知识总结

集合 子集 全集 补集

★知识梳理

1．集合是集合论中原始的、不定义概念，只对它做描述性说明． 一般地，我们把研究对象统称为（element），把一些元素组成的总体叫做 （set）（简称为）．

2．集合元素的特征．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．

（1）集合中的元素是确定的．设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）集合中的元素是互异的．同一集合中不应重复出现同一元素．

（3）集合中的元素是无序的．只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合． 例：判断下列事物能否构成集合，为什么？

①所有大于１小于100的整数；（） ②所有自然数；（）

③我们班视力较好的学生；（） ④今年天津市气温较高的日子．（） 3．集合的种类：

有限集：含有元素的集合； 无限集：含有元素的集合； 空集：不含任何元素的集合．记为．

4．集合的记号与常见数集

（1）集合的记号．集合用大写字母A、B、C表示，集合元素用小写字母a、b、c表示．元素a属于（belong to）集合A，表示为；元素a不属于（not belong to）集合A，表示为．

（2）常见数集．非负整数集（自然数集）：；整数集：；

有理数集：；实数集：．

注：① 自然数集和非负整数集是相同的，．

② N＋或N*表示．

5．集合的表示方法．

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．其一般形式为．

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（2）描述法：用明确的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．其一般形式 为（当集合A已很明确时，可表示为)．其中为代表元素，表示代表元素满足的特性． 例：① 不等式x?3?2的所有解构成的集合可表示为：； ② 不等式x?3?2的整数解构成的集合可表示为：； ③ 曲线y?x?1上的所有点构成的集合可表示为：；

④ 所有直角三角形构成的集合可表示为：）． 例：请区分下列各组中的集合:

2?0, ①??,???； ②{(1，2)}， {1，2}， {x?1，y?2}；

??a,b,c,d;

?a,{b,c},d, ③实数集R， {实数集}， {R}； ④???x?3?2与x?3?2 ⑤x．

??（3）图示法：为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．

6．子集概念反映的是两个集合之间的包含关系．

（1）定义：对于两个集合A、B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作．即若a?A?a?B． （2）性质：① 任何一个集合是它本身的子集，即；

② 空集是任何集合的子集，即；

③传递性：若A?B，且B?C，则．

7．真包含与集合相等．

一般讲，集合与集合之间的包含关系分为两种情况：

（1）集合相等：对于两个集合A、B，如果集合A?B，B?A，我们就称集合A与集合B相等，记为．

（2）真子集：如果A?B，且A?B，我们就称集合A是集合B的真子集，记为．

思考：能否这样定义真子集：“如果集合A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫集合B的真子集”． 8．全集与补集．

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（1）全集（universe set）：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．记作．

注：全集因研究的问题而异．如要讨论x2?1?x的实数解，则U?； 若针对“某校女生”这个集合，则U=．

（2）补集（complementary set）：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，

即CUA?．

注: 补集是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同．因此，求一个集合的补集时，应先明确全集．即“求补看全集” ．

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