不等式选讲(选修4-5)

不等式选讲（选修4-5）

目 录

(5．0不等式的性质…………………………………) 5．1含有绝对值的不等式……………………………1 5．2不等式的证明……………………………………9 5．3几个重要的不等式………………………………21 5．4数学归纳法………………………………………30 5．5不等式的简单应用………………………………38

小结与复习………………………………………48 复习参考题………………………………………52

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导言：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

5．1含有绝对值的不等式

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1．含有绝对值的不等式的解法

解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

?x，如果x?0;?x??0，如果x?0;

??x，如果x?0.? 含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式

x?a

的解集是

?a?x?a

它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图1-1 所示。

?a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 例1. 解不等式 3x?1?x?2 解 由原不等式得

?(x?2)?3x?1?x?2

2

也就是不等式组

（1）

3x?1?x?2 （2）

?(x?2)?3x?1由不等式（1）得

1x??.4 x?

由不等式（2）得

3. 2所以原不等式的解集是

?13?x?。 42

第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 x?a

的解集是

x?a 或x??a。

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间

(??,?a),(a,?)的并集。如图1-2所示。

–a a 图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 例2. 解不等式 3x?1?2?x

解 由原不等式得

3x?1?2?x （1） 或

3x?1??(2?x) （2） 由不等式（1）得 x?3 41 213或x?. 24 由不等式（2）得 x??所以原不等式的解集是x??注意 例1（第一种类型）的解集是两个不等式（1），（2）的解集的交集。而例2（第

二种类型）的解集是两个不等式（1），（2）的解集的并集。

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练习1（1） 解不等式

1． 22x?1?1. 2. 41?3x?1?0 3. 3?2x?x?4. 4. x?1?2?x.

225． x?2x?4?1 6. x?1?x?2.

有了上面的基础，我们就可进一步探讨一些更为复杂的含有绝对值的不等式的解法。 例3. 解不等式

2x?1?3x?2?5.

解 根据绝对值的意义，我们先求出2x＋1和3x－2的零点，再分区间讨论。容易得出

12112?,分别是2x＋1和3x－2的零点。它们把数轴分成三个区间(??,?),[?,]，232232(,??),即 31122x??,??x?,?x.

22331 在x??时，2x?1??(2x?1),3x?2??(3x?2),原不等式化为不等式

2?(2x?1)?(3x?2)?5

即得到一个不等式组 （1）x??1, 2?(2x?1)?(3x?2)?5.

同样可以得到其它两个不等式组： （2）?12?x?, 23 (2x?1)?(3x?2)?5. （3）

2?x, 3 (2x?1)?(3x?2)?5.

分别解这三个不等式组。第一个不等式组的解是 x??4; 5第二个不等式组无解；第三个不等式组的解是

6x?.

5原不等式组的解是x??46或x?.也就是 554

46(??,?]?[,??).

55 注意 本例用了区间符号来表示不等式的解集，这种表示方法，今后常要应用，应逐渐

熟练使用。

例4 解不等式x?2?x?1?5.

解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）?2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x?4或x??1. 练习1（2） 解下列不等式

1. x?x?2?4 2. x?1?x?3?6. 3. x?x?1?2 4. x?x?4?2.

探究：有时，对一些较为复杂的绝对值不等式的问题，直接分区间讨论的“代数解法”很难凑效，但如果考虑利用绝对值的几何意义，则往往能够收到“出奇制胜”的效果，既快又准地探求到问题的解。试探究解决下述问题：

不等式 x?1?x?3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围.

2．含有绝对值的不等式的证明

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）a?b?a?b. （2）a?b?a?b. （3）a?b?a?b.

（4）

ab?a(b?0). b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质a?b?a?b和

ab?a(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直b接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号

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不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。

例1．证明 （1）a?b?a?b.（2）a?b?a?b. 证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以 a?b?a?b?a?b.

如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以 a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b. （2）根据（1）的结果，有 a?b??b?a?b?b, 就是， a?b?b?a. 所以，a?b?a?b. 例2．证明 a?b?a?b?a?b. 证明 ?a?b?b?a?b?b?a, ?a?b?a?b.

在例1（1）中将b换成－b，便得到a?b?a?b. 例3 证明 a?b?a?c?b?c.

证明 a?c?b?c?a?c?(b?c)?a?b.

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点）， 就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4 已知 x?a?cc,y?b?. 22 求证 (x?y)?(a?b)?c.

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证明 由例1，(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)

?x?a?y?b. （1）

cc,y?b?, 22cc?x?a?y?b???c. （2）

22?x?a?由（1），（2）得

(x?y)?(a?b)?c. 例5 已知x?aa,y?. 求证： 462x?3y?a.

aa,y?, 46aa ?2x?,3y?.

22证明 ?x?由例1及上式，

2x?3y?2x?3y?aa??a. 22 注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 练习2

cc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c. 22cc2． 已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c.

461． 已知A?a?链接：

不等式的图形

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。

1．解不等式x?1?x?2?x?1.

题意即是在数轴上找出到?1?1与?2?2的距离之和不大于到点?3??1的距离的所有流动点x。

首先在数轴上找到点?1?1，?2?2，?3??1（如图）。

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?3 x1 ?1 ?2 x2 x

-1 0 1 2 3

从图上判断，在?1与?2之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到?1与?2的距离和正好是1，而到?3的距离是2?(x?1)?1?x(1?x?2)。

现在让流动点x由点?1向左移动，这样它到点?3的距离变，而到点?1与?2的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于?3??1与?1?1之间的某一个点x1。

由(1?x1)?(2?x1)?x1?(?1),可得x1?2. 3再让流动点x由点?2向右移动，虽然这种点到?1与?2的距离的和及到?3的距离和都在增加，但两相比较，到?1与?2的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点x2而止。

由(x2?1)?(x2?2)?x2?(?1),可得x2?4.从而不等式的解为2．画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。

先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：

x?0

，y?0，x?y?1.

2?x?4. 3其图形是由第一象限中直线y?1?x下方的点所组成。

同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x?y?1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。

探究：利用不等式的图形解不等式

1. x?1?x?1?1; 2．x?2y?1.

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习题5。1

A组

1．解下列不等式：

1 （2） 1?3x?4?7 212（3） 2x?4?x?1 （4） x?2x?x

2（1） 2?3x?2．解不等式：

（1）2x?1?x?1 （2）3．解不等式：

（1）x?1?x?2?3 （2）x?2?x?1?3?0.

4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x?4?x?3

5．已知 A?a?x?2?1 x?1sss,B?b?,C?c?. 求证： 333（1）(A?B?C)?(a?b?c)?s; （2）A?B?C)?(a?b?c)?s. 6．已知 x?a,y?a.求证： xy?a.

x?h. yB组

7．已知 x?ch,y?c?0.求证：

8．求证

a?b1?a?b?a1?a?b1?b.

9．已知 a?1,b?1.求证：

a?b?1.

1?ab10．若?,?为任意实数，c为正数，求证： ???2122?(1?c)??(1?)?.

c222 （????????2??，而???c??21?c2c???221?c2）

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5．2 不等式的证明

不等式的证明是数学证明的一个重要部分，也是学习不等式的一块主要内容。证明不等式往往要涉及到多方面的知识和思想方法，具有较强的技巧性，没有固定的程序可循，证法要因题而异，灵活多变。其最基本的方法就是应用不等式的意义及其基本性质和几何背景，并通过代数变换予以论证。常用的方法大致有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法以及数学归纳法等。其中数学归纳法证明不等式的方法将在本书第四章《数学归纳法》部分专门学习，本部分重点学习前几种方法。 1．比较法

不等式本身就是建立在实数可以比较大小的基础上立论、推导、论证的。这就启发我们证明不等式可以在比较上下功夫。

通过比较来论证不等关系成立与否的方法称为比较法。常用的比较法主要包括两种类型。

（1）差值比较型

根据：若a?b?0?a?b；若a?b?0?a?b. （2）商值比较型

根据：若a?0,b?0,a?1?a?b. b例1．若实数x?1，求证：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.

证明：采用差值比较法

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2

=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1) =2(x?1)(x?x?1) =2(x?1)[(x?)?].

224242343221223413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,

2413? 2(x?1)2[(x?)2?]?0,

24? 3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.

讨论：若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

?例2．已知a,b?R,求证ab?ab.

abba本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法

注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.

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?a?b?0?ab?ab?ab(a从而原不等式得证。 2）商值比较法 设a?b?0,

abbabba?b?ba?b)?0,

?a?1,a?b?0, baabba?ba?()a?b?1.

bab故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例3．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m?n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有

t1tSS??t2， m?1n?S，

2m2n222SS(m?n)，t2?， m?n2mn2SS(m?n)?从而 t1?t2? m?n2mn可得 t1?S[4mn?(m?n)2] ?

2(m?n)mnS(m?n)2 ??，

2(m?n)mn其中S,m,n都是正数，且m?n。于是t1?t2?0，即 t1?t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果m?n，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例4．设f(x)?2x?1,pq?0,p?q?1.求证；对任意实数a,b，恒有

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2 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb). （1） 证明 考虑（1）式两边的差。

pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).

＝p(2a2?1)?q(2b2?1)?[2(pa?qb)2?1]

＝2p(1?p)a2?2q(1?q)b2?4pqab?p?q?1. （2）

?p?q?1,pq?0,

?(2)?2pqa2?2pqb2?4pqab ?2pq(a?b)2?0.

即（1）成立。

阅读材料：

琴生不等式

例4中的不等式pf(a)?qf(b)?f(pa?qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数f(x)的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数x1,x2，都有 f??x1?x2?f(x1)?f(x2). （1） ??22??则称f(x)为[a,b]上的凸函数。

若把（1）式的不等号反向，则称这样的f(x)为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是：过y?f(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

其推广形式是：若函数f(x)的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数x1,x2,?xn，都有

f??x1?x2???xn?f(x1)?f(x2)???f(xn). （2） ??nn??当且仅当x1?x2???xn时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：

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设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点x1,x2，有

pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),

其中p,q?R?,p?q?1，则称f(x)是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有

pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),则称f(x)是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设q1,q2,?,qn?R?,q1?q2???qn?1，f(x)是[a,b]上的凸函数，则对任意x1,x2,?,xn?[a,b],有

f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn)，

当且仅当x1?x2???xn时等号成立。

若f(x)是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 练习1

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与x?x?1；（2）x?x?1与(x?1)2.

22．已知a?1. 求证：（1）a?2a?1; （2）

2222a?1. 21?a3．若a?b?c?0，求证abc?(abc)abca?b?c3.

2．综合法和分析法

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是‘由因及果’，后一种是‘执果索因’。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是‘综合法’；而张三自己找路，直至回到驻地，这是‘分析法’。

以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，A?B?2AB是常常要用到的一个重要不等式。

例1．a,b都是正数。求证：

2222ab??2. ba证明：由重要不等式A?B?2AB可得

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abab??2?2. baba本例的证明是综合法。

例2． 设a?0,b?0，求证a3?b3?a2b?ab2. 证法一 分析法

要证a3?b3?a2b?ab2成立.

只需证(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b)成立， 又因a?b?0，

只需证a2?ab?b2?ab成立， 又需证a2?2ab?b2?0成立， 即需证(a?b)2?0成立.

而(a?b)2?0显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法

(a?b)2?0?a2?2ab?b2?0?a2?ab?b2?ab

注意到a?0,b?0，即a?b?0，由上式即得(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b)， 从而a3?b3?a2b?ab2成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

例3． 已知a，b，m都是正数，并且a?b.求证：

a?mb?m?ab. （1） 证法一 要证（1），只需证

b(a?m)?a(b?m) （2）

要证（2），只需证

bm?am （3） 要证（3），只需证

b?a （4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b?a,m是正数，所以 bm?am

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两边同时加上ab得

b(a?m)?a(b?m) 两边同时除以正数b(b?m)得（1）。

读一读：如果用P?Q或Q?P表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是

（1）?(2)?(3)?(4). 而采用综合法的证法二就是

(4)?(3)?(2)?(1).

如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有P?Q,Q?P，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为P?Q.在例2中，由于b,m,b?m都是正数，实际上

(1)?(2)?(3)?(4).

例4．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长

LL?L?为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为???；周长为L的正方形为，截面

2?4?2??2?L??L??L?积为??。所以本题只需证明??????。

?4??2???4??L?证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为???，截面是正方形

2????L?的水管的截面面积为??。只需证明

?4??L??L???????。 ?2???4?为了证明上式成立，只需证明

2222222?L2L2? 。 2164?两边同乘以正数

4，得 2L15

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