《四边形性质探索》水平测试(A)

《四边形性质探索》水平测试（A）

四川 蒋 福

一、相信你的选择(每小题3分，共30分)

1．如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是 ( )．

A．AC⊥BD B．OA=OC C．AC=BD D．A0=OD

2．下列四个判断中，错误的是（ ）． ．．A．四条边都相等的四边形是菱形； B．有三个角是直角的四边形是矩形；

C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是中心对称图形；

D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形. 3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若将腰AB沿A→D的 方向平移到DE的位置，则图中与∠C相等的角（不包括∠C）有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂 直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）．

A．6 B．8 C．9 D．10

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，

BD平分∠ABC，如果这个梯形的周长为30，则BC的

长是（ ）．

A、18 B、12 C、8 D、6

6、如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点

E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）．

A、95° B、80° C、75° D、70°

24mm7、右图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数

16mm4mm据如图所示，则该主板的周长是（ ）．

A、80mm；

8、矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）cm2．

A、4 B、8 C、12 D、4或 12

9、如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边 的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长和面积分别为（ ）．

A、82cm和8cm2 B、162cm和32cm2 C、8cm和82 cm2 D、8cm和8cm2

l0．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形 EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 （ ）． A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关

二、试试你的身手（每小题3分，共30分）

11．五边形的内角和与外角和分别是 度和 度．

12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为 平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．

13. 下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_____________（请填图形下面的代号）．

B、84mm；

C、96mm；

D、88mm；

14、已知菱形的周长为16cm，两邻角之比为1∶2，则较短对角线的长为 ．

15、如图，在矩形ABCD中，AB=6，则BC=4，E为BC的中点，F在AB上，且BF=2AF，则四边形AFEC的面积

DCEAFB为 ．

16、正方形ABCD中，对角线BD的长是20cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是 cm．

17、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=17，∠B=55°，∠C=70°，那么DC的长等于 ．

E18、如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转 30°后得正方形EFCG，EF交AD于点H，则DH的长为 ．

ADGF

19、 小颖所在的学校里有一处花坛是美丽的菱形图案，如 图所示，小颖发现，她沿着花坛的边沿走完一个菱形图案用了12 秒钟，当她以同样的速度从A到B再到C，只用了6秒钟，小颖 说她知道了两个菱形间的夹角（即∠1）的度数了，请问你∠1的 度数为 ．

20、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜 色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1个单位长， 则这个矩形色块图的面积是 个平方单位．

三、

38分）

BC21、（8分）已知梯形ABCD，如图所示，其中AB∥CD，现要 求添加一个条件．例如AD＝BC，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除 了AD＝BC外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯 形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件．

甲：∠A＝∠B；乙：∠B＋∠D＝180°；丙∠A＝∠D；丁：梯形是轴对称图形．

你认为哪些同学的条件符合要求？理由是 ． 你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？

22．（9分）如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．

23、 （10分）如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有 一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．

（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由． （2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后， 如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；

若不存在，也请你给出理由．

24、（11分）如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作 等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的 四边形不存在？

四、思考与探索（22分）

25、 （ 10分）阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2））．

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1______S2，S3________S4； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ 26、（12分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点， 过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角平分线于点F．

（1）试探索OE与OF之间的数量关系．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理 过程．

（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．

参考答案与提示

一、相信你的选择

1、B； 2、D； 3、C； 4、B； 5、B； 6、B； 7、C（提示：利用平移

或割补，知该主板的周长＝24×2＋（16＋4）×2＋4×2＝96，故选C）； 8、D（提示：注意分清“两部分”的含义，哪部分为3cm，哪部分为1cm，不要漏解）； 9、A；10、A．

二、试试你的身手

11、540，360； 12、答案不唯一，可以是：AB?CD或AD∥BC等； 13、②； 14、4cm； 15、8； 16、10； 17、9；

18、3； 19、60°； 20、143．

三、挑战你的技能

21、解：甲、乙、丁三位同学的条件均符合要求．

理由：甲从同一底上的两个角进行限定；乙则从对角及邻角之间的关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B＋∠C＝180°，从而可由∠B＋∠D＝180°，得∠C＝∠D；丁则从对称性进行限定，这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．

对于丙的限定，由于∠A＋∠D＝180°，故∠A＝∠D＝90°，从而梯形ABCD是直角梯形． 可另外添加∠C＝∠D． 22、（1）证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，∴∠ADE=∠CBF= 60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．在?ABCD中，AD=BC，DC∥=AB，∴ED=BF ， ∴ED+DC=BF+AB，即 EC=AF ． 又∵DC∥AB，即EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形 ．

（2）上述结论还成立 ． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥=AB，∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，∴∠AED=∠CFB ． 又∵AD=BC， ∴△ADE≌△CBF ， ∴ED=FB．∵DC=AB，∴ED+DC=FB+AB，即EC=FA． ∵DC∥AB，∴四边形EAFC是平行四边形

23、解：BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，由题知，把△DCG绕点C顺时针旋转90°，与△DCE重合，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．

（2）上述结论也存在．理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，把△BCG绕点C顺时针旋转90°，使之与△DCE重合，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．

24、解：（1）四边形ADEF是平行四边形；

（2）若四边形ADEF为菱形，AD＝AF，所以AB＝AC．所以当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADEF是菱形；

（3）由（1）得∠BAC＝∠BDE＝60°＋∠ADE，当∠ADE＝0°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存时，此时，∠BAC＝60°．所以当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

四、思考与探索

25、解析：读完两位同学的两种分割方法后不难发现第（1）问中两个面积都相等；第

（2）、（3）小问就要在解决前面问题的基础上总结出一般性的结论．若把能够等分平行四边形面积的一些直线都集中到一个平行四边形中去画，则可发现这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点，即平行四边形的对称中心．所以

（1）＝，＝；

（2）无数，如图（3）中的直线MN；

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可把平行四边形分成面积相等的两个部分．

26、解：（1）因为MN∥BC，所以∠OEC＝∠ECB，∠OFC＝∠FCD．又因为CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．所以∠ECB＝∠OCE，∠OCF＝∠FCD，所以∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，所以EO＝OC，FO＝OC，故EO＝FO；

（2）由（1）知，OE＝OC＝OF，当OC＝OA，即点O为AC的中点时，有OE＝OC＝OF＝OA，这时四边形AECF是矩形；

（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，又由于EF∥BC，得∠ACB＝90°，所以△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形．

（2）、（3）小问就要在解决前面问题的基础上总结出一般性的结论．若把能够等分平行四边形面积的一些直线都集中到一个平行四边形中去画，则可发现这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点，即平行四边形的对称中心．所以

（1）＝，＝；

（2）无数，如图（3）中的直线MN；

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可把平行四边形分成面积相等的两个部分．

26、解：（1）因为MN∥BC，所以∠OEC＝∠ECB，∠OFC＝∠FCD．又因为CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．所以∠ECB＝∠OCE，∠OCF＝∠FCD，所以∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，所以EO＝OC，FO＝OC，故EO＝FO；

（2）由（1）知，OE＝OC＝OF，当OC＝OA，即点O为AC的中点时，有OE＝OC＝OF＝OA，这时四边形AECF是矩形；

（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，又由于EF∥BC，得∠ACB＝90°，所以△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形．

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