大学物理课后题答案4

习 题 四

4-1 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300ms，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力F?400?800x9。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。

[解] 设枪筒长度为L，由动能定理知

1212mv?mv0 22LL8000x 其中A??Fdx??(400?)dx

0094000L2?400L?

9 A? 而v0?0， 所以有：

4000L2400L??0.5?0.002?3002

9400L2?360L?81?0 化简可得：

L?0.45m 即枪筒长度为0.45m。

4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初

速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为?，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为W?12?2??mv0e?1 2??[证明] 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 f??N (1)

另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 ?f?mat (2)

v2 法向 N?m (3)

Rv2 联立上述三式解得 at???

Rdvdvdsdv 又 at???v

dtdsdtdsdvv2???所以 v dsR?dv即 ??ds

vR两边积分，且利用初始条件s=0时，v?v0得

lnv???Rs?lnv0 即 v?v04-1

?seR?

由动能定理 W?1212mv?mv0，当滑块从另一端滑出即s??R时，摩擦力所做的功为 222???R111222?2???mv0e?1 W?mv0eR?mv0222??

4-3 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知

F?F0sin2?t，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0T到T2时间内，力F冲量的大小；(3)在0到T2时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。

[解]由冲量的定义I? I??tt12Fdt，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即

?tt12Fdt

T(1) 从t＝0到 t=T，冲量的大小为： I1??0Fdt?T2?0TF0sinFT2?t2?tTdt?0[?cos]0=0 T2?T(2) 从t=0到 t=T/2，冲量的大小为 I2??0Fdt??0T2F0TTF2?t2?tT2F0sindt?[?cos]0?0

T2?T?(3) 初速度v0?0，由冲量定理 I?mv?mv0

ITF0v??当 t=T/2时，质点的速度m?m

又由动能定理，力F所作的功

mT2F02T2F02111222A?mv?mv0?mv??2222?2m22?2m

(4) 质点的加速度a?(F0/m)sin(2?t/T)，在t=0到t=T/2时间内，a>0，质点作

初速度为零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a<0，但

v>0，故质点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。

4-4 如图所示，将质量为 m的球，以速率v1射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?

[解] 设地球和弹簧枪的共同速度为v2，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞

4-2

前后速度方向相同，故有

mv1??m?M?v2 (1)

把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量

1212 (2) W?mv1??m?M?v22211m222联立以上两式得 W?mv1??m?M? v1222?m?M?11m22?mv1?v12 22m?MmMv121m?2??mv1?1? ??2m?M?2?m?M??

4-5 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。

[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以r?v，由L?r??mv?知，

L?rmv v?L rm211?L?1L22所以卫星的动能 Ek?mv?m? ??222?rm?2rm选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：

v2GMmFn?m?2

rr12GMm mv?22rGMm又 Ep??

r所以 Ek?L2所以 Ep??2Ek??

mr2L2所以 E?Ek?Ep?? 22mr

4-6 已知某人造卫星的近地点高度为h1，远地点高度为h2，地球的半径为Re。试求卫星在近地点和远地点处的速率。

[解] 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即L?恒量。在近地点和远地点速度方

4-3

向与轨道半径方向垂直。

故 ?Re?h1?mv1??Re?h2?mv2 (1)

设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为－GMm和

Re?h1－GMm，由机械能守恒定律得

Re?h21GMm1GMm2mv12－?mv2－ (2) 2Re?h12Re?h2在地球表面附近有

GMm?mg (3) 2Re联立以上三式解得 v1?Re2g?Re?h2? ?Re?h1??2Re?h1?h2?2g?Re?h1? ?Re?h2??2Re?h1?h2?v2?Re

4-7 一质量为m1与另一质量为m2的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由x1增加到x?x1?d时所需要作的功。

[解] 万有引力 F??Gm1m2r2r0

两质点间的距离由x增加到x?x1?d时，万有引力所作的功为

A??x1?dx1F?dr???x1?dx1Gm1m2r2?11?dr?Gm1m2???x?dx??

1??1故外力所作的功

A???A??x1?dx1?11?d? F?dr?Gm1m2???Gmm12?x???x?dxx?d111?1?此题也可用功能原理求： A外??E??Ep＝?

4-8 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为f?kr2，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。

[解]由势能的定义知r处的势能Ep为:

4-4

Ep??f?dr??fdr??rr???rk1dr??kr32r2?r?k 22r

4-9 如图所示，有一门质量为M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v应是多大?

[解] 大炮从静止滑动距离L的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为V'，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得 MgLsin??mv?2/2 (1)

大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为v， 沿斜面方向的分量为vcos?，又因炮车末态静止，则

Mv??mvcos? (2)

由(1)、(2)两式得

v? ?2gLsin?

M2gLsin? Mv?v??mco?smco?s

4-10 设地球的质量为M，万有引力恒量为G0，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心R1下降到R2处时所增加的动能。

[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：

?Ek???Ep??[?G0MmMm?(?G0)]R2R1Mm(R1?R2)?G0R1R2

4-11 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成Ep?x??ab?，式中a、b126xx为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时Ep?x??0?x为何值时

Ep?x?为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中

有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。

[解] (1) 当Ep?x?=0时，有：

4-5

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