误差理论与测量平差基础试题

平差练习题及题解

第一章

1.1.04 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：

（1）尺长不准确；

系统误差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“－”。 （2）尺不水平；

系统误差，符号为“－”。 （3）估读小数不准确；

偶然误差，符号为“+”或“－”。 （4）尺垂曲；

系统误差，符号为“－”。 （5）尺端偏离直线方向。

系统误差，符号为“－”。

第二章

2.6.17 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组：3，－3，2，4，－2，－1，0，－4，3，－2 第二组：0，－1，－7，2，1，－1，8，0，－3，1 试求两组观测值的平均误差?1、?2＾＾＾＾＾和中

＾?1、?2，并比较两组观测值的精度。

＾＾解：?1＝2.4，?2＝2.4，?1＝2.7，?2＝3.6。

两组观测值的平均误差相同，而中误差不同。由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差作为衡量精度的指标。本题中?1＜?2，因此，第一组观测值的精度高。

＾＾第三章

3.2.14 已知观测值向量

L1、L2和L3及其协方差阵为

ｎ1ｎ2ｎ3 D11 D12 D13 D21 D22 D23 D31 D32 D33 , 现组成函数： X=AL1+A0, Y=BL2+B0, Z=CL3+C0,

式中A、B、C为系数阵，A0、 B0、 C0为常数阵。令W=[X Y Z],试求协方差阵DWW 解答： DXX DXY DXZ AD11A AD12B AD13C DWW = DYX DYY DYZ = BD21A BD22B BD23C DZX DZY DZZ CD31A CD32B CD33C

3.2.19 由已知点A（无误差）引出支点P，如图3-3所示。其中误差为?0，?0为起算方位角，观测角β和边长S的中误差分别为??和?S，试求P点坐标X、Y的协方差阵。

TTTTTTTTTT

图3-1

解答：令P点坐标X、Y的协方差阵为

2 ?xy ?x2 ?xy ?y2???XAP2222?02 式中：?x=（）?S＋?YAP－2＋?YAP2

?S?2

2???YAP2222?02）?S＋?XAP－2＋?XAP2 ?y=（

?S?2???XAP?YAP?022）?S－?XAP?YAP2－?XAPYAP2 ?xy=（2?S?2?xy=?yx

3.5.62 设有函数F=f1x＋f2y，其中

x??1L1??2L2????nLn，

y??1L1??2L2????nLn，

?i，?i（i?1,2,?n）为无误差的常数，而L1,L2?Ln的权分别为P1,P2?Pn，试求函

数F的权倒数

1。 PF解答：

1???????f12[]?2f1f2[]?f22[] PFPPP式中：[??P]??12P1?2?2P2???2?nPn

[??P]??1?1P1?2?2P2?????n?nPn

[??P]??12P1??22P2?n2Pn。

3.6.71 某一距离分三段各往返丈量一次，其结果如表3-1所示。令1km量距的权为单位权，试求：

（1）该距离的最或是值S； （2）单位权中误差；

（3）全长一次测量中误差； （4）全场平均值中误差； （5）第二次一次测量中误差。 表3-1

段号 1 2 3 解答： （1）（4）

5.2.12 指出图中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数（图中Pi为待定

^^往测/m 1000.009 2000.001 3000.008 ^返测/m 1000.007 2000.009 3000.010 S?6000.027(m) （2）?0?1.11(mm) （3）?全

?2.72(mm)

?^平

?1.92(mm) （5）

?^L2?1.57(mm)

~为已知方位角）坐标点，Si为已知边，?。 i~

答案：（a）n=21，t=9，r=12

共有12个条件方程，其中有7个图形条件，1个圆周条件，3个极条件，一个方位角条件；

（b）n=16，t=8，r=8

共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件； （c）n=13，t=5，r=8

共有8个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件，1个方位角条件； （d）n=12，t=6，r=6

共有6个条件方程，其中有1个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个坐标条件。

5.2.18 图中，A、B为已知坐标点，观测了12个角度和2条边长S1,S2。P1,P2,P3为待定点，试列出全部平差值条件方程。

答案：n=14，t=6，r=8

共有7个条件方程，其中有3个图形条件：

??L??L??L??L??180??0L1251112??L??L??L??L??180??0 L25678??L??L????L??180??0?LL6789103个极条件：

大地四边形AP2P3B以B点为极：

??L?)sinL?sinL?sin(L1269?1?0

?????sinLsin(L?L?L)sinL57891大地四边形AP1P2B以P1点为极：

??L??L?)sinL?sinL?sin(L123411?1?0

????sinL?sin(L?L)sinL34512大地四边形P1点为极： 1P2P3B以P??L?)sinL?sin(L??L?)sin(L4571011?1?0

??????sin(L?L?L)sin(L?L)sinL45689112个边长条件：

AB?S1:S1~S2:?S1??L?)sin(L1112?SAB?0?sinL5S1S2??0???sin(L7?L8)sinL2

6.1.08 试按附有参数的条件平差法列出如图所示的函数模型。 （a）已知值：?A 观测值：L1~L4 参数：?BOD （b）已知点：A，B 观测值：L1~L3 参数：?ACB

(a)

答案：（a）r=1，u=1，c=2；

~~~~L1?L2?L3?L4?360??0 ~~~L2?L3?X?0（b）r=1，u=1，c=2

~~~L1?L2?L3?180??0 ~L3?X?360??0??X?Y?10.2.06 已知某平面控制网经平差后得出待定点P的坐标平差值XPP为： QX?????的协因数阵

T?20?22??（dm/()) ??01??0?0.5??,试求该点的点位中误差。 单位权中误差为??P?1.23dm。 答案：????x?P10.2.15 某三角网中有一个待定点P，并设其坐标为参数X?02?1(??)2,Qx??x????0.5?20.5?(dm2/(??)2)。 ?2?2?P?T,经平差求得y（1）计算P点误差椭圆参数?E、E、F及点位方差?P; （2）计算??30?时的位差及相应的?值；

（3）设?=30时的方向为PC，且已知边长SPC?3.120km，试求PC边的边长相对中误差

?S/SPC及方位中误差。 ?PC答案：（1）?E=45或225，E=2.5dm,F=1.5dm,?P?4dm2 （2）???30??1.56dm，?=345 （3）

2?SpSpc?1，??pc?8.25??

200000《误差理论》期中测试题

班级 学号 姓名 成绩

1.（10分）判断正误、填空题：

1） 观测值普遍存在误差，观测误差不可避免。 （ ） 2） 水准测量中尺子不直，尺子在竖直面上的偏差为偶然误差；这种偏差对水准仪读数产

生的误差为系统误差。 （ ） 3） 两组观测值产生两组真误差，真误差的最大值较大的一组观测值精度低，最大值较小

的一组精度高。 （ ） 4） X，Y均为L的函数，则X，Y一定相关。 （ ） 5） 观测向量协因数阵的对角元素为相应观测值的权倒数； （ ）

权阵的对角元素为相应观测值的权。 （ ）

6） 观测值L的非线性函数之所以能够被线性化，是因为观测值的读数L0接近其真值，在

L0处按台劳公式展开后二次以上项可以省略。 （ ） 7） 偶然误差的特征是： 有限性 集中性 对称性 抵偿性 。 8） 两个观测值X、Y的数学期望分别为E(X）、E（Y），则X、Y的协方差为：

（1） 。

两组观测向量X、Y的数学期望分别为E(X）、E（Y），则X、Y的协方差为：

（2） 。

2．（10分）观测值L服从正态分布N（μ，σ），（1）试写出L及其真误差Δ的密度函数；

（2）求E（3Δ）、E（2+3Δ）、D（1-3Δ）。

3．（10分）试证：1） E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

2) D(X)=E(X2)-E2（X）。

4．（15分）设有正态随机变量X、Y，试证

1） 若X、Y相互独立，则X、Y不相关； 2） 若X、Y不相关，则X、Y相互独立。

5（15分）同精度独立观测值L1、L2…LN的方差为σ12=σ22…=σN2=σ2，求N个观测值的

2

2

1算术平均值（x?N

的方差，并由Li的真误差Δ（，求x的中误差估值?x。 ii=1,2…N）?Li）

1N?6．（20分）在三角形ABP中，A、B为已知点，同精度观测值L??L1 L2 L3?T，把三角形内角和的闭合差（w=L1+L2+L3-180o）平均分配到各观测值后，得到平差值?????L??L1 L2 L3????T。 PL2SαA0αN已知

DLL??2 0 0???， ??0 ?2 0???2??0 0 ???D??LL1212??22? ? ?? ???33?3??122212?。 ???? ? ???33?3?1222??12??? ?? ??33?3?L1BL3S01） 取σ02=2σ2，求权pLi及pLi?（i=1,2…N）。 ????S?S0sinL1?2） 現由L按下式求算AP的方位角α和长度S：?， ?sinL2????????0?(180??L1?L2)试确定σ

2

SS

、σ

2

αα

、σ

2

Sα

。

??12 ?12 ?13??L1?????7．（20分）观测向量L?L， 2?DLL??21 ?2 ?23??2????L?2??31 ??3?? ?323??（1） 取L的单位权中误差为σ20，求权pi(i=1,2,3)，确定L的协因数阵（权逆阵）

QLL。

（2） 求相关系数ρ13、ρ32。

（3） 试构造L'??L'?使L’1 、L’2 、L’3为同精度观测值（提示：令pL’i=1）。

?2??L'??3??L'1?（4） 设X=K L+K0，Y=F L+F0，求DXX、DXY、QXX、QXY。

8．（附加题：10分）（1）设有观测值X，求y=f(X)的中误差。

n 1（2）设有随机变量X之数学期望为E（X）、方差为D（X），

求E(D(E(D(X))))，D(E(E(E(X))))。

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