leslie人口增长模型模型 - 图文

人口增长预测模型

摘要

奔文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。

模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。

模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）： 以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。

首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。

其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。

再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。

最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。

关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型 人口增长预测 MATLAB软件

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§1、问题重述

一、背景知识：

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在 二、相关数据：

附件1 《国家人口发展战略研究报告》 附件2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据 三、要解决的问题：

1、试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附件2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

2、利用所建立模型的预测结果，参照附件1的相关叙述对反映中国人口增长特点的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。

3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和管理进行分析。

§2、问题分析

人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目以及附录1中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。

一、从附件1中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。因而，我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：阻滞增长模型。

二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件2建立了模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie模型。

三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。

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§3、合理的假设

1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争bi,si不随时间而变化 2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算 3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变 4、不考虑移民对人口总数的影响

§4、名词解释与符号说明

一、名词解释

1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。

2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。

3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常用百分比表示。说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义（ 15-59 岁人口或 15-64 岁人口），计算总抚养有两种方式

4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。

5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。 二、符号说明

序号 1： 2 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9： 10： 11： 12： 13： 14： 符号 意义 表示年份（选定初始年份的t?0） t 人口增长率 r 人口数量 x xm 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 可决系数 R2 ni(t),i?1,2,?m 在时间段t第i年龄组的人口总数 b（ii?0,1,2,?,90) 第i年龄组的生育率 d（ii?0,1,2,?,90) 第i年龄组的死亡率 si(i?0,1,2,?,90) 第i年龄组的存活率 L Leslie矩阵 Z0 2001年全国人口总数 zs 2001年城市总人口 zz 2001年镇总人口 zx 2001年乡总人口 3

15： 16： 17： 18： 19: 20：

ni(0),i?1,2,?m 2001年第i年龄段的人口总数

vi(i?1,2,3) i?1,2,3时分别表示市、镇、乡的女孩出生率 L(j) j时段具有劳动能力的人口 ?(j) 社会的抚养比指数

总和生育率 k

Ki(j) j时段i年龄组中女性所占的百分比

§5、模型的建立与求解

模型Ⅰ：阻滞增长模型（Logistic模型）[1] 一、模型的准备

阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增

长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。则它应是减函数。于是有：

dx?r(x)x,x(0)?x0dt （1）

对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx(r?0,s?0) （2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，当x?xm时人口不再增长，即

r增长率r(xm)?0，代入（2）式得s?，于是（2）式为

xm r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：

x?dx??rx(1?) ?dtxm??x(0)?x0x)xm （3）

（4）

解方程（4）可得：

x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0 （5）

二、模型的建立

为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库

（http://211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。

表1 各年份全国总人口数（单位：千万）

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年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1982 1983 1984 1985 101.654 103.008 104.357 105.851 1988 1989 111.026 112.704 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 年份 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 年份 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756 1、将1954年看成初始时刻即t?0，则1955为t?1，以次类推，以2005年为t?51作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数xm? 180.9871,r?-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：

R2?1??(yi?15i?15i?i)2?y?0.9959

i?(y?y)2由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲

线：

180.9871 （6）

180.98711?(?1)e?0.0.0336t60.2根据曲线（6）我们可以对2010年（t?56）、2020年（t?66）、及2033年（t?79） 进行预测得（单位：千万）：

x(56)?138.6161,x(66)?148.5400,x(79)?158.6028

结果分析：从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，

由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。

2、 将1963年看成初始时刻即t?0，以2005年为t?32作为终时刻。运用Matlab编程（程序见附录2）得到相关的参数xm? 151.4513,r? 0.0484，可以算出可决系数

x(t)?R2?0.9994得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：

x(t)?151.4513151.45131?(?1)e?0.0484t69.15

（7）

根据曲线（7）我们可以对2010年（t?47）、2020年（t?57）、及2033年（t?70） 进行预测得（单位：千万）：

x(47)? 134.9190,x(57)?140.8168,x(70)? 145.5908

结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。

3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab编程（程序见附录3）得到相关的参数xm? 153.5351,r? 0.0477，可以算出可决系数

R2?0.9987得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：

153.5351 x(t)? （8）

153.53511?(?1)e?0.0477t98.705根据曲线（7）我们可以对2010年（t?30）、2020年（t?40）、及2033年（t?53） 进行预测得（单位：千万）：

x(30)? 135.5357,x(40)? 141.8440,x(53)? 147.0172

结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以我们的结果应是比较可信的。

我们分别根据拟合曲线（6）、（7）、（8）对各年份中国总人口进行预测得到结果如表2：

表2 各年份全国总人口用不同拟合曲线预测数（单位：千万） 全国总人口预测（单位：千万） 年份 2000 2003 2006 2009 2012 2015 2018 2021 2024 2027 2030 2033 2036 2039 2042 2045 预测曲线（6） 预测曲线（7） 预测曲线（8） 126.7649 126.3338 126.473 130.5141 129.2303 129.5168 134.1 131.8447 132.2758 137.516 134.1926 134.7638 140.7577 136.2917 136.9971 143.8231 138.1607 138.9933 146.7117 139.819 140.771 149.4251 141.2856 142.3489 151.9662 142.579 143.7452 154.3392 143.7168 144.9778 156.5494 144.7157 146.0632 158.6028 145.5908 147.0172 160.5063 146.3562 147.8541 162.267 147.0247 148.5871 163.8924 147.6077 149.2284 165.3903 148.1158 149.7886 6

2048 166.7683 148.558 150.2775 由上表可以看出：用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近附件1中的预测。画出图形如图1：

对各年份全国总人口的预测人口数180170160150140130120110100预测曲线（6）预测曲线（7）预测曲线（8）年份200020062012201820242030203620422048图1：对各年份全国总人口数的预测

模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie模型[2] 一、模型的准备

将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为t?0,1,2?.设在时间段t第i年龄组的人口总数为ni(t),i?1,2,?m，定义向量

n(t)?[n1(t),n2(t),?nm(t)]T，模型要研究的是女性的人口分布n(t)随t的变化规律，从而

进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第i年龄组的生育率为bi，即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为di，即di是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，si?1?di称为存活率。设bi、si不随时间t变化，根据bi、si和ni(t)的定义写出ni(t)与ni(t?1)应满足关系：

m??n(t?1)??bini(t) ?i （9） i?1??ni?1(t?1)?sini(t),i?1,2,?,m?1在（9）式中我们假设bi中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不

到t?1的那些婴儿。若记矩阵

?b1b2?bm?1?s0?1 L??0s2????0sm?1?07

bm?0??（10） ??

??0??则（9）式可写作

n(t?1)?Ln(t) （11）

当L、n(0)已知时，对任意的t?1,2,?有

n(t)?Ltn(0) （12）

若（10）中的元素满足

（ⅰ）si?0,i?1,2,?,m?1；

（ⅱ）bi?0,i?1,2?,m，且至少一个bi?0。

则矩阵L称为Leslie矩阵。

只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n(0)，我们就可以求出t时段的人口分布向量n(t)。

二、模型的建立

我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据附件2中所给数据，以一岁为间距对女性分组。

（i?0,1,2,?,90?)： (1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量ni(0),附件2给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3

表 3 城市男 城市女 镇男 镇女 乡男 乡女 147907 147465 80279 77976 394690 372242 根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：

ps?0.242,pz?0.1297,px?0.6283

我们由表1数据知2001年全国总人口Z0?127.627（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：

zs?ps?z0?30.885、zz?pz?z0?16.548、zx?px?z0?80.194 根据附件2给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第i(i?0,1,2,?,90?)年龄段的女性的总数分别为n1i(0),n2i(0),n3i(0)。以城市为例，设2001年城市中处在i年龄段妇女占城市总人口比率分别为Pi，则n1i(0)?Pi?Zs（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第

i(i?0,1,2,?,90?)年龄段上的妇女总人数

ni(0)?n1i(0)?n2i(0)?n3i(0)（见附录7）。

（2）计算处在第i(i?0,1,2,?,90?)年龄段的每个女性平均生育女儿的人数

bi(i?0,1,2,?,90?)。附件2中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）i(i?0,1,?,90?)（i?15或i?49时都为0），则

可以分别算出2001年处在第i(i?0,1,?,90?)年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：

H1i(i?15,16,?,49),H2i(i?15,16,?,49),H3i(i?15,16,?,49)。

8

以城市为例计算H1i(i?15,16,?,49)：`

H1i(i?15,16,?,49)?b1i*n1i(0)(i?15,16,?,49)（镇、乡类似）。

附件2中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比c1,c2,c3（女

ci(i?1,2,3)。由此

100?ci就可以求出2001年处在第i(i?15,?,49)年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：

H?v?H2i?v2?H3i?v3bi?1i1(i?15,?,49)，

ni(0)100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率vi?由于总和生育率：S??bi?1.389 经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们

i?1549对生育率进行修正：bi?((1.8?v1?S)/S?1)*bi具体计算结果见附录7。 (3) 计算第i年龄段的女性总存活率率di(i?0,1,2,?,90?)：

记第i(i?0,1,2,?,90?)年龄段的女性的死亡率为di。附件2中分别给出了城市、镇、乡处在第i(i?0,1,2,?,90?)年龄段的女性死亡率d1i,d2i,d3i(i?0,1,2,?,90?)，则处在第i年龄段的女性总死亡率di(i?0,1,2,?,90?)为：

d1i?n1i(0)?b2i?n2i(0)?b3i?n3i(0)(i?0,1,2,?,90?)，

ni(0)于是总存活率为：si?1?di见附录4。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用

di?MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，

于是可以用上面(12)式

n(t)?Ltn(0)

进行预测。

三、对模型结果作进一步讨论

我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。 （1）人口总量与劳动力人口的发展变化

根据考虑种群结构的Leslie离散模型，利用2001年的数据建立人口预测模型。 通过分析，计算出我国人口的预测值，对应作出的我国劳动年龄人口与总人口的折线图如下：

161514131211109876人2001200520092013201720212025202920332037204120452049年份劳动年龄人口9

总人口

图2 我国全国总人口与劳动年龄人口折线图

根据图2 可以知道从2001年到2023年预测我国全国总人口是呈现上升趋势的，随后几年呈现缓慢下降的趋势。总人口在2010年、2020年分别达到14.2609亿人和14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人，在2033年达到14.7455亿人。把预测数值与附件2中所提供的预测数值进行比较，发现我们预测的未来人口的高峰期提前10年。这一方面可能由我国男女的出生性别比例中女性所占的比例较小的原因；另一方面，我们计算出人口更替率仅为1.42（此为5年的均值），而中外专家对我国90年代中期以来的人口更替率的计算结果为1.8（见附录10），两者相差甚远，这说明附录---提供的数据可能不够真实，从而导致了我国人口峰值的预测年份提前。

根据图2，我国劳动年龄人口庞大，15-64岁的劳动年龄人口2010年为10.4421亿人，2013年将达到高峰10.4852亿人，随后劳动年龄人口呈现下降的趋势。由此，可知在相当长的时间内，我国不缺劳动力，但需要加强劳动力结构性的调整，同时由于我国计划生育等宏观政策的影响，近几年总和生育率已降低到1.8，并将稳定在1.8的水平上，所以经过较长的时期，我国的劳动年龄人口将有所降低。 （2）人口老龄化与人口抚养比

通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：

我国老年人口预测人数543210200120042007201020132016201920222025202820312034203720402043204660 老年人65- 老年人2049年份

图3 我国老年人口预测值的折线图

从图3可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。同时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：

比例我国老年人口占总人口的比例0.40.30.20.10年份200120052009201320172021202520292033203720412045204960- 老年人占总人数的比例65- 老年人占总人数的比例

10

图4 我国老龄人口占总人口预测比例的折线图

从图3，图4得到：2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。综上可知我国老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。

老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。下面计算人口抚养比指数：

设l1,?,l2与l'1?l'2分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则j时段具有劳动能力的人口为

L(j)??[1?Ki(j)]N(i,j)??Ki(j)N(i,j),

i?l1i?l'1l2l'2而N(j)?L(j)为j时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年

N(j)?L(j)人的数量。定义社会的抚养比指数?(j)?，即平均每一劳动者抚养的无劳动

L(j)能力的人数。我们以0—14岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。首先，通过MATLAB编程计算出2002到2051年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年份的人口抚养比得出人口抚养比。得出的每年人口抚养比的折线图如下：

人口抚养比0.70.60.50.40.30.20.10比例2001200420072010201320162019202220252028203120342037204020432046年份总抚养比2049

图5 预测人口抚养比

从图5 可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。人口抚养比比较高主要原因有：每年新生婴儿数目在增加；老龄化的加剧，老龄人口数量大；15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。 （3）人口调控与管理

现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie模型，运用MATLAB软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：

11

380360340百万人320300280260240200020052010201520202025年份20302035204020452050

图6 未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测

从图6中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左右到达到高峰，

1101051009590百万人858075706560200020052010201520202025年份20302035204020452050

图7 未来我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数预测

从图7我们发现，我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数在2012年将达到高峰，到2025年左右有进入一个小低谷，然后再2037年左右有达到一个小高峰。第二个我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女婴到2037年时达到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数达到低谷时有回升的形势。

§6、误差分析与灵敏度分析

一、模型的残差分析：

1、运用Matlab软件计算出用1954年到2005年的总人口数进行拟合产生的残差,再利用EXCEL作出残差的散点图如下：

12

残差分析210-1-2-3-4-5残差值195419571960196319661969197219751978198119841987199019931996199920022005年份系列1

图8 残差分析

从图8可以看出残差在坐标轴x?0上下波动，但是，不是呈现正态分布，并且残差绝对值之和为57.9992，是比较大，因此拟合的效果不太好。

2、利用1963年到2005年的总人口数，根据Logistic模型的形式，用Matlab软件进行拟合，并求出残差序列，再利用EXCEL进行处理，并作出残差散点图如下：

残差分析32残差值10196319661969197219751978198119841987199019931996199920022005-1-2年份系列2

图9 残差分析图

通过图9，可以看出残差值大致分布在坐标轴x的上下，呈现对称分布，又有Matlab软件计算出拟合的残差绝对值之和为27.8046，因此效果较好。

3、利用1980年到2005年的人口总数居，同样运用Matlab、EXCEL软件进行分析、处理，作出散点图如下：

13

残差分析0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2差值1980198219841986198819901992199419961998200020022004系列3年份

图10 残差分析图

通过Matlab软件计算，得出拟合的残差绝对值之和为10.1699，从图10可以看出，图形基本关于坐标轴x?0对称，所以你和效果比较好。 二、灵敏度分析：

1、在不同的总合生育率k下按照前面的方法分别计算从2001年到2050年全国人口总数的预测值（程序见附录6），并画出图形如图11

165160155150k=1.6k=1.8k=2.0k=2.2千万人145140135130125120200020052010201520202025年份20302035204020452050图11：在不同的k值下对各年份全国总人口数的预测

由图11可以看出当k值很小时人口增长比较缓慢，达到峰值后人口数量很快下降出现严重负增长；当k值很大时人口增长速度很快，达到峰值后下降的速度缓慢，在此情况下人口数量急剧膨胀。只有当k值适中时，总人口增长才比较稳定。

2、再在不同的总和生育率k下按照前面的方法分别计算从2001年到2050年全国老龄化变化趋势（程序见附录6），并画出图形如图12

14

0.65k=1.6k=1.8k=2.0k=2.20.6老龄化指数0.550.50.4520002005201020152020

2025年份20302035204020452050

图12：在不同的k值下对各年份老龄化变化趋势

由图12可以看出k值越小，老龄化增大的速度越快；k值越大老龄化指数增长平缓年龄结构稳定，有利于社会发展。

由以上分析可知国家在制定人口政策时要多方面考虑，如果只看重对人口总数的控制可能导致社会老龄化严重、劳动力不足这显然是不利于社会经济发展的；相反如果为了防止社会老龄化加快而放任人口的增长，也会导致社会人口过多对资源和环境带来巨大压力。因此只有掌握好一个“平衡点”正确制定政策才能使国民经济持续增长，人民生活水平不断提高。

§7、模型的评价与推广

一、模型的优点：

1、在用模型Ⅰ对各年全国人口总数预测时结合实际情况，分别用不同时间段的数据拟合确定了三个预测函数。并对三个函数预测的数据进行了对比分析，使模型的计算结果更加准确。

2、利用EXCEL软件对数据进行处理并作出各种平面图，简便，直观、快捷； 3、运用多种数学软件进行计算，取长补短，使计算结果更加准确;

4、在模型Ⅱ中我们充分考虑到不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie模型，建立年龄结构的离散模型，并通过合理假设，在时间跨度不大的前提下，对人口数量仅此进行了预测，得到人口数量变化趋势图2与<<国家人口发展战略研究：人口发展预测>>课题中未来我国总人口，劳动人口及人口扶养比预测 及未来我国人口老龄化预测趋势图基本一致。因为原始数据得到的人口总和生育率跟实际情况不符，我们对此进行了合理修正，使预测更为准确。在模型Ⅰ中我们还进行了参差分析，在模型Ⅱ中我们对不同的平均妇女生育胎数下人口总数及老龄化趋势进行了分析，得到适合平均生育胎数的最佳值。 二、模型的缺点：

在模型假设中我们bi及pi不随时段的变迁而改变这一理想状态下，但出生率及死亡

15

率会随时间的变化而有所该变，本模型没有建立bi与死亡率随时间变化的动态模型，因而存在一定的误差； 三、模型的改进：

随着人民的生活水平的提高和医疗卫生的改善，各年龄的死亡率不断下降，存活率不断提高。因此我们可以对Leslie模型进行进一步改变：

记j时段i年龄组中女性所占的百分比为K(j)，并设为育龄女性的年龄组，则j时

i段新生儿为

N(0,j?1)??bi(j)Ki(j)N(i,j)N(i,j?1)?si?1N(i?1,j),

i?1,?,m我们引入控制变量h(i,j)，使得 bi(j)??*h(i,j)

?h(i,j)=1，这里ii?i1i21?15，ij?49，h(i,j)称为女性生育模式，我们将lestie矩阵变

成：

Nj?1?[A(j)?B(j)]*Nj?0?s(j)?0A(j)??0???????0其中

???00?????????sm?1(j)0?? ??0????0??????0?? 0?0?0bi'(j)?bi'(j)12?0?????B(j)??????????0??

'bi(j)??(j)h(i,j)Ki(j)

在一定时期内si(j)（这里j从0到90），?为平均生育胎数，h(i,j)和Ki(j)可视为

与j无关的常数，我们可以通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来求h(i,j)的最佳值，从而达到控制人口数量和年龄结构的目的。 四、模型的推广：

本文首先不考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Logistic人口预测模型；然后，逐步改进，考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Leslie模型，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。

参考文献

[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:.2003年8月第三版； [2] 姜启源.数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版； [3] 于洪彦.Excel统计分析与决策[M].北京:高等教育出版社.2006年4月； [4] 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验[M].北京:科学出版社.2004年6月；

16

[5] 扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006年5月； [6] 于学军.《中国人口科学》2000年第2期,时间:2000-4-6,中国人口信息网.

附录

附录1：

t=0:51; %令1954年为初始年

x=[60.2 61.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];

[c,d]=solve('c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d))=67.2','c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d))=90.9','c','d') ;%求初始参数

17

b0=[ 241.9598, 0.02985]; %初始参数值

fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t))','b','t'); [b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)

y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t)); %非线性拟合的方程 plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图 R1=r1.^2;

R2=(x-mean(x)).^2; R=1-R1/R2 %可决系数 W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和

附录2：

t=46:3:94

y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t))%对总人口进行预测 t=0:42; %令1963年为初始年

x=[69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];

[c,d]=solve('c/(1+(c/69.1-1)*exp(-5*d))=78.5','c/(1+(c/69.1-1)*exp(-20*d))=103.008','c','d'); %求初始参数

b0=[ 134.368,0.056610]; %初始参数值

fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/69.1-1).*exp(-b(2).*t))','b','t'); [b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)

y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t)); %非线性拟合的方程 plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图 R1=r1.^2;

R2=(x-mean(x)).^2; R=1-R1/R2 %可决系数 W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和

附录3：

t=37:3:85

y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t))%对总人口进行预测 t=0:25; %令1980年为初始年

x=[98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];

[c,d]=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d))=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-8*d))=111.026','c','d'); %求初始参数

b0=[ 109.8216, - 0.19157]; %初始参数值

fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t))','b','t'); [b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)

y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t)); %非线性拟合的方程 plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图

18

R1=r1.^2;

R2=(x-mean(x)).^2; R=1-R1/R2 %可决系数 W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和 t=20:3:53

y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t))%对总人口进行预测

附录4：

计算0-14岁，15-64岁，65岁及以上的程序、绘画出未来我国育龄人数的程序

N=[0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525

1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592 0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.334697711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606]; N0=N'; %第0年（2001年）的女性个年龄段的人口数 A=eye(90);

b=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701]; for i=1:90

A(i,:)=A(i,:)*b(1,i); end A;

c=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733

19

0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474

0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; c1=1.295274487*c;

M=sum(c1'); %总合生育率 d=zeros(91,1); B=[c1;A];

L=[B,d]; %构造的lestie矩阵 for i=0:49

H=L^i*N0; %第i年人口总数 Q(1,i+1)=sum(H([16:50],:)); %第i年15-49育龄妇女总数 P(1,i+1)=sum(H([21:30],:)); %第i年20-29生育旺盛期妇女总数 end x=2001:2050; y1=Q*10; y2=P*10; plot(x,y1,'*') plot(x,y2,'-or') grid on

附录5：

计算2001到2051年的人口总数程序

p=0.464429182; %女性占总人口的比例

N=[0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525

1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592 0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.334697711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606]; N0=N'/10; %第0年（2001年）的女性各个年龄段的人口数(千万） N00=N0/10 %把单位化成亿（人） A=eye(90);

b=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067

20

0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701]; for i=1:90

A(i,:)=A(i,:)*b(1,i); end A;

c=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474

0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; %由2001年原始数据得到的生育率 c1=1.295274487*c; %修正后的生育率 M=sum(c1'); %总合生育率 d=zeros(91,1); B=[c1;A];

L=[B,d]; %构造的lestie矩阵 for i=0:1:50

X=L^i*N0; %第i年后女性各个年龄段的人口数(千万） Z=X./p; %第i年在各个年龄段的人口总数预测 K(i+1,1)=sum(Z);

S1=sum(Z([1:15],:)); %第i年0-14岁的总人数 D(1,i+1)=S1;

S2=sum(Z([16:65],:)); %第i年15-64岁的总人数 S3=sum(Z([61:91],:)); %第i年60-90岁人数 G(1,i+1)=S3; E(1,i+1)=S2;

S4=sum(Z([66:91],:)); %第i年65-90岁人数 F(1,i+1)=S4; end

K 01-2051的人口总数

D %年龄在0-14岁总人数（包括男女） E %年龄在15-64岁总人数（包括男女） F %年龄在65岁及65岁以上总人数（包括男女）

21

G %年龄在60岁及60岁以上总人数（包括男女）

附录 6：

function W=compare(x)

p=0.464429182; %女性占总人口的比例

N=[0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525

1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.701627592 0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129 0.385339967 0.327924574 0.334697711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606]; N0=N'; A=eye(90);

b=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701];

b1=[0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346

22

0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701 0.7717624]; for i=1:90

A(i,:)=A(i,:)*b(1,i); end A;

c1=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474

0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.000389421 0.000224069 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; %由2001年原始数据得到的生育率 t=sum(c1);

c=((x*p-t)/t+1)*c1 %修正后的生育率 M=sum(c'); %总合生育率 d=zeros(91,1); B=[c;A];

L=[B,d]; %构造的lestie矩阵 [V,d]=eig(L); %求特征根与特征向量 p=d(42,42); %特征根

Q=-V(:,42); %对应的正特征向量 for i=0:49

D=L^i*N0; %第i年女性人口分布 E(i+1,1)=sum(D)/p %第i年总人口（2001为第0年） for j=0:90 %大于90岁的按90岁算 F(j+1,1)=j*D(j+1,1)/p;

T(j+1,1)=exp(-b1(1,j+1)); end

Y(i+1)=sum(F)/E(i+1,1); %平均年龄 end

Y %输出01-50年平均年龄矩阵 T=0; s=0;

for i=0:90 %大于90岁的按90岁算

T=T+exp(b1(1,j+1)-1); %求平均寿命，不随年份而变化 end T

W=Y/T; %社会老龄化指数 x=2001:2050; W1=compare(1.6); W2=compare(1.8);

23

W3=compare(2.0); W4=compare(2.2); plot(x,W1,'-r') hold on plot(x,W2,'-G') plot(x,W3,'-B') plot(x,W4,'-Y')

附录7：

年龄 女性总人数（万人） 0 680.8912721 1 584.5917197 2 584.5582068 3 692.2202166 4 724.1102102 5 775.5360408 6 847.368918 7 834.4187027 8 917.9220422 9 951.4668194 10 1070.015717 11 1249.256063 12 1199.263988 13 1202.198525 14 1274.218917 15 1111.050839 16 992.3144255 17 893.7975435 18 874.6573467 19 984.3568772 20 859.5767785 21 852.1534601 22 908.6441803 23 897.9448075 24 880.5393233 25 1019.086724 26 1042.18667 27 1114.823731 28 1192.867199 29 1203.566572 30 1272.973995 31 1328.513576 32 1254.992403 33 1333.819445 出生婴儿数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04975282 0.31969267 0.32019903 0.878684215 4.610104752 9.464941793 28.6464102 52.58813995 67.23067828 60.91747665 77.49047872 70.08595946 58.44954611 52.16702211 41.34311586 31.35682793 30.89130407 23.02138824 19.60884638 24

平均有孩子数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 女性死亡率 0.025093034 0.000678769 0.00227567 0.000752384 0.000432582 0.000819337 0.000112052 0.000612404 0.000381414 1.43283E-05 0.000610566 0.000275646 0.000198204 0.000372374 0.000295205 0.000360314 0.000271538 2.54672E-05 0.000826673 0.001045882 0.000558933 0.000642608 0.000709325 0.001000824 0.000118396 0.001103653 0.001644061 0.000864661 0.000925473 0.001127348 0.000819206 0.001081841 0.000953888 0.000957646 存活率 0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.998999176 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 34 1103.186123 35 1224.70307 36 1220.643442 37 1236.736319 38 1390.726415 39 980.7651115 40 646.684069 41 785.6606232 42 701.6275919 43 910.4201123 44 960.1576463 45 914.2587126 46 953.9805681 47 927.4299561 48 851.0077586 49 825.4823586 50 807.9428229 51 736.5520021 52 690.4320402 53 605.8029501 54 615.5106238 55 554.7856629 56 503.7013501 57 480.0517619 58 468.7228174 59 455.3640586 60 484.3865412 61 447.3446813 62 420.1644977 63 442.3803304 64 426.5290912 65 428.1838749 66 391.3295304 67 380.4091293 68 385.3399674 69 327.9245739 70 334.6977109 71 307.330012 72 262.8648337 73 270.6631827 74 235.8721654 75 208.7254946 76 212.001549 77 178.4567718 12.17913165 0.011039961 8.71689379 0.007117557 6.218986948 0.005094843 4.443481847 0.00359291 3.497479671 0.002514858 2.436986371 0.002484781 1.141209173 0.001764709 1.15621292 0.001471644 0.474969244 0.000676953 0.241694883 0.000265476 0.385478795 0.000401474 0.373729499 0.000408779 0.105364204 0.000110447 0.178438804 0.000192401 0.331399971 0.000389421 0.184965341

0.000224069

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 25

0.000603973 0.001375028 0.001747284 0.000402145 0.001289055 0.000996726 0.000556556 0.000858585 0.001227899 0.001059495 0.002094995 0.001625438 0.002216226 0.002403334 0.002655094 0.003045501 0.003330216 0.003969241 0.004993361 0.003842512 0.005352256 0.004220565 0.004347687 0.00422287 0.007522194 0.005030436 0.011869463 0.010715132 0.011296039 0.011697437 0.01579176 0.015504584 0.014701265 0.019937911 0.021071693 0.022641554 0.028873011 0.030696101 0.030020182 0.03594941 0.038259688 0.03270294 0.051697654 0.053428441 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.997344906 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559

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