惯性矩、静矩，形心坐标公式

§I?1 截面的静矩和形心位置

y dA C 如图I?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分

y yC Zz O Zc Z Sz??ydA??A?Sy??zdA?A?（I?1）

分别定义为该截面对于z轴和y

轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得

图I?1

ydA?A?yCA??zdA??AzC??A?

??利用公式（I?1），上式可写成

?S?yC?A?z?AA??zdASy??AzC???AA?（I?2）

ydA或

Sz?AyC??Sy?AzC?yC?zCSzASy（I?3）

??????A??（I?4）

如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静

矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对

同一坐标轴的静矩的代数和。即：

?Sz??Aiyci??i?1?nSy??Aizci??i?1?（I?5）

式中Ai、yci和zci分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n为简

单图形的个数。

将式（I?5）代入式（I?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为

?Ay?ici??yc?i?1nAi????i?1?nAizci???i?1zc??nAi???i?1?（I?6）

0.6m nn0.12m Ⅰ CⅠⅠ y

C 0.4m CⅡ yC yⅠⅠ

Ⅱ yⅡ O z 例题I?1 图a所示为对称T型截面，求该截面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy，其中y为截面的对称轴。因图形相对于y轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此zC=0，只需计算yC值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则

0.2m 例题I?1图

AⅠ=0.072m2，AⅡ

=0.08m2 yⅠ=0.46m，yⅡ=0.2m

yc??Ayii?1nnci?Ai?1iAIyI?AIIyII?AI?AII0.072?0.46?0.08?0.2??0.323m0.072?0.08

§I?2 惯性矩、惯性积和极惯性矩

如图I?2所示平面图形代表一任意截面，在图

形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z，到坐标原点的距离为ρ。现定义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，ρ2dA为微面积dA对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分

y dA ρ y O z z

Iz??ydA?A??2Iy??zdA?A?2IP??ρdA?A?（I?7）

2222??y?z由图（I?2）可见，，所以有

图I?2

分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性

矩。

IP??ρdA??(y?z)dA?Iz?IyAA222（I?8）

即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。

另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对y、z轴的惯性积，而积分

Iyz??zydAA（I?9）

定义为该截面对于y、z轴的惯性积。

从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一

般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m4或mm4。

§I?3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式

y y1 y dA C 一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式

z y1 a O b z1 z z1 图I?3

图I?3所示为一任意截面，

z、y为通过截面形心的一对正交轴，z1、y1为与z、y平行的坐标轴，截面形心C在坐标系z1O y1中的坐标为（b，a），已知截面对z、y轴惯性矩和惯性积为Iz、Iy、Iyz，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1。

Iz1?Iz?a2A2（I?11）

（I?10）

同理可得

Iy1?Iy?bA

式（I?10）、（I?11）称为惯性矩的平行移轴公式。 下面求截面对y1、z1轴的惯性积Iyz。根据定义

11Iy1z1??z1y1dA??(z?b)(y?a)dAAA

??zydA?a?zdA?b?ydA?ab?dAAAAA

?Iyz?aSy?bSz?abA

由于z、y轴是截面的形心轴，所以Sz=Sy=0，即

Iy1z1?Iyz?abA （I?12）

式（I?12）称为惯性积的平行移轴公式。

二、惯性矩、惯性积的转轴公式

图（I?4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴，截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋

转α角（以逆时针方向为正）得到另一对正交轴z1、y1轴，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz、Iy、Iyz。

1111

y1 y z dA z1 α α y1 y z1 z α O 图I?4

Iz1?Iz?Iy2

?Iz?Iy2cos2??Iyzsin2?

（I?13）

同理可得

Iy1?Iz?Iy2

?Iz?Iy2cos2??Iyzsin2? （I?14）

Iy1z1?Iz?Iy2sin2??Iyzcos2? （I?15）

式（I?13）、（I?14）称为惯性矩的转轴公式，式（I?15）称为惯性积的转轴公式。

§I?4 形心主轴和形心主惯性矩

一、主惯性轴、主惯性矩

由式（I?15）可以发现，当α=0o，即两坐标轴互相重合时，

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