太原科技大学线性代数题库及真题

第一章 行列式

填空题

1. ?(32145)?_____,该排列是_____排列。 2. ?(4357261)?_____,该排列是_____排列。

3．在四阶行列式中，包含a21a42的项为_________，且该对应项的符号为_____。

a114．设D?a21a31a115．设D?a21a31a12a22a32a12a22a32a13a11a23，则ka21a33a31a13ka11a23，则ka21a33ka31a12ka22a32ka12ka22ka32a13ka23?_____。（用D表示） a33ka13ka23?_____。（用D表示） ka332046． 设D??310，则M32?______________，A（用行13?______________。

125列式表示）

0a7.

00000b?__________。

c00000d00?010?200?????________。

0n08. D??n?1?00????1029. 若x31的代数余子式A12?0，则代数余子式A21?______________。

4x510. 已知

1?1A?1?1011210152304，则

A1??A?2A?A223___________242，

A41?A42?A43?A44?____________。

123455553311.设D?32542，则A A34?A35?________ 。13?23A33?A?__________ ，2221146523120450550312．D?00540?_________。

000110000311ab13．2ab2a3b3111cc2c3121d?_______。 2dd323133122214.

133?________。

144243xaa?aaxa?a15. Dn?aax?a?___________。

????aaa?xabb?bbab?b16. Dn?bba?b?__________。

????bbb?a??x1?x2?x3?0?17. 已知齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解，则??___ 或??____。

??x?2?x?x?023?1

线性代数第二章试题

一．选择题

1.设A为n阶可逆方阵，下式恒正确的是（ B ）

A. ?2A??1?2A?1 B.?2A?T?2AT C. A??T?1?1?????A??

TT?1D.A???????A??

?1TTT?1?12.设A为三阶方阵且A??2，则3ATA?（ ）

A.-108

B.-12 C. 12 D. 108

3.设A为四阶矩阵，且A?2，则A*?（ ）

A.2 B.4 C.8

D.12

4.设A为n阶非零矩阵，E为同阶单位矩阵，若A3?0，则??。

A.E?A不可逆，E?A不可逆。 B.E?A不可逆，E?A可逆。 C.E?A可逆，E?A可逆。 D.E?A可逆，E?A不可逆。

5．若方阵A与方阵B等价，则（ ）

A. R?A??R?B? B. ?E?A??E?B

C.A?B D. 存在可逆矩阵P，使得P?1AP?BP-1AP=B

6.设A为n阶方阵，若A3?0，则必有（ ）

A.A?0 B.A2?0 C.AT?0 D. A?0

7.设A为5?4矩阵，若秩R?A??4，则秩R5AT?（ ）

A.2 B. 3 C.4 D.5

??

8. 设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r?1阶子式都不为0

9. 设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A. R?A??n

B.R?A??n?1 C. A?0

D.方程组AX?0只有零解

B.所有r?1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

?a11?10. 设A??a21?a?31a12a22a32a13??x1??y1??????a23?，X??x2?，Y??y2?，则关系式（ ）

?x??y?a33???3??3??x1?a11y1?a21y2＋a31y3? ?x2?a12y1?a22y2＋a32y3 的矩阵表示形式是

?x?ay?ay＋ay131232333?3A.X?AY B.X?ATY C.X?YA

D.X?YTA

二．填空题

?11?1．A?diag?,0,?，B?E?ATA,C?E?2ATA，（E为3阶单位矩阵），则

22??BC?___________。

?200??, 则A?1=___________。 0102.设A??????022??1???331?，则A*=___________。 ?4043．已知A?2，且A?1???4???5?1?3???802??，A*为的伴随矩阵，则A*?___________。 0204．设A??A????301???101??1?，则20205．已知A????A?3EA?9E?__________。 ????001?????1???6. 设???0?，A???T，则An? 。

??1????1?101???7. 已知A??21?12?，则R?A?? 。

?30?13????21?1????1?13?，则X? 。 2108. 若X????432?????1?11???BC?9. 设A??，其中C,D均为可逆方阵，则A?1? 。 ??DO?10. 设A,B均为2阶方阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则

?0分块矩阵??B?第三章

A??的伴随矩阵为 。 ?0?1. 判断下述向量组的线性相关性：

（1）?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,6,3)，?1,?2,?3是线性 . （2）?1?(1,2,3),?2?(1,?4,1),?3?(1,14,7)，?1,?2,?3是线性 . 2. 设

TTTTTT??(3,5,?6)T,??(1,0,1)T,?2?(1,1,1)T,?3?(0,?1,?1)T，则将向量?表示成

1?1,?2,?3的线性组合，为 .

3. 设?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3?(2,a,b)，则当 时，?1,?2,?3线性无关. 4. 设向量组?1?(a,0,c)T,满足关系式 ．

5. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则

（1）向量组a1?a2,a2?a3,a3?a4,a4?a1线性 （2）向量组a1?a2,a2?a3,a3?a4,a4?a1线性

6. 设n维向量?1,?2,?3线性相关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r? . 7. 设?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3 的极大无关组为.

T8. 已知向量组?1?(1,2,?1,1)?,2?TTT?2?(b,c,0)T,?3?(0,a,b)T线性无关，则a,b,c必

(2,0,t,T0)?3,?(0,?4,?5,T的秩为2)2，则t＝ ．

9. 已知向量组?,?,?线性相关，而向量组?,?,?线性无关，则向量组?,?,?的秩为 .

(C) 若AX?b有无穷多个解，则AX?0仅有零解 (D) 若AX?b有无穷多个解，则AX?0有非零解

18．若方程a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an?0，有n个不等实根，则必有（ ）。

(A) a1,a2,?,an全为零 (B) a1,a2,?,an不全为零 (C) a1,a2,?,an全不为零 (D) a1,a2,?,an为任意常数

19．设A为m?n矩阵，则与线性方程组AX?b同解的方程组是（ ）。

(A) 当m?n时，ATX?b (B) QAX?Qb，Q为初等矩阵

(C) 秩(A)=秩(A)=r时，由AX?b的前r个方程所构成的方程组 (D) BX?b，其中B为m?n矩阵，且r(A)?r(B)

20．设A是n阶矩阵，?是n维列向量，若秩?__?A??T??。 ?=秩(A)，则线性方程组（ ）

0?(A) AX??必有无穷多解 (B) AX??必有惟一解

?A(C) ?T??第五章 一、填空

???x??A??(D)仅有零解 ???0?T0?????y????x??0???y???0必有非零解 ???2A?1O?1.设三阶方阵A 的的特征值为1，-1，2，则分块矩阵B??的特征值

*?1??O(A)?为 .

2. 已知3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵B?A?2A的特征值为 ， 行列式detB= .

3.设A,B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，?1,?2,?,?n为B的n个特征值，且存在可逆矩阵P使B?PAP?132?P?1AP?E，则?1??2????n? . 24.已知A为三阶实对称矩阵，满足A?3A,且R(A)?2，那么A的三个特征值为 .

5.设A为n阶矩阵，A?0，A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值?，则A?

???2?E必有特征值 .

6.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 .

?211??100?????7.矩阵A?121，B?0a0，且A相似于B，则a＝ . ?????112??004?????8.n阶单位矩阵的特征向量为 . 9.齐次线性方程组(A??E)x?0 解，都是A的特征向量.

?1?33???10.矩阵A?3?53的全部特征值之和为 . ???6?64????201???11. 矩阵A?300的全部特征值之积为 . ???102???12.设A是n阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A?5，则方阵AA的特征值为 . 13.如果x是矩阵A的特征向量，则 是矩阵PAP的特征向量. 14.矩阵Am?n可以求特征值的条件是 . 15.设?是An?n的特征值，则R(A??E) .

?1?

??1?11?????B??04?216.已知矩阵A?2??，???3?35??0???00?20??，且A与B相似，则?＝ . 02???001???17.设矩阵A?x1y有三个线性无关的特征向量，则x，y应满足的条件是 .

???100???18.设三阶方阵A有3个特征值?1,?2,?3，如果A?36,?1?2,?2?3，则?3? . 19.已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，则B＝ ，B?E= ，

B?1?E= ，B?1?E= .

20.已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵B?A?2A?3E,则B＝ .

2二、选择

1. 设三阶矩阵A的特征值全是0，1，-1，则下列命题不正确的是 . ．．．(a) 矩阵A?E是不可逆矩阵 (b) 矩阵A?E和对角矩阵相似 (c) 矩阵A属于1和-1的特征向量正交 (d) 方程组AX?0的基础解系由一个向量组成

?110???2.矩阵C?101的特征根是 . ???011???(a) 1，0，1 (b) 1，1，2 (c) -1，1，2 (d) -1，1，1 3.设三阶矩阵A的特征值全为0，则必有 .

(a)R(A)?0 (b) R(A)?1 (c) R(A)?2 (d)条件不足，不能确定

?1?4.设?＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵?A2?有一特征值等于 .

?3?(a)

?14311 (b) (c) (d) 34245.如果n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a，则A有一个特征向量 . (a)a (b) –a (c) 0 (d) a-1

?145???6.若三阶方阵A相似于 B?022，则A的特征值为 .

???003???7.n阶方阵A具有n个不同特征值是A与对角阵相似的 . (a)充要条件 (b) 充分而非必要条件 (c) 必要而非充分条件 (d) 既非充分也非必要条件

8.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 . (a)?E?A??E?B (b) A与B有相同的特征值与特征向量 (c) A与B都相似于一个对角阵 (d)对任意常数t，tE?A与tE?B相似 9.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 .

(a)数量矩阵kE(k?1) (b) 对角矩阵A(主对角元素不为一) (c) E (d) 任意n阶可逆矩阵

?4?11???4x10.设A?2??，且A的特征值为?1＝6，?2＝?3＝2，则A有3个线性无关的特??3?35???征向量，则x＝ .

(a)2 (b) -2 (c) 4 (d) -4

?123???11.设矩阵A?xyz，A的特征值为1，2，3，则 . ???001???(a)x?2,y?4,z?8 (b) x??1,y?4,z?R (c) x??2,y?2,z?R (d) x??1,y?4,z?3

?001???矩阵A与B相似，

12.设矩阵B?010 ，则R(A?2E)与R(A?E)之和等于 . ???100???(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 13.若矩阵A与B相似，即A?B，则有 . (a)?E?A??E?B (b)A?B

(c) A与B都相似与一个对角阵 (d)对相同的特征值?，矩阵A与B有相同的特征向量 14.设A是n阶方阵，?1,?2是A的特征值，?1,?2是A的分别对应于?1,?2的特征向量，下列结论正确的是 .

(a)若?1??2，且?3??1??2也是A的特征值，则对应的特征向量是?1??2 (b)若

?1??2，则一定有?1和?2的对应分量成比例

(c) 若

?1?0，则?1＝0

(d) 若?1??2， 则?1??2一定不是A的特征向量

??13?1???15.设A?-35-1，则A相似于 .

????331????100???(a) 010 (b)

???002????100??020??? (c) ?003????100??020??? (d) ?002????100??020??? ?00?2???16.已知三阶矩阵A的特征值是0，?1，则下列结论不正确的是 . ．．．

(a)矩阵A是不可逆的 (b)矩阵A的主对角元素之和为0 (c) 1和-1所对应的特征向量是正交的 (d) Ax?0的基础解系由一个向量组成

?1T17.设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知A????,??0，则矩阵(PAP)属

于特征值?的特征向量是 .

?1T(a) P? (b) P? (c) P? (d) (P?1)T?

18.已知三阶矩阵A与三维列向量X，若向量组X,AX,AX线性无关，而

2A3X?3AX?2A2X,则矩阵A属于特征值???3的特征向量是 .

22(a)X (b) AX?2X (c) AX?AX (d) AX?2AX?3X

19.已知A为n阶可逆矩阵，若A?B,则下列命题中

(1)AB?BA (2)A2?B2 (3)A?1?B?1 (4)AT?BT

正确的命题共有 .

(a)4个 (b)3个 (c) 2个 (d)1个 20.设A为n阶方阵，则下列结论正确的是 .

(a)若A可逆，则A的对应于?的特征向量也是A*的对应于特征值(b) A的特征向量就是方程组(?E?A)X?0的全部解向量 (c) A的特征向量的任一线性组合仍为A的特征向量 (d) A与A具有相同的特征向量

TA?的特征向量

第六章

221已知二次型f?x1,x2,x3??2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)的标准形为 22f?x1,x2,x3??y12?2y2?5y3,则参数a? 。

2222．设f?x1,x2,x3?=5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，则参数

c? ，此二次型对应矩阵的特征值为 。

?210??111??555??100?????????3．设A??120?,B??01?2?,C??031?,D??011?问

?00t??0?12??001??010?????????（1）当t的取值范围为 时，A是正定矩阵；

（2）当t= 时，存在可逆矩阵矩阵P,Q，使得PAQ?B; （3）当t= 时，存在可逆矩阵矩阵U，使得U?1AU?C;

（4）当t的取值范围为 时，存在可逆矩阵矩阵V，使得VTAV?D.

5. 已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵B?A2?2A?3E, 则B＝

___________.

6. 设二次型

22f?x1,x2,x3??2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的，则t的取值范围___________ .

?033???三、设矩阵A??110?，且AX?2X?A，求矩阵X. (13分)

??123???23四、求解行列式的值

453452452352(10分) 34?x1?3x2?7x3?4x4?3?五、求非齐次线性方程组的通解，并写出基础解系. ??2x1?x2?x4?1

?3x?2x?x?x??2234?1（13分）

六、已知三阶实对称阵A的特征值为?1?2,?2??2, ?3?1,对应的特征向量为

?0??1?????1??1??，2???0?，求矩阵A.（13分）

?1??0?????

222?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3 为标准形七、用正交变换化二次型 f?x1,x2,x3??x1，给出所用的变换x?Qy，并指出f是否为正定的. (15分)

《线性代数》考试试卷 A卷

一. 填空题：（每题4分，共32分）

1021．若x31的代数余子式A12?0，则代数余子式A21?______________.

4x5?101????12．已知A??020?，则?A?3E?A2?9E?__________.

?001??????102???3. 设A是4?3的矩阵，R(A)?2，B??020?，则R(AB)?__________.

??103????211??100?????4. 矩阵A??131?，B?0a0，且A相似于B，则a＝__________.

???112??004?????2225. 设二次型f?x1,x2,x3??2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的，则t的取值范

围是__________.

6.如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第三行得矩阵B ,且

?113???A?1???201?，则B?1= .

?002???7. 已知?1???, 1,1?，?2??1, ?,1?，?3??1, 1,??线性相关，那么?=

TTT__________.

8. 三阶矩阵A的特征值为1，-2，3，设 B?A?3A?2A，则B的全部特

32?1征值为________________.

二．选择题（每题3分，共18分）

1. 设A为四阶矩阵，且A?2，则A*?( ).

（A） 2 （B） 4 （C） 8 （D）

12

2. 设矩阵A的秩为r，则A中( ). （A） 所有r?1阶子式都不为0 （C）所有r阶子式都不为0 于0

3. 设三阶行列式D?aij?0，则( )..

（A） D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合 （B） D中每一行

（B） 所有r?1阶子式全为0

（D） 至少有一个r阶子式不等

向量都是其余行向量的线性组合

（C） D中至少有两行向量线性相关 （D） D中每一

行向量都线性相关.

4. 若向量组?,?,?线性无关，向量组?,?,?线性相关，则( ).

(A)

?必可由?,?,?线性表示 (B) ?必不可由?,?,?线性表示

(C) ?必可由?,?,?线性表示 (D) ?必不可由?,?,?线性表示

5. n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 ( ).

(A) A有n个线性无关的特征向量 (B) A有n个互异特征值 (C) A是实对称阵 (D) A的特征向量两两正交

6. 对非齐次线性方程组AX?b及其导出组AX?0，有( ).

(A) 若AX?0仅有零解，则AX?b无解 (B) 若AX?b有无穷

多解，则AX?0有非零解

(C) 若AX?0有非零解，则AX?b有无穷多解 (D) 若AX?b有唯一

解，则AX?0有非零解

三．（本题满分10分）已知向量组?1,?2,?3的秩等于3，令

?1??2??,3??2?????3??,1证明?1,?2,?3线性无关。 1,?3

四．（本题满分14分）求非齐次线性方程组的通解：

?x1?x2?3x3?x?41?x?x?2x?x?3?1234?

410?4x1?4x2?3x3?2x??41?3x1?3x2?14x3?5x?

?100?

??

五．（本题满分12分）设矩阵A=?210?, 矩阵X满足：AX?A?2X，求X。

?321???

22六．（本题满分14分）用正交变换化二次型f?x12?2x2?5x3?4x1x2?4x2x3为标

准形，并写出所作的正交变换。

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