2015年高考数学试题分类汇编及答案解析

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）

目录

专题一 集合 (1)

专题二 函数 (6)

专题三 三角函数 (21)

专题四 解三角形 (32)

专题五 平面向量 (40)

专题六 数列 (47)

专题七 不等式 (67)

专题八 复数 (79)

专题九 导数及其应用 .................................................................................................................................................... 83 专题十 算法初步 .......................................................................................................................................................... 110 专题十一 常用逻辑用语 .............................................................................................................................................. 119 专题十二 推理与证明 .................................................................................................................................................. 121 专题十三 概率统计 ...................................................................................................................................................... 125 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .......................................................................................................... 148 专题十五 点、线、面的位置关系 .............................................................................................................................. 184 专题十六 平面几何初步 .............................................................................................................................................. 185 专题十七 圆锥曲线与方程 .......................................................................................................................................... 190 专题十八 计数原理 .................................................................................................................................................... 216 专题十九 几何证明选讲 ............................................................................................................................................ 219 专题二十 不等式选讲 ................................................................................................................................................ 224 专题二十一 矩阵与变换 .............................................................................................................................................. 228 专题二十二 坐标系与参数方程 . (229)

专题一 集合

1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A

B =（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<

C ．{}33x x -<<

D ．{}

53x x -<<

【答案】A

考点：集合的交集运算.

2.(15年广东理科) 若集合，，则

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】．

【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题．

3.(15年广东文科) 若集合

，，则（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：，故选C ．

考点：集合的交集运算．

4.（15年广东文科）若集合

， ，用

表示集合中的元素个数，则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】

D

{|(4)(1)0}M x x x =++={|(4)(1)0}N x x x =--=M N =?{}1,4--{}0{}1,4

A

考点：推理与证明．

5.（15年安徽文科）设全集，，，则( ) （A ） （B ） （C ） （D ）

【答案】B

【解析】

试题分析：∵ ∴ ∴选B 考点：集合的运算.[学优高考网gkstk]

6.（15年福建文科）若集合，，则等于（ ）

A ．

B ．

C ． D

【答案】D

考点：集合的运算．

7.(15年新课标1文科)

8.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝

{}123456U =，，，，，{}12A =，{}234B =，，()U A

C B ={}1256，，，{}1{}2{}1234，，，{}6,5,1=B C U ()U A

C B ={}1{}22M x x =-≤<{}0,1,2N =M N {}0{}1{}0,1,2{}

0,1

【答案】A

【解析】由已知得，故，故选A

9.(15年新课标2文科) 已知集合,,则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

考点：集合运算.

10.(15年陕西理科) 设集合，，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

试题分析：，，所以，故选A ．

考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．

11.(15陕西文科) 集合，，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

考点：集合间的运算.

12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =e

（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8

【答案】 A

{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<

B =()1,3-()1,0-()0,2()

2,32{|}M x x x =={|lg 0}N x x =≤M N =[0,1](0,1][0,1)(,1]-∞{}{}20,1x x x M ==={}{}lg 001x x x x N =≤=<≤[]0,1M N =2{|}M x x x =={|lg 0}N x x =≤M N =[0,1](0,1][0,1)(,1]-∞

A

【解析】

试题分析：{2,5,8}U B =e,所以{2,5

}U A

B =e，故选A. 考点：集合运算.

13.(15年天津理科) 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =（）e（ ）

(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}

【答案】B

【解析】

试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B

=（）e,故选B. 考点：集合运算

14.(15年浙江理科) 15.(15年山东理科) 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A

B = (A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)

解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<=,答案选(C)

16.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.

【答案】5

【解析】

试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，，，，，，，，，个元素

考点：集合运算

专题二 函数

1.（15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是

A ．{}|10x x -<≤

B ．{}|11x x -≤≤

C ．{}|11x x -<≤

D ．{}

|12x x -<≤

【答案】C

【解析】

考点：1.函数图象；2.解不等式.

2.（15年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.

3.（15年北京理科）设函数()(

)()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

． 【答案】(1)1，(2) 112

a ≤<或2a ≥

.

考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.

4.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x y -=

【答案】B

【解析】

试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.

考点：函数的奇偶性.

5.(15年北京文科) 32-，12

3，2log 5三个数中最大数的是 ．

【答案】2log 5

【解析】 试题分析：31218-=<

，1231=>

，22log 5log 42>>>2log 5最大

.

考点：比较大小.

6.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】．

【解析】令，则，即，，所以既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．

【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．

7.（15年广东理科）设，函数。

(1) 求的单调区间 ；

(2) 证明：在上仅有一个零点；

(3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】（1）依题，

∴ 在上是单调增函数；

x e x y +=x x y 1+=x x y 2

12+=21x y +=A ()x f x x e =+()11f e =+()111f e --=-+()()11f f -≠()()11f f -≠-x y x e =+A 1a >a e x x f x -+=)1()(2)(x f )(x f (),-∞+∞()y f x =P x (,)M m n OP O 123--≤e

a m (),-∞+∞()()()()()222'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥()f x (),-∞+∞

【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题．

8.（15年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，

，

所以函数

既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数

是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为

，所以函数是偶函数；函数的定义域为

，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A ．

考点：函数的奇偶性．

4.9.（15年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

（A ）y=lnx （B ） （C ）y=sinx （D ）y=cosx

【答案】D

考点：1.函数的奇偶性；2.零点.

10.10.（15年安徽文科）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )

（A ）a>0，b<0，c>0，d>0

（B ）a>0，b<0，c<0，d>0

（C ）a<0，b<0，c<0，d>0

（D ）a>0，b>0，c>0，d<0

2

1y x =

+()32

f x ax bx cx d =++

+

【答案】A

考点：函数图象与性质.[学优高考网]

11.（15年安徽文科） 。 【答案】-1

【解析】 试题分析：原式＝

考点：1.指数幂运算；2.对数运算.

12．（15年安徽文科）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 。

【答案】 【解析】

试题分析：在同一直角坐株系内，作出的大致图像，如下图：由题意，可知 考点：函数与方程.

13.（15年福建理科）下列函数为奇函数的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D =-+-1)2

1(2lg 225lg

12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-xOy a y 2=1||--=a x y a 12

-

12--==a x y a y 与2

112-=?-=a a y =

sin y x =cos y x =x x y e e -=-

考

点：函数的奇偶性．

14.（15年福建理科）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．

【答案】

考点：分段函数求值域．

15.（15年福建文科）下列函数为奇函数的是( )

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

【解析】

试题分析：函数

是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．

16.（15年福建文科）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．

【答案】

【解析】

试题分析：由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．

考点：函数的图象与性质．

17.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln （

a=

()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?+>?

0a >1a ≠[)4,+∞a (1,2]y =

x y e =cos y x =x x y e e -=-y =x y e =cos y x =x x y e e -=-()2

()x a f x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m 1(1)(1)f x f x +=-()f x 1x =1a =1()2

x f x -=()f x [1,)+∞1m ≥m 1

【答案】1

【解析】由题知是奇函数，所以

=，解得=1.

18.（15年新课标2理科）设函数

,( )

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

【答案】C

【解析】由已知得

，又，所以，故 ．

19.（15年新课标2理科）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

【答案】B

的运动过程可以

看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B ．

20.（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记 ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为（ ）

ln(y x =

ln(ln(x x +-22ln()ln 0a x x a +-==

a BOP x ∠=()f x

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

考点：函数图像

21.（15年新课标2文科）设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】A

【解析】

试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A. 考点：函数性质

22.（15年新课标2文科）已知函数的图像过点（-1,4）,则a = ．

21()ln(1||)1f x x x =+-

+()(21)f x f x >-x 1,13?? ???()1,1,3??-∞+∞ ?

??11,33??- ???11,,33????-∞-+∞ ? ?????2

1()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<<()3

2f x ax x =-

【答案】-2

【解析】

试题分析：由可得 . 考点：函数解析式

23.（15年陕西文科）设，则（ ） A ． B ．

C ．

D ． 【答案】

考点：1.分段函数；2.函数求值.

24.（15年陕西文科）设，则（ ）

A ．既是奇函数又是减函数

B ．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

【答案】

【解析】

试题分析： 又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；

是增函数.

故答案选

考点：函数的性质.

25.（15年陕西文科）设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

()3

2f x ax x =-()1242f a a -=-+=?=

-10()2,0x x f x x ?≥?=?

C ()sin f x x x =-()f x =B ()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-?-=---=-+=--=-()f x R ()f x ()1cos 0()f x x f x '=-≥?B ()ln ,0f x x a b =<

)2a b q f +=1(()())2r f a f b =+q r p =p r q =

C

【解析】

试题分析：；； 因为

是个递增函数， 所以，故答案选

考点：函数单调性的应用.

26.（15年天津理科）已知

定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<

【答案】C

【解析】

试题分析：因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以 221lo

g log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ??===-=-=-= ??

? ()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=

所以c a b <<，故选C.

考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.

27.（15年天津理科）已知函数()()22,2,2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是

（A ）7,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24?? ???

【答案】D

【解析】

试题分析：由()()22,2,2,2,

x x f x x x -≤??=?->??得222,0(2),0x x f x x x --≥??-=??

，

1ln 2p f ab ===

()ln 22a b a b q f ++==11(()())ln 22

r f a f b ab =+=2a b +>()ln f x x =()2a b f f +>q p r >=C

即222,0()(2)2,

0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72

b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

28.（15年天津理科）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .

【答案】16

【解析】

试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积

()1

122300111236S x x dx x x ??=-=-= ????. 考点：定积分几何意义.

29.（15年天津文科）已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<

【答案】B

【解析】

试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B.

考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.

30.（15年天津文科）已知函数22||,2()(2),2

x x f x x x ì- ?=í->??,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5

【答案】A

考点：函数与方程.

31.（15年湖南理科）设函数，则是（ ）

A.奇函数，且在上是增函数

B. 奇函数，且在上是减函数

C. 偶函数，且在上是增函数

D. 偶函数，且在上是减函数

【答案】A.

【解析】

试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，又∵，∴

32.（15年湖南理科）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围

是 .

【答案】.

【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为， 若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；

()ln(1)ln(1)f x x x =+--()f x (0,1)(0,1)(0,1)(0,1))(x f )1,1(-)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-)(x

f 32,(),x x a f x x x a

?≤=?>?b ()()g x f x b =-a ),1()0,(+∞-∞ )(3a x b x ≤=)(2

a x

b x >=2b ???

????≤->≤a

b a b a

b 31

1>a

若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而

；，综上，实数的取值范围是.

考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.

33.（15年山东理科）要得到函数sin(4)3y x π=-

的图象，只需将函数sin 4y x =的图像 (A)向左平移12π

个单位 (B) 向右平移12

π个单位 (C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3

π个单位 解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12

π个单位答案选(B) 34.（15年山东理科）设函数31,1,()2,

1.x x x f x x -

[,)3+∞ (D) [1,)+∞

解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥??≥?或1311

a a

b =+(0,1)a a >≠的定义域

和值域都是[1,0]-，则a b += .

解析：当1a >时1010

a b a b -?+=-?+=?，无解； 当01a <<时1001

a b a b -?+=?+=-?，解得12,2b a =-=， 则13222

a b +=-=-. 36.（15年江苏）已知函数|ln |)(x x f =，??

?>--≤<=1

,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 【答案】4 )(3a x b x ≤=)(2a x b x >=b ?????>->a

b a b 31

0

考点：函数与方程

专题三 三角函数

1.（15

北京理科）已知函数2()cos 222

x x x f x =． (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．

【答案】（1）2π，（2

）1--

【解析】

试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ω?=++形

式，再利用周期公式2T π

ω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-

≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当4

2x π

π+=-，即34x π=-时，()f x

取得最小值为：12--. 试题解析：(Ⅰ

) 211cos ()sin cos sin sin 22222x

x

x

x f x x -=-=?

-?=

sin cos 222x x =+

-sin()42

x π=+-

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ohal.html