2008-2009学年第一学期线性代数试题A卷

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课程编号：A073003 北京理工大学

2008-2009学年第一学期

线性代数试题A卷

班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________

?025???A?1?32?一、（10分）已知A??013?，B???43??，求行列式 0???100???02B 。

?210???二、（10分）已知矩阵A??120?，矩阵X满足AXA*?2XA*?I，其中A*为A的

?001???伴随矩阵，I为3阶单位矩阵，求X。

三、（10分）求下列线性方程组的通解

?x1?5x2?2x3?3x4?11,??3x?x?4x?2x??5,?1234 ??x?9x?4x?17,124???5x1?3x2?6x3?x4??1.（用导出组的基础解系表示通解）

四、（10分）已知

?1?(1,1,1,1), ?2?(1,1,1,0), ?3?(0,1,0,1), ?4?(2,3,2,2),

(1) 求向量组?1,?2,?3,?4的秩和一个极大无关组; (2) 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

五、（10分）已知?1,?2,?3是向量空间R3的一个基,?1?2?1??2,?2?3?1?2?2,?3??3. (1) 证明?1,?2,?3为R3的一个基;

(2) 求基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵; (3) 求向量???1??2??3关于基?1,?2,?3的坐标。

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10??3??A??4?10六、（10分）已知矩阵??，

?4?82???(1) 求A的特征值和特征向量;

(2) 判断A是否可以相似对角化。 七、（10分）已知线性方程组AX?0的一个基础解系：

X1?(1,0,1)T, X2?(2,1,0)T，

求此方程组的解空间的一个标准正交基。

八、（10分）已知实二次型f(x1,x2,x3)?XTAX，其中A相似于对角矩阵diag(1,1,0)。 (1) 求二次型f(x1,x2,x3)的一个标准形; (2) 判断二次型f(x1,x2,x3)是否正定。

九、（10分）已知3阶矩阵A有特征值1，2，且A?0。 (1) 求A2?I的所有特征值; (2) 证明A2?I为可逆矩阵。

十、（10分）设A为3阶实对称矩阵，其特征值为1,0,?2，矩阵A的属于特征值1和?2的特征向量分别是(1,2,1)T和(1,?1,a)T。 (1) 求a的值;

(2) 求方程组AX?0的通解。

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