自己二次根式经典练习题

《二次根式》单元测试题

一、填空题(每题2分，共20分) 1、当a 时， 1 ? a 有意义

2、计算： 1 ） ? 3 ? （ 3 2 ? 2）（

2???1???2?（1? ? ?3、计算： ） ? ? ? （ 2 ） 6 ? ??5?????2??2??（（4、计算： 1 ） ? ? 27 ） ? （ 2 ） 8 a 3 b 2 c ? (a>0,b>0,c>0)

31385、计算： (1 ) = (2 ) =

73a

如果,化简6、 xy ? 0 ? xy 2 ?

7、 32?42?，332?442?，3332?4442? 则 33?32?44?42?2006个3 2006个4

)20068、 ( 2 ? 1) 2005 ( 2 ? 1 ?

9、观察以下各式： ??

?12?112?1?2?1，13?214??3?2，14?31?4?3利用以上规律计算：

?13?2?3???2006???2005??2006?1???1??1??1?1?10、已知 x?3?1，y?3?1，则??????yx????二、选择题(每题3分，共30分)

11、若2x?3有意义，则 ( )

3223x ?A、 ? B、 ? C、 ? D、x ? ? x ?x ?2332

212、化简 ? a ? 2 的结果是 ( ) ( 2 ?a )

A、0 B、2a -4 C、4 D、4-2a

13、能使等式 ? 成立的条件是 ( )

x?3x?3xxA、x≥0 B、x≥3 C、x>3 D、x>3或x<0 14、下列各式中,是最简二次根式的是 ( ) A、8x B、5a2b C、4a2?9b2 D、 y

211x??515、已知 ,那么 x ? 的值是 ( ) xxA、1 B、-1 C、±1 D、4 122ab16、如果 ? a ? 2 ? b ? ? 1 ，则a和b的关系是 ( )

a?bA、a≤b B、ab

17、已知xy>0，化简二次根式 x ? 2 的正确结果为 ( )

xy?A、 y B、 ? y C、? y D、 ? y

A B

18、如图，Rt△AMC中，∠C=90°， ∠AMC=30°，AM∥BN，MN=2 3 cm， BC=1cm，则AC的长度为 ( ) A、23cm B、3cm C、3.2cm D、 3 cm

23M N C

19、下列说法正确的个数是 ( )

①2的平方根是 2 ；② 5 a 0 . 2 a 是同类二次根式； ③ 2 ? 1 与 2 ? 1与互为倒数；④ 3 ? 2 的绝对值是 2 ? 3 A、1 B、2 C、3 D、4

20、下列四个算式，其中一定成立的是 ( )

① （ a 2 ? 2 ? a 2 2 ? a ； ③ ab ? a ? （ ab ? 0 ） 1）? 1 ； ② ab④ (x?1)(x?1)?三、解答题(共70分)

21、求 有意义的条件(5分) 22、已知 y ? x?1x?1x?1?x?1A、①②③④ B、①②③ C、①③ D、①

x2?4?4?x2?1x?2 求3x+4y的值(5分)

23、化简①5?26 ②7?26 (共8分)

24、在实数范围内将下列各式因式分解(3+3+3+4=13分) ① x 2 ? 2 3 x ② 5 x 2 ? 7 ③ x 4 ? 4 ④ x ? 4 ? 3

25、已知实数a满足 2005 ? a ? a ，求a -20052的值 (5分) ? 2006? a

26、(共6分)设长方形的长与宽分别为a、b，面积为S

cm①已知 a ? 2 2 cm ， b ? 10 ，求 S ；②已知S= 72 cm2,b= 50 cm,求 a

4

x ?27、(共8分)①已知 x ? ，求 x ? 1 ； ②已知x= 2 ? 10

22 求x2-4x-6的值

28、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=22cm， B

3?1D

C A

BC=10cm，求AB上的高CD长度(5分)

29、计算： 3 ? 1 3 ? 1 ? ? ? ?2 ? 23 ? 1 ? (5分)

3?23?23?2??????012?130、已知 x ? ， y ? ，求① ? ；② ? 的值(10分)

3?211yxxyxy二次根式经典练习题

一、选择题

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A．?x?2 B．

x C．x2?2 D．x2?2

2．若3m?1有意义，则m能取的最小整数值是（ ）

A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 3．若x<0，则

x?xx2的结果是（ ）

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 4．下列说法错误的是 ( ）

A．a?6a?9是最简二次根式 B.4是二次根式 C．a?b是一个非负数 D.x?16的最小值是4 5．24n是整数，则正整数n的最小值是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.2 6．化简

222215?16的结果为（ ）

A．

1130 B．30330 C．

33030 D．3011

7．．把a?1a根号外的因式移入根号内的结果是（ ）

A、 ?a B、??a C、a D、?a

8. 对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（ ） A. C.

?a?b??2?a?b B.

?a2?b2 D.

2a2?b2?a?b

?a2?b22?a?b?2?a?b

9. 对于二次根式x?9，以下说法中不正确的是（ ）

A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3

10. 下列式子中正确的是（ ） A.

5?2?7 B.

a2?b2?a?b

C. ax?bx??a?b?x D.

二、填空题

211.①(?0.3)? ；②(2?6?82?3?4?3?2

5)2? 。

12．化简：计算

x?yx?y?_______________;

13．计算a3a?9a?23a3= 。

14．化简：x?2x?1?x?1?的结果是 。 15． 当1≤x＜5时，16．

?x?1?3?222?x?5?_____________。 ?______________。

?3?2???2000?200117.若0≤ a ≤1，则a?(a?1)2＝ ; 18．先阅读理解，再回答问题：

因为12?1?2,1?2?2,所以12?1的整数部分为1； 因为22?2?6,2?6?3,所以22?2的整数部分为2； 因为32?3?12,3?12?4,所以32?3的整数部分为3； 依次类推，我们不难发现n2?n(n为正整数）的整数部分为n。 现已知5的整数部分是x，小数部分是y，则x－y =______________。

三、计算

?2324?? （2）3?(?945) (1)??1??3425???

（3）6?2

(5)7?43

（7）计算：

232?332 (4)；239x?6x4?2x1x

???7?43?35?1 (6). 1?2???2???21?3??21?2??21?3

?211?2?12?3?13?2?......?13?10

四、 解答题

1．已知：y?1?8x?8x?1?

2. 当1＜x＜5时，化简：x?2x?1?

3.若x?y?y?4y?4?0，求xy的值。

4. 观察下列等式： ①

2212,求代数式xy?yx?2的值。

x2?10x?25 12?11?2?1(2?1)(2?1)?3?2?2?1；?3?2；

②

3?2(3?2)(3?2)

③

14?3?4?3(4?3)(4?3)?4?3；……

利用你观察到的规律，化简：

123?11

5．已知a、b、c满足(a?8)?2b?5?c?32?0

求：（1）a、b、c的值；

（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；

若不能构成三角形，请说明理由.

6. 当a取什么值时，代数式2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。

7．若a，b分别表示10的整数部分与小数部分，求a?

1b?4的值。

二次根式综合

一、例题讲解

(一)、二次根式中的两个“非负”

I．二次根式中被开方数（或被开方式的值）必须是非负数，这是二次根式有意义的条件，也是进行二次根式运算的前提，如公式(a)2=a,仅当a≥0时成立。 例1.下列各式有意义时，求表示实数的字母的取值范围： ⑴-5-2a； ⑵(4?x) ⑶

2x+?x

轾3a+1例2.求值 ： 犏+犏1-a犏臌|a|-1+1-a1-|a|2007

II..二次根式a的值为非负数，是一种常见的隐含条件。 例3.若(x?2)=2－x 求x的取值范围 例4.若2x?y?8+x?2y?1=0 求xy

根据a是非负数这一结论，课本上给出一个重要公式：

2?aa2=|a|=???a(a?0)(a?0)

在应用这个公式时，先写出含绝对值的式子|a|，再根据a的取值范围进行思考，可避免错误，这类题目一般有以下三点： ①．被开方数是常数 例5. 化简(1?2)2

② 被开方数是含有字母的代数式，但根据给出的条件，先确定被开方式a2中的a的符号。 例6．已知a=－2 b=－3 求a50ab－a2b2

318ab3的值

例7. 已知0 ＜x＜1，化简：(x?211)2?4－(x?)2?4 xx例8．如果(3?x)=x－3

(x?5)2=5－x 化简36?12x?x2+x2?20x?100

③．被开方数是含有字母的代数式，必须根据字母的取值范围进行分类讨论 例9．化简（a－3）

13?a

练习：

1．求下列各式中，x的取值范围： ⑴

15?2x2 ； ⑵2x?1+1?2x

2．若x?6x?9－3+x=0 求x的取值范围 3．当a=

32时，求|1－a|+a?4a?4的值

24．化简 x?1x

（二）、二次根式运算的合理化 1．根据数的特点合理变形 例1．化简：

例2．化简

14?653?5

12?18?62?6?2

2．先化简，后求值

例3．已知：x=

3、从整体着手

12?3，y=

12?3，求

10x?1?10y?1的值

例4. 已知8?x+5?x=5，求(8?x)(5?x)的值

例5. 已知15?x－25?x=2，求15?x+25?x的值

2222

二、课堂训练

1．填空题 (1)．化简：(1?22)2=__________________；(2)．化简：3ab(b＜0)=_________________；

(3)．化简：

4c39a5b=_____________________；

(4)．当a＜－7时，则

(a?7)2=__________；当a＞3时，

(a?2)2(3?a)2=_______________；

(5)．当x取________时，2－5?x的值最大，最大值是________； (6)．在实数范围内分解因式：x2－22x+2=_________； (7)．若(

a4+5)2+2a?b=0 则a+b=__________。

2、选择题

（1） 与2是同类二次根式的是（ ）

（Ａ）24 （Ｂ）32 （Ｃ）

2312 （Ｄ）

25

（2） 是最简二次根式的是（ ） （Ａ）18

（Ｂ）

4

（Ｃ）

23 （Ｄ）?23

（3） 当1?a?2时，计算(a?2)?（Ａ）２a－３ （Ｂ）－１

（4） 下列各式中，正确的是（ ） （Ａ）

2(1?a)2的结果是（ ）

（Ｃ）１

（Ｄ）２a－１

53?315 （Ｂ）

53??315 （Ｃ）

53?53 （Ｄ）

53?1315

（5） 若

ba??1aab，则（ ）

（Ｂ）a?0,b?0

（Ｃ）a?0,b?0

（Ｄ）a?0,b?0

（Ａ）a?0,b?0 （6）

(a2?1)2化简的结果是（ ）

2（Ａ）?(a?1) （Ｂ）a?1

2 （Ｃ）?(a?1)

2（Ｄ）(a?1)

2（7） 下列各式中，最简二次根式是（ ） （Ａ）

1xx2?y2

（Ｂ）

ax2 （Ｃ）12x （Ｄ）x

3（8） 若a?1，则1?2a?a?（Ａ）－２a－2

（Ｂ）2a+2

9?6a?a2的结果是（ ）

（Ｃ）4

（Ｄ）－4

（9） 化简4?23的结果是（ ） （Ａ）3?1

（Ｂ）1?3

（Ｃ）3?2

（Ｄ）2?3

（10） 如果m＜０，那么化简（Ａ）－２ （Ｂ）１ 3．把下列各式分母有理化： (1)．

(m?m2)2m

的结果是（ ）

（Ｄ）２

（Ｃ）－１

310?7 ； (2)．

xyx?y ； (3)．

1aa?bb(a≠b)

4．计算 (1)．

1332+

128－

1550 (2)．(5?26)?(2?3)

a?1a?1?a1?a?1a?a?1

(3)．(1?5．化简

2?3)(1?2?3) (4)．

(1)．(x?4)?2(x?1) (1＜x＜4) (2)．(x+y)

2x2?y2?2xyx?y?2xy22 (x＜y＜0)

6．已知：x=

11?2 ，求代数式3－x?4x?4的值

21?1???7．已知a=，求?a???4??a???4的值。

a?a???3?2122

8、已知：a，b为实数，且b?a2?2?2?a2a?2。求

?2?b?a?2?b?a的值。

?2

9．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足连AE 若AB=a，BC=1 ，求△AED的面积

第十章 二次根式复习题

【例题精选】：

例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

（1）3?2x；（2）3x?1；

（3）x?1x?22；

（4）

x?11?3?x；（5）x?2x?1；（6）x?4x?5分析：式子a要在a?0时，才被称为二次根式，即有意义，而3aa取任意实数它

均有意义，依据此概念，去解上述各题。

解：（1）要使3?2x有意义，必须3?2x?0，由3?2x?0得x?

?当x?32，

32时，式子3?2x在实数范围内有意义。

（2）要使3x?1有意义，x?1为任意实数均可，

?当x取任意实数时3x?1均有意义。

?x?1?0（3）要使有意义，必须?

x?2?0x?2?x?1

?x??1且x??2，但x??2不在x??1的范围内。 ?当x??1且x?2时，式子

x?1x?2在实数范围内有意义。

（4）要使

x?11?3?x?1?0有意义，必须? 3?x?1??x?0

解得x??1，3?x??1，即x?1

?当x??1，且x?1时，

x?11?3?x有意义。

（5）要使x??x?0 2x?1有意义，必须使??2x?1?0

解得x?0且x? ?当x?12，取公共区间

12时，式子x?2x?1在实数范围内有意义。

（6）要使

x2?4?x2?4?0?有意义，必须?

x?5??x?5?0

?x??2或x?2 解得?

x??5? ?当x??2且x??5或x?2且x?5时式子

x2?4x?5有意义。

例2：把下列各根式化为最简二次根式：

（1）96a3b?a?0，b?0?

（2）2（3）47504

25a2b3121c?a?0，b?0?

分析：依据最简二次根式的概念进行化简， （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 解：（1）96ab?316a226ab?4a6aba?0，b?0

??（2）2

47502?314750??249?325?22??755ab11c232?753?22?2?7106

（3）

25ab121c425ab2b121c4b?a?0，b?0? 例3：判断下列各组根式是否是同类根式：

（1）?175；?3

1516；nm23，85mn34，nm?mn?2

（2）当m?n?0时， 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。

解：（1）??175??25?7??57；

?323151634???2363164???9?716232??34?737；785343151649?74??175，?3，385是同类二次根式341m1n（2）?当m?n?0时，nmmnnm???mnmnmn2??1m1nmn??mn??mn??m?0?mn??n?0??(n?m)22mnm2n2mn?mn?0，n?m?0mn2?2??n2?m2?2mnmnn?mmnmn?n?mmn

??

?

nm，mn，nm?mn?2是同类根式例4：把下列各式的分母有理化：

（1）1232；（2）523?2；（3）1?a?1?a1?a?1?a?0?a?1?

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果

它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，

5?3与5?3均为有理化因式。

解：

（1）

1232?5123?22?2??146（2）523?2???23?2?23?223?2???215?1010

（3）1?a?1?a1?a?1?a???1?a?1?a?21?a?1?a??1?a?1?a?

?2?21?a21?a?1?a?1?1?a2a

例5：计算：

?1（1）?18?4?2?

?3??33?2?1

1??1（2）15?????23?（3）335?2?253?1?2126?2 分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特

别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

解： （1）原式?（32?22?3?2）?33

??33?3

?3?2?（2）原式?15????15??223??15?

3?263?263?2?310???

?3?2??3?2?330?65（3）原式?33?5?23??25?3?12??43?6?24??15?6?15?5?32?6?5?32 小结：注意运算顺序如（2）切不可，作成15?12?15?13，要先作括号内的

加法，又考虑到除法又要颠倒相乘，因此也没有必要先分母有理化，又如（3）中各项的符号问题不能出错，所有这些地方都注意到了，才能得出正确结果。 例6：化简：

（1）

a?4ba?2b2a?a2?a?4ab?4b?a?42a2??a?42a2

（2）

?2??2分析：应注意（1）式a?0，b?0，（2）a?0，所以a???a2，b???b，a?4b2可看作

?a?2?4?b?2可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。

?解：（1）原式???（2）原式??1a1a?2b??a?2ba?2b???2a?2b?2

?a?2b?1a?2b2a?2a?121???a?2ba?2ba?4b?2a?2a?a2?4a?42a|a?2|2a??a2?4a?42a2a|a?2|a22a2a?原题只保证a?0，因此要分类讨论a?2时，及0?a?2时当a?2时，原式??1a22a?2?a?a?2?a?2?2a?12a?a?22a?2a?a?22a2a2?a2a2a2a3a?22a当0?a?2时，

原式??1a22a2?a?a?2?2?a2a2a?12a?a?22a?2a?2aa?62a2a

例7：化简：

（1）?st3?s?0?（2）6?2?

??6?3?2（3）?3?m?2?m?2?2(m?3)?1?x2?10x?25???x?5??2?2

（4）|6?x|?4x2?4x?1?（5）a?2b2a?2b?

分析：依据公式a3?a?2b??2b?a2?a(a?0)?|a|??来化简。

??a(a?0) 解：（1）??st?0

?st3?0，而s?0

?t3?0，即t?0

原式?（2）?2??st2t2?|t|?st??t?st??t?0?6?3?6?2?0，而6?3?0

原式???6?2?6?2??6?36?3

????6?2?6?3?26?5

（3）原式?3?m?m?2?m?3?3?m?0m?2?0?原式??(3?m)?(m?2)??3?m?m?2??1（4）原式?|6?x|?|2x?1|?|x?5|?x?5?2x?1?0，而x?5?02?6?x?0原式?6?x?(2x?1)???(x?5)??6?x?2x?1?x?5?10?4x（5）原式在a?2b?0时才有意义?原式?（a?2b)?(a?2b)?(a?2b)?2b?a

例8：已知：a?3??1

3?223，b?3?22

求：ab?ab的值。

33分析：如果把a，b的值直接代入计算a，b的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到

3?2与3?2互为有理化因子可计算a?b，a2b，然后将求值式子化为

a?b与a2b的形式。

3?2?3?223?223?2214 解：a?b??3，a2b?2?

?ab3?a3b?ab(b2?a2)?ab?a?b??2ab

?2?

将a?b与a2b的值代入，得：1?4????321?1??22???3?4?4?1?155?2???2428 小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提

高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

【专项训练】：

一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。 1、

?a?1?2?a?1成立的条件是：

B．a?1

C．a?1

D．a?1

A．a?1

2、把

227化成最简二次根式，结果为：

A．

233 B．

29 C．

69 D．

39

3、下列根式中，最简二次根式为：

4、已知t<1，化简1?t?A．4x

B．x?4

2C．

x4 D．(x?4)

2t2?2t?1得：

C．2

D．0

A．2?2t B．2t

5、下列各式中，正确的是：

A．?7C．?7??2??7

B．D．

??0.7?2?0.7

??2?7

2??0.7?2?0.7

6、下列命题中假命题是：

A．设x?0，则??x?22??x B．设x?0，则xx2??1

2

C．设x?0，则x?x D．设x?0，则?x?2?x2

7、与23是同类根式的是：

A．50

B．32

C．18

D．75

8、下列各式中正确的是：

A．2?3?5 B．2?3?23 ?39?0

C．3ax?4x?3a?4x D．

127

9、下列各式计算正确的是： 10、计算

A．8?6?422282?62?8?6?14

B．8xy?4xy C．10?6?D．

2210?6210?6?4?2?8

?25?49??25?49?57

?105?45???35?15的结果是：

? A．－3 B．3 C．

33 D．－

33

二、计算（字母取正数）

（1）57228（3）3m（5）18（7）3mn122mn3（2）4n35m24962355624（4）3（6）（8）?90?11????2?48?64?22104?1073a?2b9?45（9）?32?25（11）18?4（13）3412???25?3232?3a2?1??2?1?1a2?（10）43?32??2?14a9（12）712?548?2（14）10（16）150?75??13?93116a?63?2

?（15）?22?32???3?62?16?233?1 三、 1、化简

?a3a2?4a?4

2、已知：x?12?3，y?12?3

求：x2?5xy?y2

3、若5的整数部分为a，小数部分是b

求：a?1b的值。

【答案】：

一、选择题： 1、B 2、C 3、B 4、D 6、C 7、D 8、D 9、C

二、计算：

5、B 10、B

1、702、43、4、4mn415m912515410?10321a?14b9a?4b5、?636、7、18?858、9、?38?121010、66?24611、012、

1133

13、2a14、?4315、116、33 三、

1、

a?aa?22、9 3、?5