2018年山东省济南市长清区中考数学一模试卷

2018年山东省济南市长清区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）2018的相反数是（ ） A．8102

B．﹣2018 C．

D．2018

2．（4分）如图，点O在直线AB上，若∠2=140°，则∠1的度数是（ ）

A．40° B．60° C．140° D．150° 3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（a2）3=a6

C．a6÷a2=a3

D．2﹣3=﹣6

4．（4分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ）

A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104

5．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

6．（4分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（ ）

A． B． C． D．

7．（4分）下列命题中，真命题是（ ） A．两对角线相等的四边形是矩形

B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两对角线互相垂直的四边形是菱形

第1页（共26页）

D．两对角线相等的矩形是正方形

8．（4分）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：

星期 跳绳个数 一 160 二 160 三 180 四 200 五 170 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．180，160

B．170，160

C．170，180

D．160，200

9．（4分）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1

10．（4分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 11．（4分）如图，直线y=﹣

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB

沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）

A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）

12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论有（ ）个

第2页（共26页）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上） 13．（4分）分解因式：x2+xy= ． 14．（4分）比较大小：

（填“＞”“＜”“=”）．

15．（4分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 ．

16．（4分）若代数式

和

的值相等，则x= ．

17．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为 ．

18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．

第3页（共26页）

三、解答题（本大题共9小题，共计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（6分）（1）计算：tan60°+（

﹣1）0﹣

；

（2）化简：（a+3）（a﹣3）+a（2﹣a） 20．（6分）（1）解不等式组：（2）解方程：x2﹣4x+3=0

21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3．

（1）求证：△ACB∽△DAO； （2）求BC的长．

；

22．（8分）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，高新中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D排球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（2）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生

第4页（共26页）

一女生的概率．

23．（8分）春节期间，某超市出售的桂圆和芒果，单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？

24．（10分）如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为60°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：

≈1.7）

25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

26．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=

，CE=3，求∠AED的度数；

第5页（共26页）

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=

，求CN的长．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第6页（共26页）

2018年山东省济南市长清区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）2018的相反数是（ ） A．8102

B．﹣2018 C．

D．2018

【分析】根据相反数的定义可得答案． 【解答】解：2018的相反数﹣2018， 故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2．（4分）如图，点O在直线AB上，若∠2=140°，则∠1的度数是（ ）

A．40° B．60° C．140° D．150°

【分析】根据互补两角之和为180°，求解即可． 【解答】解：∵∠1+∠2=180°且∠2=140°， ∴∠1=40°， 故选：A．

【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．

3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（a2）3=a6

C．a6÷a2=a3

D．2﹣3=﹣6

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次

第7页（共26页）

幂的倒数，对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为a2?a3=a2+3=a5，故本选项错误； B、（a2）3=a2×3=a6，正确；

C、应为a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误； D、应为2﹣3=故选：B．

【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及负整数指数幂的运算，熟练掌握各运算性质并灵活运用是解题的关键．

4．（4分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ）

A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：100800=1.008×105． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

=，故本选项错误．

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；

第8页（共26页）

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误． 故选：C．

【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．

判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．

6．（4分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据主视图定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【解答】解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1， 故选：D．

【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．

7．（4分）下列命题中，真命题是（ ） A．两对角线相等的四边形是矩形

B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两对角线相等的矩形是正方形

【分析】分别利用矩形、菱形、正方形及平行四边形的判定方法判定后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，错误； B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； C、两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误； D、两对角线垂直的矩形是正方形，错误； 故选：B．

第9页（共26页）

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及平行四边形的判定方法，难度不大．

8．（4分）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：

星期 跳绳个数 一 160 二 160 三 180 四 200 五 170 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．180，160

B．170，160

C．170，180

D．160，200

【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．

【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；

160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160； 故选：B．

【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．

9．（4分）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1

【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．

第10页（共26页）

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10．（4分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

【解答】解：由y=3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1）， 故选：C．

【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

11．（4分）如图，直线y=﹣

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB

沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）

A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）

x+2

【分析】作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=﹣与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，2），A（2运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．

【解答】解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，

，0），和∠BAO=30°，

第11页（共26页）

∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

，0），

∴B（0，2），A（2∴∠BAO=30°，

由折叠的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60°， ∴MB=1，MO′=

，

，

∴OM=3，ON=O′M=∴O′（

，3），

故选：A．

【点评】本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．

12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论有（ ）个

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．

【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，

第12页（共26页）

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确；

直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0，

即a﹣2b+4c＞0，故②错误；

∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0）， 当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2﹣b+c=0， 整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确； ∵b=2a，a+b+c＜0， ∴b+b+c=0，

即3b+2c＜0，故④错误； ∵x=﹣1时，函数值最大， ∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，

∴a﹣b≥m（am﹣b），所以⑤正确； 故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上） 13．（4分）分解因式：x2+xy= x（x+y） ． 【分析】直接提取公因式x即可． 【解答】解：x2+xy=x（x+y）．

【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般

第13页（共26页）

=﹣1，可得b=2a，

来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．

14．（4分）比较大小：

＞ （填“＞”“＜”“=”）．

的整数部分，然

【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算后根据整数部分即可解决问题． 【解答】解：∵∴

＞．

﹣1＞1，

故填空结果为：＞．

【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．

15．（4分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 6 ．

【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到【解答】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得

=，解得x=6，

=，然后解方程即可．

所以黄球的个数为6个． 故答案为6．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

16．（4分）若代数式

和

的值相等，则x= 7 ．

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：根据题意得：去分母得：2x+1=3x﹣6，

第14页（共26页）

=，

解得：x=7，

经检验x=7是分式方程的解． 故答案为：x=7．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

17．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为 100° ．

【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，即可求出答案． 【解答】解：∵∠BOD=160°， ∴∠BAD=∠BOD=80°， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BCD=100°， 故答案为：100°．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°．

18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ﹣24 ．

第15页（共26页）

【分析】易证S

菱形ABCO

=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即

可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题． 【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，

∵四边形OABC为菱形， ∴AB∥CO，AO∥BC， ∵DE∥AO， ∴S△ADO=S△DEO， 同理S△BCD=S△CDE，

∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE， ∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40， ∵tan∠AOC=， ∴OF=3x， ∴OC=∴OA=OC=5x，

∵S菱形ABCO=AO?CF=20x2，解得：x=∴OF=

，CF=

， ，

），

，

=5x，

∴点C坐标为（﹣

∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴代入点C得：k=﹣24，

第16页（共26页）

故答案为﹣24．

【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S

△CDO

是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（6分）（1）计算：tan60°+（

﹣1）0﹣

；

（2）化简：（a+3）（a﹣3）+a（2﹣a） 【分析】（1）根据实数的运算解答即可； （2）根据整式的混合计算解答即可． 【解答】解：（1）原式=（2）原式=a2﹣9+2a﹣a2 =2a﹣9．

【点评】此题考查实数和整式的运算，关键是根据平方差公式解答．

20．（6分）（1）解不等式组：（2）解方程：x2﹣4x+3=0

【分析】（1）分别解每一个不等式，再确定其解集的公共部分即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解： （1）解①得：x＜4， 解②得：x≥2，

∴原不等式组的解集是2≤x＜4；

（2）由x2﹣4x+3=0得（x﹣1）（x﹣3）=0， ∴x﹣1=0或x﹣3=0， ∴x1=1，x2=3．

【点评】本题主要考查一元二次方程及不等式组的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．

第17页（共26页）

；

；

21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3．

（1）求证：△ACB∽△DAO； （2）求BC的长．

【分析】（1）求出∠B=∠AOD，∠ACB=∠OAD，根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【解答】（1）证明：∵BC∥OD， ∴∠B=∠AOD， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AD是⊙O的切线， ∴AD⊥AB，即∠BAD=90°， ∴∠C=∠OAD， ∴△ACB∽△DAO；

（2）解：∵由（1）得△ABC∽△DAO， ∴BC：OA=AB：OD， ∵OA=1，AB=2，OD=3， ∴BC=．

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

22．（8分）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，高新中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D排球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息

第18页（共26页）

解答下列问题：

（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（2）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．

【分析】（1）用A类的人数除以它所占百分比得到调查的总人数，然后用总人数分别减去其它各组人数可得C类人数，用C类人数除以总人数得到C类所占百分比，再补全统计图；

（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）调查的纵人数=15÷10%=150，

所以喜欢“跑步”的学生人数=150﹣15﹣45﹣30=60（人），它所占的百分比=100%=40%； 如图，

×

（2）画树状图为：

第19页（共26页）

共有6种等可能的结果数，其中一男生一女生的结果数为4， 所以刚好抽到一男生一女生的概率==．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．

23．（8分）春节期间，某超市出售的桂圆和芒果，单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？

【分析】设购买了桂圆x千克，则购买芒果（30﹣x）千克．根据两种水果共花了708元，列出方程并解答即可．

【解答】解：设购买了桂圆x千克，则购买芒果（30﹣x）千克． 根据题意列方程得：26x+22（30﹣x）=708， 解得：x=12，30﹣x=18．

答：购买了桂圆12千克，购买芒果18千克．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

24．（10分）如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为60°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：

≈1.7）

第20页（共26页）

【分析】根据∠CBF=60°，∠BAF=30°，可得BA=BF，利用正弦函数即可求出CF的长．

【解答】解：∵∠CBF=60°，∠CAF=30°，∠CBF=∠CAF+∠BFA， ∴∠BFA=30°， ∴AB=BF， ∵AB=800米， ∴AB=BF=800米，

∵∠BCF=90°，∠CBF=60°， ∴CF=BFsin60°=800×

=400

≈680（米），

答：竖直高度CF约为680米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

第21页（共26页）

（2）根据图象，观察即可求得答案；

（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．

【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上， ∴m=6，

∴反比例函数的解析式为：y=， ∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上， ∴n=

=﹣2，

∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上， ∴解得：

， ，

∴一次函数的解析式为：y=x+1；

（2）﹣3＜x＜0或x＞2；

（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5， ∴S△ABC=×2×5=5．

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．

26．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶

第22页（共26页）

点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=

，CE=3，求∠AED的度数；

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=

，求CN的长．

【分析】（1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可； （2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED； （3）由AB∥CD，得出得到

=

=

=

=，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，

，求出DN即可

【解答】解：（1）CE=AF；

证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90° ∴∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE， ∴CE=AF， （2）∵DE=1，AE=∴EF=

，

，CE=3，

∴AE2+EF2=AF2

∴△AEF为直角三角形， ∴∠BEF=90°

∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；

（3）∵M是AB中点， ∴MA=AB=AD，

第23页（共26页）

∵AB∥CD， ∴

=

=

=，

=

=2

，

在Rt△DAM中，DM=∴DO=∵OF=∴DF=

， ， ，

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO， ∴△DFN∽△DCO， ∴∴

==

， ，

∴DN=，

∴CN=CD﹣DN=4﹣=

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第24页（共26页）

【分析】（1）先确定A（4，0），B（﹣1，0），再设交点式y=a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）作PD∥y轴，如图，易得直线AC的解析式为y=﹣x+4，设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），再用x表示出PD，接着根据三角形面积公式得到S△PAC=?PD?4=﹣2x2+8x，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先计算出AC=4

，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA

时可直接写出

时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4Q点的坐标．

【解答】解：（1）∵C（0，4）， ∴OC=4， ∵OA=OC=4OB， ∴OA=4，OB=1，

∴A（4，0），B（﹣1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，4）代入得a?1?（﹣4）=4，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）， 即y=﹣x2+3x+4；

（2）作PD∥y轴，如图，

易得直线AC的解析式为y=﹣x+4，

设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4）， ∴PD=﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+4x， ∴S△PAC=?PD?4=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

当x=2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）； （3）存在．

第25页（共26页）

∵OA=OC=4， ∴AC=4

，

∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；

当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）； 当AQ=AC=4

时，Q点的坐标（4+4

，0）或（4﹣4

，0）， ，0）或（4﹣4

，0）．

综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

第26页（共26页）

∵OA=OC=4， ∴AC=4

，

∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；

当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）； 当AQ=AC=4

时，Q点的坐标（4+4

，0）或（4﹣4

，0）， ，0）或（4﹣4

，0）．

综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

第26页（共26页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oh53.html