2010-2011学年四川省宜宾市宜宾县九年级（上）期中数学试卷

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一、选择题（共30分，每小题3分） 1．（3分）使二次根式x≠2 A． 2．（3分）±2 A． 有意义的x的取值范围是（ ） B． x＞2 的值是（ ） 2 B． ；②

．其中正确的有（ ） B． 1个 ，②

，③

，④

C． 2个 ，其中与

D． 3个 是同类二次根式的是（ ）

x≤2 C． x≥2 D． C． ﹣2 ；③

D． 以上答案都不对 ；

3．（3分）下列运算：①④ A．0个 4．（3分）下列二次根式：①

A．①和③ B． ①和④ C． ②和④ D． ③和④ 5．（3分）方程2x（x﹣5）=8（x﹣5）的根是（ ） x=4 A．B． C． D． x=﹣4 x1=5，x2=4 x1=﹣5，x2=﹣4 6．（3分）下列各组线段中，能成比例的是（ ） A．1cm，3cm，4cm，6cm B． 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm C．D． 12cm，16cm，45cm，60cm 7．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂

2

图的面积是5000cm，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（ ）

2 A．x+130x﹣1400=0 2

2B． x﹣130x﹣1400=0 2C． x+65x﹣250=0 2D． x﹣65x﹣250=0 8．（3分）一元二次方程2x﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根 没有实数根 C．D． 只有一个实数根 9．（3分）对于任意实数x，多项式x﹣2x+3的值是一个（ ） A．正数 B． 负数 C． 非负数 D． 不能确定 10．（3分）（2001?呼和浩特）某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元．以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏本20%．则本次出售中，商场（ ）

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2

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www.jyeoo.com A．不赚不赔 B． 赚160元 C． 赚80元 二、填空题（共30分，每题3分） 11．（3分）写出以﹣1和4为根的一元二次方程： _________ ．

12．（3分）当m= _________ 时，方程

13．（3分）已知

= _________ ．

D． 赔80元 是关于x的一元二次方程．

14．（3分）遵义市供排水公司为了不让水资源被生活废水和生产废水所污染，决定在汇川大道旁修建一个污水处理厂，3月份净化污水3000吨，5月份增加到3630吨，则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为 _________ ．

15．（3分）已知化简后的二次根式

16．（3分）（2009?湘西州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=么12※4= _________ ． 17．（3分）将下列各式配成完全平方式： （1）x﹣3x+ _________ =

18．（3分）已知方程x﹣5x+5=0的一个根是m，则

2

2

是同类二次根式，则x+y= _________ ．

，如3※2=．那

（2） _________ ．

的值为 _________ ．

19．（3分）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是 _________ ．

20．（3分）某中学美术兴趣小组有若干名同学，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个兴趣小组共有学生 _________ 人．

三、计算或解方程（本题共1小题，每小题15分，共15分） 21．（15分）（1）计算：

（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4

2

（3）用配方法解方程3x﹣2x﹣8=0．

四、解答题

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www.jyeoo.com 22．（5分）先化简，再求值：

23．（6分）已知，如图，在△ABC中，

，求证：（1）

（2）

．

，其中

．

24．（6分）设x1，x2是方程2x+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）

22

（2）x1x2+x1x2． 25．（6分）如图，某海关缉私队在O点出发现正北方向30海里的A处有一艘船形迹可疑，测得它正以60海里/小时的速度向正东航行．海关缉私队随即调整方向，以75海里/小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间赶上？

2

26．（7分）（2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如简： ==

=

；（一） （二）

，

，

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=

（1）请用不同的方法化简①参照（三）式得②参照（四）式得

．

= _________ ； = _________ ．

（四）

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www.jyeoo.com （2）化简：

．

27．（7分）（2011?盐城）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 28．（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问： （1）几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）几秒后PQ的长为3厘米？ （3）几秒后△ABC与△BPQ相似？

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参考答案与试题解析

一、选择题（共30分，每小题3分） 1．（3分）使二次根式

有意义的x的取值范围是（ ）

x≠2 x≤2 x≥2 A．B． x＞2 C． D． 考点： 二次根式有意义的条件。 专题： 计算题。 分析： 利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 解答： 解：∵二次根式有意义， ∴x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选D． 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点． 2．（3分）的值是（ ） ±2 2 A．B． C． ﹣2 D． 以上答案都不对 考点： 算术平方根。 专题： 计算题。 分析： 此题考查的是4的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数． 解答： 解：∵=2； 故选B． 点评： 此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0． 3．（3分）下列运算：①④ A．0个 ；②

．其中正确的有（ ） B． 1个 ；③；

C． 2个 D． 3个 考点： 二次根式的乘除法。 专题： 计算题。 分析： 根据二次根式的乘法法则分别运算各式，然后与所给的结果进行对比，从而可得出正确的个数． 解答： 解：①2×3=18，故本项错误； ②4?=4，故本项正确； ③2④?3=6，故本项错误； =7，故本项错误． ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com 综上可得只有②正确． 故选B． 点评： 此题考查了二次根式的乘除法运算，难度一般，关键是掌握二次根式的乘法法则，另外在计算时要细心，避免出错． 4．（3分）下列二次根式：①

，②

，③

，④

，其中与

是同类二次根式的是（ ）

A．①和③ B． ①和④ C． ②和④ D． ③和④ 考点： 同类二次根式。 专题： 计算题。 分析： 先将二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可作出判断． 解答： 解：①=2，与是同类二次根式，故正确； ②③=与=2，与不是同类二次根式，故错误； 不是同类二次根式，故错误； ④=4，与是同类二次根式，故正确． 综上可得①④正确． 故选B． 点评： 此题考查了同类二次根式的知识，关键是将二次根式化为最简，另外要掌握同类二次根式的定义，难度一般． 5．（3分）方程2x（x﹣5）=8（x﹣5）的根是（ ） x=4 A．B． C． D． x=﹣4 x1=5，x2=4 x1=﹣5，x2=﹣4 考点： 解一元二次方程-因式分解法。 分析： 首先把8（x﹣5）移到方程左边，然后再分解因式，即可解出方程的解． 解答： 解：2x（x﹣5）=8（x﹣5）， 2x（x﹣5）﹣8（x﹣5）=0， 2（x﹣4）（x﹣5）=0， x﹣4=0或x﹣5=0， ∴x1=4，x2=5． 故选：B． 点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是熟练掌握因式分解的方法． 6．（3分）下列各组线段中，能成比例的是（ ） A．1cm，3cm，4cm，6cm B． 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm C．D． 12cm，16cm，45cm，60cm 考点： 比例线段。 分析： 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 解答： 解：A、1×6≠3×4，故错误； B、30×0.2≠12×0.8，故错误； C、0.1×0.4=0.2×0.3，故错误； D、12×60≠16×45，故正确． 故选D． ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 7．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂

2

图的面积是5000cm，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（ ）

222 A．B． C． D． x+130x﹣1400=0 x﹣130x﹣1400=0 x+65x﹣250=0 x﹣65x﹣250=0 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程。 2分析： 挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据整个挂图的面积是5000cm，即长×宽=5000，列方程进行化简即可． 解答： 解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm； 所以（80+2x）（50+2x）=5000， 2即4x+160x+4000+100x=5000， 2所以4x+260x﹣1000=0． 2即x+65x﹣250=0． 故选C． 点评： 本题考查了一元二次方程的运用，运用面积列方程，展开时注意符号易出错． 8．（3分）一元二次方程2x﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根 没有实数根 C．D． 只有一个实数根 考点： 根的判别式。 专题： 计算题。 分析： 先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 22解答： 解：△=b﹣4ac=（﹣3）﹣4×2×（﹣5）=49， ∵49＞0， ∴原方程有两个不相等实数根． 故选B． 点评： 本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个不相等的实数根；△＜0，没有实数根． 22

9．（3分）对于任意实数x，多项式x﹣2x+3的值是一个（ ） A．正数 B． 负数 C． 非负数 D． 不能确定 考点： 配方法的应用。 专题： 计算题。 分析： 根据完全平方公式，将x2﹣2x+8转3为完全平方的形式，再进一步判断． 解答： 解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0， 2所以（x﹣1）+2的最小值是2， 2故多项式x﹣2x+3的值是一个正数， 故选A． 点评： 任意实数的平方和绝对值都具有非负性，灵活运用这一性质是解决此类问题的关键． 2

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www.jyeoo.com 10．（3分）（2001?呼和浩特）某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元．以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏本20%．则本次出售中，商场（ ） A．不赚不赔 B． 赚160元 C． 赚80元 D． 赔80元 考点： 一元一次方程的应用。 专题： 销售问题。 分析： 可先设两台电子琴的原价为x与y，根据题意可得关于x，y的方程式，求解可得原价；比较可得每台电子琴的赔赚金额，相加可得答案． 解答： 解：设两台电子琴的原价分别为x与y， 则第一台可列方程（1+20%）?x=960，解得：x=800． 比较可知，第一台赚了160元， 第二台可列方程（1﹣20%）?y=960，解得：y=1200元， 比较可知第二台亏了240元， 两台一合则赔了80元． 故选D． 点评： 此题的关键是先求出两台电子琴的原价，才可知赔赚． 二、填空题（共30分，每题3分）

2

11．（3分）写出以﹣1和4为根的一元二次方程： x﹣3x﹣4=0 ． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解。 专题： 计算题。 分析： 利用根与系数的关系用两根表示的一元二次方程的形式为：x2﹣（x1+x2）x+x1x2=0．根据此形式把对应数值代入即可． 解答： 解：根据题意，要求写出一个以4和﹣1为根的一元二次方程， 而用两根表示的一元二次方程的形式为：x﹣（x1+x2）x+x1x2=0； 2则以4和﹣1为根的一元二次方程是x﹣（4﹣1）x+4×（﹣1）=0； 2即x﹣3x﹣4=0； 2故答案为x﹣3x﹣4=0． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式． 12．（3分）当m= ﹣1 时，方程是关于x的一元二次方程．

2 考点： 一元二次方程的定义；解一元二次方程-直接开平方法。 专题： 常规题型。 分析： 本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）含未知数的项最高次数是2；（2）只有一个未知数；（3）是整式方程．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可． 解答： 解：因为原方程为关于x的一元二次方程， 所以 ， 解得：m=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查一元二次方程的定义，注意掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

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www.jyeoo.com 13．（3分）已知

= ．

考点： 比例的性质。 分析： 将化为2（a+b）=5b，进一步整理为2a=3b，从而得到答案． 解答： 解：由得2（a+b）=5b， 整理得2a=3b， ∴． 故答案为． 点评： 本题考查了比例的性质，解题的关键是牢记两内项之积等于两外项之积． 14．（3分）遵义市供排水公司为了不让水资源被生活废水和生产废水所污染，决定在汇川大道旁修建一个污水处理厂，3月份净化污水3000吨，5月份增加到3630吨，则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为 10% ． 考点： 一元二次方程的应用。 专题： 增长率问题。 分析： 等量关系为：3月份净化污水吨数×（1+增长的百分率）2=5月份净化污水吨数，把相关数值代入计算求得正数解即可． 解答： 解：设这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为x． 3000×（1+x）=3630， 解得x1=﹣2.1（不合题意，舍去），x2=10%． 故答案为10%． 点评： 考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为2x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）=b． 15．（3分）已知化简后的二次根式

考点： 同类二次根式；解二元一次方程组。 分析： 根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 解答： 解：根据题意，得 2是同类二次根式，则x+y= 2 ．

，即， 由①+②，解得，x=1，③； 把③代入①，解得，y=1， ∴x+y=2； 故答案是：2． 点评： 本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com 16．（3分）（2009?湘西州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=么12※4=

．

，如3※2=

．那

考点： 二次根式的性质与化简。 专题： 新定义。 分析： 根据新定义的运算法则a※b=得出． 解答： 解：12※4===． 点评： 主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可． 17．（3分）将下列各式配成完全平方式： （1）x﹣3x+ （） =

2

2

（2） ．

考点： 完全平方式。 专题： 计算题。 分析： （1）只要加上﹣3一半的平方即可配成完全平方公式； （2）把等式左边的式子展开即可得到答案． 解答： 2222解：（1）x﹣3x+（）=（x﹣），故答案为（）； （2）（x﹣4）=（x﹣8x+16）=x﹣x+故答案为x． 222， 点评： 本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 18．（3分）已知方程x﹣5x+5=0的一个根是m，则

2

的值为 5 ．

考点： 一元二次方程的解；代数式求值。 分析： 根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入原方程求得m2+5=5m；然后将m2+5代入通分后的所求的代数式求值即可． 解答： 解：∵方程x2﹣5x+5=0的一个根是m， ∴x=m满足该方程， 2∴m﹣5m+5=0； 2∴m+5=5m， ∴===5． 故答案是：5． 点评： 此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com 19．（3分）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是 ：1 ．

考点： 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）。 分析： 设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 解答： 解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=AD=x． ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似． ∴2=，即 2= 即y=x． ∴x：y=：1． 故答案为：：1． 点评： 此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 20．（3分）某中学美术兴趣小组有若干名同学，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个兴趣小组共有学生 9 人． 考点： 一元二次方程的应用。 分析： 设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x﹣1张贺卡，所以全组共送x（x﹣1）张，又知全组共送贺卡72张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程求解． 解答： 解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得： x（x﹣1）=72， 2即：x﹣x﹣72=0， 解得：x1=9，x2=﹣8（不符合题意舍去） 即：这个小组有9人． 故答案为：9． 点评： 本题考查了一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系：全组共送贺卡72张，列出方程求解． 三、计算或解方程（本题共1小题，每小题15分，共15分）

21．（15分）（1）计算：

（2）解方程：（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4

2

（3）用配方法解方程3x﹣2x﹣8=0． 考点： 实数的运算；零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次方程；解一元二次方程-配方法。 分析： （1）根据零指数幂、分母有理化等知识点分别进行计算，再合并即可求出答案； （2）根据解方程的步骤分别进行计算，再把系数化1，即可求出答案； （3）先把系数化1，再进行配方即可求出x的值； ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com 解答： 解：（1）=3×1﹣（2﹣）﹣1 =3﹣2+﹣1 =； （2）（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4 23x+5x﹣2=11x﹣4 23x﹣6x+2=0， （x﹣1）=， ∴x﹣1=∴x= （3）3x﹣2x﹣8=0 x﹣x﹣=0， （x﹣）=∴x﹣=2222 ， +1； +1或x=﹣， ， ∴x=2或x=﹣． 点评： 此题考查了实数的运算；根据运算顺序和解方程的步骤分别进行计算是解题的关键，解答时要细心，注意结果的符号． 四、解答题

22．（5分）先化简，再求值： 考点： 分式的化简求值。 专题： 计算题。 分析： 先化简，再把x的值代入计算即可． 解答： 解：原式=× ，其中．

=x﹣1， ∵， ∴原式=x﹣1=+1﹣1=． 点评： 本题考查了分式的化简求值，化简此分式是解题的关键． 23．（6分）已知，如图，在△ABC中，

，求证：（1）

（2）

．

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考点： 平行线分线段成比例。 分析： 先根据对应线段成比例，两直线平行得出DE∥BC，再根据平行线分线段成比例的性质求解． 解答： 解：∵， ∴DE∥BC， ∴（1）（2）； ． 点评： 本题考查学生对对应线段成比例两直线平行的理解及运用． 24．（6分）设x1，x2是方程2x+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）

22

（2）x1x2+x1x2． 考点： 根与系数的关系。 专题： 探究型。 分析： 先根据根与系数的关系求出x1，x2及x1，x2，的值， （1）根据多项式的乘法把原式化简，再把x1，x2及x1，x2的值代入进行计算； （2）先提取公因式，再把x1+x2及x1x2的值代入进行计算． 2解答： 解：∵x1，x2是方程2x+4x﹣3=0的两个根， 2

∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣， （1）原式=x1?x2+x1+x2+1 =﹣﹣2+1 =﹣； （2）原式=x1?x2（x1+x2） =﹣（﹣2） =3． 点评： 本题考查的是根与系数的关系，即若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 2 25．（6分）如图，某海关缉私队在O点出发现正北方向30海里的A处有一艘船形迹可疑，测得它正以60海里/小时的速度向正东航行．海关缉私队随即调整方向，以75海里/小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间赶上？

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考点： 勾股定理的应用。 专题： 计算题。 分析： 设海关缉私队的行驶距离OB为75x，则船的行驶距离AB为60x，且OA=30海里，在直角△ABC中，OB为斜边，根据勾股定理即可求OB，AB． 解答： 解：已知船的行驶速度为60海里/时，缉私队的行驶速度为75海里/时， 则设OB=75x，则AB=60x， 在直角△ABC中，OB为斜边， 222则OB=OA+AB， 解得：x=小时=40分钟， 故经过时间为40分钟， 答：经过40分钟缉私队赶上嫌疑船． 点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的找到OB，AB的等量关系，并且根据该等量关系在直角△OAB中求解是解题的关键． 26．（7分）（2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如简： ==

=

；（一） （二）

，

，

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=

（1）请用不同的方法化简

．

（四）

①参照（三）式得= ；

②参照（四）式得（2）化简：

=

．

．

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www.jyeoo.com 考点： 分母有理化。 专题： 阅读型。 分析： （1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的； （2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况． 解答： 解：（1）=， = （2）原式=； +…+ ==． ++…+ 点评： 学会分母有理化的两种方法． 27．（7分）（2011?盐城）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用；二元一次方程组的应用。 专题： 销售问题；图表型。 分析： （1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可； （2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+100）件，（300+100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；即可得出总利润，利用二次函数最值求出即可． 解答： 解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，

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www.jyeoo.com 根据题意得：， 解得：； 答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元； （2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件． ∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时， 甲乙每天分别卖出：（500+100）件，（300+100）件， ∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2=1元，5﹣3=2元， 每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元； w=（1﹣m）×（500+=﹣2000m+2200m+1100， 当m=﹣=﹣=0.55元，w最大，最大值为：=1705元， 2100）+（2﹣m）×（300+100）， ∴当m定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元． 点评： 此题主要考查了二元一次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键． 28．（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问： （1）几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）几秒后PQ的长为3厘米？ （3）几秒后△ABC与△BPQ相似？

考点： 相似三角形的判定；一元二次方程的应用；三角形的面积。 专题： 计算题。 分析： （1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP=6﹣x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程 ×（6﹣x）×2x=8，求解即可； （2）设y秒后PQ的长为3厘米，则BP=6﹣y，BQ=2y，根据勾股定理得出方程 （6﹣y）+（2y）=2（3），求解即可； （3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况 BP：AB=BQ：BC和第二种情况 BP：BC=BQ：AB，代入求出即可． 2解答： 解：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm， 22 ?2010-2012 菁优网

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www.jyeoo.com BP=6﹣x，BQ=2x， ∵∠B=90°， ∴BP×BQ=8， ∴×（6﹣x）×2x=8， ∴x1=2，x2=4， 2答：经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm． （2）设y秒后PQ的长为3厘米， 则BP=6﹣y，BQ=2y， 222 （6﹣y）+（2y）=（3）， 解得y1=3，y2=﹣（舍去）， 答：3秒后PQ的长为3厘米； （3）解：设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似， ∵∠B=∠B， 第一种情况：当 BP：AB=BQ：BC时，△PBQ与△ABC相似， ∴（6﹣a）：6=2a：8， 解得：a=2.4， 第二种情况：当 BP：BC=BQ：AB时，△PBQ与△ABC相似， ∴（6﹣a）：8=2a：6， ∴a=， 秒钟，使△PBQ与△ABC相似． 答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2.4或点评： 本题考查了相似三角形的判定以及一元二次方程的应用、三角形面积的求法，是中考压轴题，难度较大． ?2010-2012 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；sd2011；cair。；lf2-9；心若在；dbz1018；lantin；caicl；HLing；蓝月梦；bjy；HJJ；自由人；bjf；ZJX；zhqd；499807835；lanchong（排名不分先后） 菁优网

2012年10月25日

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