课堂新坐标（教师用书）高中数学 3.1.3+4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示课后知能

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.3+4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示课后知能检测 苏教版选修2-1

一、填空题

1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．

【解析】 命题q中，{a，b，c}为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a，b，

c为非零向量，且为不共面向量．故q?p，p【答案】 必要不充分

q，所以命题p是命题q的必要不充分条件．

2．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a＋b，b－a，a}； ②{a＋b，b－a，b}； ③{a＋b，b－a，c}; ④{a＋b＋c，a＋b，c}．

【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③

3．已知{i，j，k}为空间的一个基底，若a＝i－j＋k，b＝i＋j＋k，c＝i＋j－k，d＝3i＋2j－4k，又d＝α a＋β b＋γc，则α＝________，β＝________，γ＝________.

α＋β＋γ＝3??

【解析】 由题意知：?－α＋β＋γ＝2

??α＋β－γ＝－4

，

??解之得：?β＝－17γ＝??2

1α＝2

.

17

【答案】 －1 22

图3－1－13

4．如图3－1－13，已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，E是底面A′B′C′D′的中心，

a＝

121→1→→

，b＝AB，c＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为x＝________，y＝

23

________，z＝________.

【解析】 由题意知(

＝

) 1→1→＋AB＋AD 22

→→→

，AB，AD为不共面向量，而AE＝

＋

＝

＋12

3

＝2a＋b＋c，

23

∴x＝2，y＝1，z＝.

23

【答案】 2 1

2

→→

5．已知A(3,2,1)，B(－4,5,3)，C(－1,2,1)，则2AB＋5AC的坐标为________． →→

【解析】 2AB＋5AC＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)

6．(2013·平遥高二检测)已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝ (6,2μ－1,2)，a∥b，则λ与μ的值分别为________． λ＋12λ

【解析】 根据已知a∥b，则有＝ 6211

且2μ－1＝0，解得：λ＝，μ＝. 5211

【答案】 ， 52

图3－1－14

π

7．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，

2

→

则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO的坐标是________．

→

【解析】 由题意得A1(4,0,4)，B1(0，2,4)，由D为A1B1的中点可得D(2,1,4)，故OD＝→→

(2,1,4)，所以DO＝－OD＝(－2，－1，－4)．

【答案】 (－2，－1，－4)

8．(2013·威海高二检测)有下列命题： →→

①若AB∥CD，则A，B，C，D四点共线； →→

②若AB∥AC，则A，B，C三点共线；

2

③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，

5

b＝－e1＋e2，则a∥b；

④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2

＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

→→

【解析】 ①AB∥CD时，四点A，B，C，D可能共线也可能AB∥CD，故①为假命题； →→→→

②AB∥AC时，又AB，AC共起点，所以A，B，C三点共线，②为真命题； 21

③a＝4e1－e2＝－4(－e1＋e2)＝－4b，∴a∥b，故③为真命题；

510

④中，k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，又e1，e2，e3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k1

＝0，k2＝0，k3＝0，所以④为真命题．

【答案】 ②③④ 二、解答题

110

图3－1－15

9．如图3－1－15所示，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三→→→→→

等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.

→→→1→2→1→2→→

【解】 OP＝OM＋MP＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)

23231→2→1→

＝OA＋(ON－OA) 232

1→21→→＝OA＋×(OB＋OC) 6321→1→1→＝OA＋OB＋OC. 633→

OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN

1→1→→＝OA＋(ON－OM) 231→1→1→＝OA＋(ON－OA) 2321→11→→＝OA＋×(OB＋OC) 3321→1→1→＝OA＋OB＋OC. 366

10．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的

→→

1→1→

23

→→→

空间直角坐标系，并写出AA1，AB1，AC1的坐标．

→→→

【解】 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以DC，DA，DD1的方向为x轴，

y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，11

，0,2)，C1(，0,2)， 22

33

，0)，A1(0，，2)，B1(－22

1313→→→

所以AA1＝(0,0,2)，AB1＝(－，－，2)，AC1＝(，－，2)．

2222

11．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)． →→→→

(1)若DB∥AC，DC∥AB，求点D的坐标．

→→→

(2)是否存在实数x，y，使AC＝xAB＋yBC成立．若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．

【解】 (1)设D(x，y，z)，则有 →→

DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)， DC＝(－x，－y,2－z)，AB＝(－1,1,0)．

→

→

→→→→∵DB∥AC，DC∥AB， →→→→∴DB＝λ1AC且DC＝λ2AB， －x＝－λ1??

∴?1－y＝0??－z＝2λ1

x＝λ1??∴?y＝1??z＝－2λ

1

－x＝－λ2，??

且?－y＝λ2，??2－z＝0，

x＝λ2，??

且?y＝－λ2，??z＝2，

x＝－1，??

∴?y＝1，??z＝2，

∴D点坐标为(－1,1,2)．

→→

(2)∵AC＝(－1,0,2)，AB＝(－1,1,0)， →

BC＝(0，－1,2)，

假设满足条件的x，y存在， →→→即AC＝xAB＋yBC，

也即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y，2y) ＝(－x，x－y,2y)， －1＝－x，??

则?x－y＝0，??2＝2y，

解得x＝1，y＝1. ∴存在实数x＝1，y＝1， →→→

使AC＝xAB＋yBC成立．

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