九年级数学上学期圆 - 垂径定理

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2011-2012学年九年级数学第5课时

圆1 垂径定理专题

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．垂径定理及其推论就来自于此．

如左图所示，是垂径定理及其推论的基本图形．

A(1)AB过圆心O；

(2)AB平分非直径的弦CD； (3)AB⊥CD于点E；

O(4)?AD； AC=??．一条直线如果具有这五条中的任意两条，?=BD(5) CB则必

然具备其余的三条，简称为“知二推三” ．这就是垂径定理及其推论．

B

A如果AB过圆心O，并且AB平分弦CD，就一定可以得到

AB⊥CD，并且平分弦CD所对两条弧吗？ 如右图所示。

C“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条OD弧．”

B再次回到第1幅图，图中还有哪些关系？

(1)在Rt⊿OCE中，有OE?CE?OC.（勾股定理）

在Rt⊿OCE中利用勾股定理已知两边求第三边，或者建立相等关系列方程． (2)OA=OB=OC=OD=

222CED1AB．（同一个圆的半径都相等，都等于直径的一半） 2(3)OE+EB=OB=OC，OE的长度叫弦心距，EB的长度叫弓形高． (4) ⊿OCD是等腰三角形，OC和OD是腰，CD是底，∠OCD=∠ODC．

(5)如左图所示，若P在弦CD上移动（包括端点C和D），则： P点在何处时OP最短？__________ P点在何处时OP最长？__________ OP的取值范围是____________．

O(6)圆的两条平等弦所夹的弧相等．

CPD

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垂径定理及其推论的用途？ 1．证明线段相等、弧相等； 2．圆的计算（重点）； 3．圆的作图问题．

如何寻找下图中弧所在圆的圆心？

任意两条弦垂直平分线的交点即为圆心所在的位置．

2．圆的计算．

OACDB如左图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB，交弦AB于C点． 类型1 已知OA，AB，如何求OC和CD？

类型2 已知OC，AB，如何求OA？

类型3 已知AB，CD，如何求OA？

类型例举

题1 如上图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆心O到AB的距离是多少？弓形高CD是多少？

题2 如上图所示，在半径为5的⊙O中，如果弦心距OC=3，求弦AB的长？

题3 如上图所示，弓形高CD长为2，弦AB长为8，求⊙O的半径？

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综合题举例

例1 如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？ 提示：连半径，作弦心距，构造直角三角形．

PADAPDMBCONMBCON

例2 如右下图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE=2cm，BE=6cm，∠CEA=30°，求：CD的长．

提示：连半径，作弦心距，构造直角三角形．

D

AB

EO C

例3 如图，半径为2的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和弦CD，它们的交点E至圆心的距离等于1，则AB?CD等于多少？ 提示：连半径，作弦心距，构造直角三角形．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oh2.html