2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结

2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理： 1. 双曲线的定义

第一定义：当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹为双曲线; 当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹不存在;

当|PF1?PF2|?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质

标准方程 x2y2?2?1(a,b?0) 2aby2x2?2?1(a,b?0) 2ab图像 焦点 焦距 范围 性 质 轴 离心率 渐近线 2．共渐近线的双曲线系方程： x2y2x2y2

与双曲线a2－b2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为a2－b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y轴上． 等轴双曲线x2?y2??a2的渐近线方程为y??x ，离心率为e?2.； 3．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB

y??bx a(c,0),(?c,0) (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,y?R |y|?a,x?R 对称性 顶点 关于x轴、y轴和原点对称 (a,0),(?a,0) (0,?a),(0,a) 实轴长2a，虚轴长2b e?c?(1,??) ay??ax bb

＝a， △OF2D中，|F2D|＝b.

4. 注意定义中“陷阱”

问题1：已知F1(?5,0),F2(5,0)，一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6，则双曲线的方程为

点拨：一要注意是否满足2a?|F1F2|，二要注意是一支还是两支

x2y2?1(x?0) ?|PF1|?|PF2|?6?10P的轨迹是双曲线的右支.其方程为? ，9165. 注意焦点的位置

3问题2：双曲线的渐近线为y??x，则离心率为

2b3a31313点拨：当焦点在x轴上时，?，；当焦点在y轴上时，?， e?e?a2b223

热点考点题型探析

考点1 双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

[例1] 已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )

x2y2x2y2

A．x＝0 B. 2－14＝1(x≥2) C. 2－14＝1

x2y2

D. 2－14＝1或x＝0

解析：如右图，动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都相外切，②动圆M与两圆都相内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切. ④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则

|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2

故得|MC1|－|MC2|＝22；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22 由③④得|MC1|－|MC2|＝±22

根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线，x2y2

且a＝2，c＝4，b＝c－a＝14，其方程为2－14＝1. 由①②③④可知选D.

2

2

练习

y2?1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：1.设P为双曲线x?122|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为

A．63

B．12

（ ）

C．123

D．24

解析：a?1,b?12,c?13,由|PF 1|:|PF2|?3:2 ①

又|PF1|?|PF2|?2a?2,② 由①、②解得|PF1|?6,|PF2|?4.

?|PF1|2?|PF2|2?52,|F1F2|2?52,

?PF1F2为直角三角形，

?S?PF1F2?11|PF1|?|PF2|??6?4?12.故选B。 22x2y2??1的左焦点，双曲线C上的点2. 如图2所示，F为双曲线C:916Pi与P7?i?i?1,2,3?关于y轴对称，则

P1F?P2F?P3F?P4F?P5F?P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] P1F?P6F?P2F?P5F?P3F?P4F?6，选C

x2y23. P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，

ab且焦距为2c，则?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）?a （B）?b （C）?c （D）a?b?c

［解析］设?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为x0，

由圆的切线性质知，PF2?PF1?|c?x0|?|x0?(?c)|?2a?x0??a 题型2 求双曲线的标准方程

y2x2[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2），求

164双曲线C的方程．

y2x2 [解析] 解法一：设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=25.

ab(32)24又双曲线过点（32，2），∴2－2=1.

aby2x2又∵a+b=（25），∴a=12，b=8. ∴所求双曲线的方程为－=1.

128y2x2解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（32，2）代入得k=4，

16?k4?ky2x2所以双曲线方程为－＝1.

1282

2

2

2

2

练习

4. 已知双曲线的渐近线方程是y??x，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线

2的方程为 ；

[解析]设双曲线方程为x2?4y2??， 当??0时，化为

x2?y2?y2?4?1，?25??10???20， 4y25???1，?2?当??0时，化为?10????20， ???4?4x2y2y2x2?1或??1 综上，双曲线方程为?5202055. 以抛物线y2?83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x?3y?0的双曲线方程为______________.

[解析] 抛物线y2?83x的焦点F为(23,0)，设双曲线方程为x2?3y2??，

4?x2y22??(23)???9，双曲线方程为??1 3936. 已知点M(?3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与

圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

y2y22?1(x??1) B．x??1(x?1) A．x?882y2y22?1（x > 0） D．x??1(x?1) C．x?8102[解析]PM?PN?BM?BN?2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

x2y2[例3] 已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P

ab在双曲线的右支上，且|PF1|?4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．

【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决

[解析](方法1)由定义知|PF1|?|PF2|?2a，又已知|PF1|?4|PF2|，解得

82a，PF2?a，在?PF1F2中，由余弦定理，得3364242a?a?4c21799cos?F1PF2?9??e2，要求e的最大值，即求cos?F1PF2的最

82882?a?a3355小值，当cos?F1PF2??1时，解得e?．即e的最大值为．

33|PF2a?|PF2|2a2a1|(方法2) ? ， ??1??1?|PF2||PF2||PF2|c?aPF1?双曲线上存在一点P使|PF1|?4|PF2|，等价于1?2a5?4,?e? c?a3 (方法3)设P(x,y)，由焦半径公式得PF1?ex?a,PF2?ex?a，∵PF1?4PF2，∴(ex?a)?4(ex?a)，∴e?5值为．

35a5，∵x?a，∴e?，∴e的最大3x3总结

（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；

|PF1|（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；

|PF2|

（3）运用不等式知识转化为a,b,c的齐次式是关键 练习

4x2y2?1的一条渐近线方程为y?x，7. 已知双曲线?则该双曲线的离心率e为

3mn ．

m9m?n25m16?[解析]当m?0,n?0时，?，e2?，当m?0,n?0时，?，m9n9n1655m?n25e2??，?e?或

n1634x2y28. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲

ab线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）

A．5?1 B．2 C．5?1或2

22 D．不存在

aba2[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则AD?，ED?a?，

ccaba2?a??3?，?e?2

cc题型2 与渐近线有关的问题

x2y2[例4]若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双

ab曲线的离心率为 （ ）

A.2

B.3

C.5 D.2

【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a,b,c的关系

c2b2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b?2a，e?2?1?2?5,所以

aa2e?5

【新题导练】

x2y2

9. 设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为

( C )

2

B．y＝±2x C．y＝±2x

D．y＝

A．y＝±2x

1±2x

x2y2

10.已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）

A.ab

B.a2＋b2 C．a

D．b

解析：右焦点为F(c,0)，渐近线为bx±ay＝0，所求圆半径r等于F(c,0)到直线bx±ay＝0的距离．

考点3 双曲线的综合应用

[例6] 已知等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上一定点P(x0，y0)及曲线C上→－OP→)·→－OP→)＝0.(其中O为原点) 两动点A、B满足(OA(OB

→＋OP→)·→＋OP→)＝0.

(1)求证：(OA(OB(2)求|AB|的最小值．

解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AP、BP中点分别为M、N，

222222222则x1－y21＝a，x0－y0＝a，∴x1－x0＝y1－y0

∴

y1－y0x1＋x0y2－y0x2＋x0

＝ 同理＝ x1－x0y1＋y0x2－x0y2＋y0

→－OP→)·→－OP→)＝0， ∵(OA(OB→·→＝0，即AP→⊥BP→ ∴APBP∴

y1－y0y2－y0x1＋x0x2＋x0

·＝－1，∴·＝－1 x1－x0x2－x0y1＋y0y2＋y0

→＋OP→)·→＋OP→)＝0 ∴OM⊥ON 即(OA(OB

(2)又∵∠MON＋∠MPN＝π易知O、M、N、P四点共圆，且MN为圆的直径，OP为圆的任一弦，

2故|MN|≥|OP| ∴|AB|≥2|OP|＝2x0＋y20 2因此|AB|最小值为2x20＋y0.

x2y210. (2010·广州一中)过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直

→1→

线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若AB＝2BC，则双曲线的离心率是 ( ) A.2

B.3 C.5

D.10

解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的

2

ab??a2ab?b?a→＝，，－?a＋ba＋b?、?a－b?渐近线y＝±x的交点B、C的坐标为BC，由ABa－b?a???

a2＋b21→

2BC得b＝2a，所以双曲线的离心率e＝a＝5.

故选C 课后练习

x2y2x2y2??1的右焦点为圆心，且与双曲线??1的渐近线相切的1. 以椭圆

169144916圆的方程是 （A）x2?y2?10x?9?0 （B）x2?y2?10x?9?0 （C）x2?y2?10x?9?0 （D）x2?y2?10x?9?0 [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A

2. 已知双曲线的两个焦点为F1(?10,0)、F2(10,0)，M是此双曲线上的一点，

????????????????????且满足MF1?MF2?0，|MF1|?|MF2|?2，则该双曲线的方程是 （ ） x2y2x2y2x2y222A．?y?1 B．x??1 C．??1 D．??1

993773?????????? [解析]由 |MF1|?|MF2|?2和PF12?PF22?40得|PF1?PF2|?6，选A

3. 两个正数a、b的等差中项是

x2a29，一个等比中项是25，且a?b,则双曲线2?y2b2?1的离心率为( )

554141A． B． C． D．

3445[解析] a?5,b?4?c?41，选D

4. 设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线

2e12?e2的一个公共点，且满足PF的值为( ) 1?PF2?0，则2(e1e2)A．

1 B．1 2C．2 D．不确定

[解析] C. 设|PF|PF1|?|PF2|?2a，|PF1|?|PF2|?2m，?1|?a?m，

|PF2|?a?m，

(a?m)2?(a?m)2?4c2?a2?m2?2c2?11?2?2 e12e2x2y25.已知F1，F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1且垂直

ab于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

(A).(1?2,??) (B).(1,1?2) (C).(1,3) (D).(3,22)

b2[解析] a?1?c2?a2?2ac?e2?2e?1?0?e?1?2，选B

2cx2y2x2y2??1(m?6)与曲线??1(5?n?9)的 6. 曲线

10?m6?m5?n9?n（ ）

A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都

不对

x2y2??1(m?6)的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程[解析] 方程

10?m6?mx2y2??1(5?n?9)的曲线为焦点在5?n9?n?(10?m)?(6?m)?(9?n)?(n?5)，故选A

y轴的双曲线，

x2y2x2y2??1有公共的焦点， 7. 已知椭圆2?2?1和双曲线

2m23n23m5n（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面

3积为，求双曲线的方程

4 [解析]（1）依题意，有3m2?5n2?2m2?3n2，即m2?8n2，即双曲线方程为

x2y2x2y23??1??0，故双曲线的渐近线方程是，即． y??x，16n23n216n23n24（2）设渐近线y??33c，x与直线l:x?c交于A、B，则|AB|?2416313c3b3，?a2?,b2? S?OAB?c??，解得c?1即a2?b2?1，又?4191922a419x219y2??1 双曲线的方程为1638. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为?2,0?，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程

?3,0.

?????????（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA?OB?2（其中O为原点），求k的取值范围

x2y2解（1）设双曲线方程为2?2?1

ab由已知得a?3,c?2，再由a2?b2?22，得b2?1

x2故双曲线C的方程为?y2?1.

3x2（2）将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0

3?1?3k2?0? 由直线l与双曲线交与不同的两点得???62k????2?36(1?3)?36(1?k)?022

即k2?1且k2?1. ① 设A?xA,yA?,B(xA,yB),，则 3????????62?9xA?yB?,xAyB?，由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2， 221?3k1?3k而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxb?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2

?962k3k2?7. ?(k?1)?22k?2?2221?3k1?3k3k?1213k2?7?3k2?92?k?3. ②?2，即?0于是2解此不等式得 233k?13k?11由①+②得?k2?1

3故的取值范围为(?1,?

3?3?)??,1? ??3?3?

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