高三数学回归教材训练答案

第1练 三角恒等变换与解三角形

π1.

32.

56 653.

7 244. -1

3π5. - 46. 1+3 7.

5π 128. 43 34,AP=5,AQ=2, 59. (1) 因为∠A是钝角,cos A=-

在△APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP2AQcos A, 所以PQ2=52+22-235323-所以PQ=35. 125(2) 由cos α=,得sin α=.

131334又sin(α+β)=sin A=,cos(α+β)=-cos A=,

554=45, 5所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+

β)=

41235652+2=. 135135652

10. (1) 由2sin

2

B?C2-

12cos 2A=

74及A+B+C=180°,得

72[1-cos(B+C)]-2cosA+1=,

24(1+cos A)-4cos2A=5,

所以4cos2A-4cos A+1=0.所以cos A=因为0°

b2?c2-a2(2) 由余弦定理,得cos A=.

2bc1b2?c2-a21因为cos A=,所以=,

222bc1. 2所以(b+c)2-a2=3bc.

将a=3,b+c=3代入上式得bc=2.

?b?c?3,?b?2,由?及b>c,得? ?bc?2,?c?1.11. 由题意,设AC=x,则BC=x-23340=x-40, 17在△ABC中,由余弦定理可得BC2=BA2+CA2-2BA2CA2cos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420.

在△ACH中,AC=420,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,

CHAC由正弦定理得=,

sin?CAHsin?AHC

可得CH=AC2

sin?CAH=1406. sin?AHC答:该仪器的垂直弹射高度CH为1406 m.

第2练 三角函数与平面向量

1. 1 2. 2

?5ππ?3. ?-,?

?1212?4. 10

35.

26. 32 7. 1 8. {1}

9. (1) 由a⊥b,可知a2b=(2cos α,2)2(2,2sin α)=4cos α+4sin α=0,所以tan α=-1,

?π??|??-?kπ,k?Z}. 所以α=-+kπ,k∈Z.故α的取值集合为?44?(2) 由a=(2cos α,2),b=(2,2sin α),得a+b=(2cos α+2,2sin α+2), 所以|a+b|=(2cos??2)2?(2sin??2)2=

π??12?82sin?α??. 4??当sinα+

ππ=1,即α=+2kπ(k∈Z)时,|a+b|取得最大值为22+2, 44???|???2kπ,k?Z}. 相应的α的取值集合为?4?10. (1) 由T=

2π?=π,解得ω=2.

由最低点为M

2π,-3,得A=3. 3且23

2π3πππ+φ=+2kπ(k∈Z),0<φ<,所以φ=. 3226所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin2x+

π. 6??π?π?ππ2x??? (2) y=f(x)+fx+=3sin2x++3sin???464?6???=3sin2x+

ππ+3cos2x+ 66=32sin2x+

5π, 12所以ymax=32. 5πππ此时,2x+=2kπ+,x=kπ+,k∈Z.

1222411. (1) 因为a∥b,所以

33cos x+sin x=0,所以tan x=-. 44cos2x-2sinxcosx1-2tanx8cos x-sin 2x===.

1?tan2x5sinx2?cos2x2

(2) f(x)=2(a+b)2b=2sin2x+

π3+, 42abπ3π2由正弦定理=可得sin A=,所以A=或A=,

sinAsinB442因为b>a,所以A=

π. 4ππ1=2sin2x+-, 642f(x)+4cos 2A+

π?π11π?π1?π?3,0,因为x∈?,所以-1≤f(x)+4cos2A+≤2-. ?,所以2x+4∈?62?412???3?2

第3练 立体几何

1. 平行或在平面内 2. 必要不充分 3. ②③④ 4. ②④ 5. AB 6. 5

7. MD⊥PC或MB⊥PC 8. 83 9. (1) 设AC∩BD=O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以PD∥EO. 而PD?平面AEC,EO?平面AEC,

所以PD∥平面AEC.

(2) 连接PO,因为PA=PC,所以AC⊥PO, 又四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 而PO?平面PBD,BD?平面PBD,PO∩BD=O, 所以AC⊥平面PBD.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD. 10. (1) 过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF, 所以∠DAC=90°,即AC⊥DA. 又PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, 所以AC⊥PA.

因为PA,AD?平面PAD,且PA∩AD=A, 所以AC⊥平面PAD.

而AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PAD.

(2) 连接BD交AC于点O,连接EO,因为PD∥平面AEC,PD?面PBD, 而平面PBD∩平面AEC=EO,所以PD∥EO, 则PE∶EB=DO∶OB,而DO∶OB=DC∶AB=2, 所以PE∶EB=2.

11. (1) 因为BD⊥平面PAC,PC?平面PAC,所以PC⊥BD. △PAC中,AC=10,PA=6,cos∠PCA=

4, 5

(第11题)

所以PA2=PC2+AC2-2PC3ACcos∠PCA, 36=PC2+100-16PC, 所以PC=8. 因为AC2=PC2+PA2, 所以PC⊥PA. 连接MO,如图,

因为M是PC的中点,O是AC的中点, 所以PA∥MO,所以PC⊥MO.

又因为BD∩MO=O,BD?平面BMD,MO?平面BMD, 所以PC⊥平面BMD.

11(2) 由题意知VMBCD=VCMBD=S△MBD3CM=BD3MO3CM=14,

36因为CM=

11PC=4,MO=PA=3, 22所以BD=7.

所以菱形ABCD的边长AB=AO2?OB2=

149. 2

第4练 基本不等式与线性规划

1. 22 52.

33. 8 4. 9

5. [3,+∞) 6. 4 7. (-∞,7] 8. [-8,6] 9. (1) 0

a?b22

=1,当且仅当a=b=1时,取“=”,所以ab的取值范围为(0,1].

111≥24ab?=4,当且仅当ab=时,取“=”. ab2ab(2) 因为0

1的最小值为4. ab所以4ab+

(3) 设ab=t(0

4,由0

44-t2+

t2t1=(t1-t2)1-

4t1t2.

4因为00,所以f(t1)-f(t2)>0,即f(t1)>f(t2).

所以f(t)在(0,1]上为减函数.所以f(t)min=f(1)=5. 10. 作出不等式组表示的平面区域,如图所示.

(第10题)

?2x?5y?20,4550解方程组?得C,.设x+2y=t,作出一组平行直线x+2y=t,当经过

175x?4y?25,17?C

4550,时,t有最大值,但此时点C不是整点.通过调整得直线过(2,3)时,t有最1717大值,最大值为2+233=8.

11. (1) 由题意可知当m=0时,x=1(万件), 所以1=3-k,即k=2. 所以x=3-所

以

28?16x.每件产品的销售价格为1.53(元). m?1x2014年的利

8?16x?2??16??(m?1)润:y=x?1.5?-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83--m=-?m?1?+29(mx?m?1????≥0).

(2) 因为m≥0,所以

16+(m+1)≥216=8, m?116=m+1,即m=3(万元)时,ymax=21(万元). m?1所以y≤-8+29=21,当且仅当

答:该厂家2014年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.

第5练 直线与圆

?3π?1. ?,π?

?4?2. -2 3. 2 4. (x-2)2+y+

322

=

25 45. (x-2)2+(y+2)2=1 6.

7. 2x+y-2=0 8. 0,

9 2?x?2?0,?x?-2,9. (1) 直线l的方程是k(x+2)+(1-y)=0,令?解得?

1-y?0,y?1,??所以无论k取何值,直线l总经过定点(-2,1). (2) 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-1?2k,在y轴上的截距为1+2k,要使k?1?2k?0,?-直线不经过第四象限,则必须有?k解得k>0;

??1?2k?0,当k=0时,直线为y=1,符合题意,故实数k的取值范围是[0,+∞). (3)由l的方程,得A-1?2k,0,B(0,1+2k). k

?1?2k?0,?-依题意得?k解得k>0.

??1?2k?0,111?2k1(1?2k)2111因为S=2OA2OB=22|1+2k|=2=4k++4≥(232+4)=4,

k2222k2k11当且仅当4k=,即k=时.

k2“=”成立的条件是k>0且4k=

11,即k=, k2所以Smin=4,此时l:x-2y+4=0. 10. (1) 配方得:

(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25,l:x-3y-3=0, 则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. (2)设与l平行的直线是x-3y+b=0, 当-510-3

b<-510-3或b>510-3时,直线与圆相离.

(3) 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1:x-3y+b=0, 由于圆心到直线l1的距离d=|3?b|(与m无关), 10弦长=2r2-d2且r和d均为常量.

所以任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长都相等.

11. (1) 因为直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3),

即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d=l1的方程为y=±2(x-3). 4|3k|k2?1=1,解得k=±

2,所以直线4(2) 对于圆C的方程x2+y2=1,令y=0,则x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,所以直线l2的方程为x=3.设M(s,t),则直线PM的方程为y=

?x?3,4t?解方程组?得P'3,. ty?(x?1)s?1?s?1?2t同理可得Q'3,.

s-1t(x+1). s?1所以以P'Q'为直径的圆C'的方程为(x-3)(x-3)+y-又s2+t2=1,

6s-2所以整理得(x+y-6x+1)+y=0,

t2

2

4ts?1y-

2t=0, s-1若圆C'经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±22, 所以圆C'总经过定点,定点坐标为(3±22,0).

第6练 圆锥曲线

1. (-1,5)

x2y22. +=1

1683. 5

4. y2=3x 5. 1 6.

7 1357.

48. 5 3b29. (1) 因为F1(-c,0),则xM=-c,yM=,

abb2所以kOM=-,由题意有kAB=-,

aac又因为OM与AB是共线向量,

bb22所以-=-,所以b=c,所以e=.

aac2(2) 设F1Q=r1,F2Q=r2,∠F1QF2=θ, 所以r1+r2=2a,F1F2=2c.

a2ar?r-4c(r1?r2)-2rr12-4ccos θ===-1≥?r1?r2rr2rr2rr?121212?221222222?2-1=0, ? ?当且仅当r1=r2时,cos θ=0,

?π??π?0,所以θ∈?,即∠F1QF2的取值范围是?0,?. ??2??2?pp10. (1) 抛物线y=2px(p>0)的准线为x=-,于是4+=5,所以p=2.

222

所以抛物线的标准方程为y2=4x.

(2) 因为由(1)得点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2), 又因为F(1,0),所以kFA=

4. 3因为MN⊥FA,所以kMN=-

3. 44(x-1), 33x, 4则FA所在直线的方程为y=

MN所在直线的方程为y-2=-4?y?(x-1),??3解方程组?

3?y-2?-x,?4?8?x?,?84?5得?所以N,.

455?y?.?5?11. (1) 由kl=-3,得直线l的倾斜角为150°, 3a, 22则点A到直线l的距离d1=asin(180°-150°)=

?a?故直线l被圆A截得的弦长为L1=2(a-c)-d=2(a-c)2-??, ?2?221直线l被圆B截得的弦长为 L2=2acos(180°-150°)=3a.

?a?L12(a-c)2-??1515据题意有=,即=, 2??L2663a化简得16e2-32e+7=0, 解得e=

71或e=.又椭圆的离心率e∈(0,1), 4421故椭圆C的离心率为e=.

4(2) 假设存在,设点P坐标为(m,n),过点P的直线为L; 当直线L的斜率不存在时,直线L不能被两圆同时所截; 故可设直线L的方程为y-n=k(x-m), 则点A(-7,0)到直线L的距离 D1=|-7k-km?n|1?k2, 由(1)e=

c13a21=,得rA=a-c==,

4a442-D12. 故直线L被圆A截得的弦长为L1'=2rA又点B(7,0)到直线L的距离D2=|7k-km?n|1?k2,

2rB=7,故直线L被圆B截得的弦长为L2'=2rB2-D2. L132222据题意有=,即有16(rA-D1)=9(rB-D2),

L24整理得4D1=3D2,

4|7k?km-n|3|7k-km?n|即=, 1?k21?k2两边平方整理成关于k的一元二次方程得 (7m2+350m+343)k2-(350n+14mn)k+7n2=0. 关于k的方程有无穷多解,

?7m2?350m?343?0,?n?0,?n?0,?故有?350n?14mn?0,解得?或?

m?-1m?-49.???7n2?0,?故所求点P坐标为(-1,0)或(-49,0).

第7练 解析几何的定点定值范围问题

1. -2,-b22. -2

a4 33. -

7 4174.

45. 2 6. 4 7. aa2?b2

8. 10-210 10+210

9. (1) 设直线OA的方程为y=kx(k≠0), 则直线OB的方程为y=-1x, k?y?kx,2p2p由?2得A, 2,kky?2px,?同理得B(2k2p,-2kp),

2p2p22

所以A,B两点横坐标之积为232kp=4p为定值,纵坐标之积为3(-2kp)=-4p2

kk也为定值.

2p-2k3p-2kp-k(k2?1)-kk(2) 由(1)知kAB====,所以直线AB的方程为2442p2k-12kp-2pk-12kp-2k-2kp--kk2-122

y+2kp=2(x-2kp),化简得(k-1)y+kx-2kp=0,即y+x-2p=0.所以直线AB过定

k-1k点(2p,0).

x2y210. (1) 因为点A(1,1)是椭圆2+2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,所

ab以

11+=1,AF1+AF2=2a=4, a2b24c2662228所以a=2,b=,所以c=a-b=,所以离心率e==3=,

33a322

x23y2且椭圆的方程为+=1.

44(2) 设点C(xC,yC),D(xD,yD).因为AC,AD的倾斜角互补,所以kAC+kAD=0. 设直线AC的方程为y-1=k(x-1),则直线AD的方程为y-1=-k(x-1).

?y-1?k(x-1),?由?x23y2得(1+3k2)x2+3(2k-2k2)x+3(k2-2k)-1=0.

?1,??4?4因为点A的横坐标x=1是该方程的一根,

3(k2-2k)-1所以xC=. 21?3k3(k2?2k)-1同理,xD=, 21?3k所以kCD=

yC-yDk(xC-1)?1?k(xD-1)-1k(xC?xD)-2k1===(为定值).

xC-xDxC-xDxC-xD31故直线CD的斜率为定值.

311. (1) 由题设知,a2=b2+c2,e=

c,由点(1,e)在椭圆上,得a112e2c22222222222

+=1,+=1,b+c=ab,所以a=ab,b=1,所以c=a-1. 22222aabab由点e,3在椭圆上,得 222?3??3?2c2?ca2-13422???+=1,+=1,即+=1,整理得a-4a+4=0,解得a=2.所以椭圆22444????4aaa2b1x22

的方程为+y=1.

2(2) 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1∥BF2,

所以设AF1,BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

?x1222??y1?1,m?2m?222

所以?2消去x1得(m+2)y1-2my1-1=0,解得y1=. 2m?2?my?x?1,?11所

22221以

2m?2m2?22(m2?1)?mm2?1AF1=(x1?1)?(y1-0)=(my1)?y=m?12=.22m?2m?2①

2(m2?1)-mm2?1同理,BF2=. ② 2m?262mm2?12mm2?12

Ⅰ) 由①②得,AF1-BF2=.所以=,解得m=2. 222m?2m?2因为注意到m>0,所以m=2. 所以直线AF1的斜率为

12=. m2Ⅱ) 因为AF1∥BF2,所以

PBBF2=, PF1AF1PBPB?PF1BF2?AF1BF2即+1=+1,=. PF1AF1PF1AF1所以PF1=

AF1BF.

AF1?BF21

AF1由点B在椭圆上知,BF1+BF2=22,所以PF1=(22-BF2).

AF1?BF2BF2同理,PF2=(22-AF1).

AF1?BF2所以PF1+PF2=

AF1BF22AF1 F2(22-BF2)+(22-AF1)=22-.

AF1?BF2AF1?BF2AF1?BF2

m2?122(m2?1)232由①②得,AF1+BF2=,AF2BF=,所以PF+PF=2-=. 2121222m?2m?222所以PF1+PF2是定值.

第8练 基本初等函数

1. (-2,8] 2. 2

43.

34. [0,2] 5. 3 6. (-3,1) 7. (-∞,loga3) 8. ②③④

?1-x?0,9. (1) 由?得-3

x?3?0,?所以函数的定义域为{x|-30,则0

当a>1时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}.

当0

1. 210. (1) 设对任意x1,x2∈R,都有x1

2(4x1-4x2)4x14x2f(x1)-f(x2)=-=, xx2?4x12?4x2(2?41)(2?42)因为x10,2+4x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0, f(x1)

44t4t2?4t41-t(2) 对任意t,f(t)+f(1-t)=+=+t==1, ttt1-t2 ?2?42?42?42?4所以对于任意t,f(t)+f(1-t)=1.

12011(3) 由(2)可知f+f=1,

20122012f

22010+f=1,…, 20122012所以f

122011100612011+f+…+f=1 005+f=1 005+=.

22012201220122012211. (1) g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,

?a?1,?g(2)?1,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故?解得?

b?0.g(3)?4,??(2) 由已知可得f(x)=g(|x|)=x2-2|x|+1为偶函数, 所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2,解得k>4或0

1,故实数k的取值范围4

是0,

14∪(4,+∞). (3) 函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数. 因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数, 且对任意划分T:1=x0

?ni?1|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)++f(xn)-f(xn-1)=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(1)=4,

所以存在常数M≥4,使得?ni?1|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立,

所以M的最小值为4.

第9练 用导数研究函数的性质

1. 1e

2. (-∞,0) 3. 9 4. -1 5. [0,1]

6. ?ππ???3,2??

7. 2

…

?e2?8. ?,???

?3?9. (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当a=-2e时,f'(x)=2x-2e2(x-e)(x?e)=, xx当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) (0,e) - 单调递减

所以f(x)的单调递减区间是(0,e);单调递增区间是(e,+∞),极小值是f(e)=0. (2) 由g(x)=x2+aln x+

2a2,得g'(x)=2x+-2, xxx2为区间[1,4]上的单调减函数,则g'(x)≤0在[1,4]上恒成x e 0 (e,+∞) + 单调递增 极小值 又函数g(x)=x2+aln x+立, 即不等式2x+

a22-2≤0在[1,4]上恒成立,即a≤-2x2在[1,4]上恒成立. xxx设φ(x)=

2-2x2,显然φ(x)在[1,4]上为减函数, x所以φ(x)的最小值为φ(4)=-

63?63?.所以实数a的取值范围是?-?,-?.

2?2?

10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax,f'(x)=3ax2-8ax+4a.令f'(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0. 因为a≠0,所以3x2-8x+4=0,所以x=

2或x=2. 3因为a>0,所以当x∈-∞,间为-∞,

2或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的单调增区32或(2,+∞); 3当x∈

22,2时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调减区间为,2. 33(2) 因为当x∈-∞,

2时,f'(x)>0; 3当x∈

2,2时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0, 322时取得极大值,即a233所以函数f(x)在x=-22=32,解得a=27.

11. (1) 当a=1时,f(x)=

1+ln x-1,x∈(0,+∞), x所以f'(x)=-

11x-11+=,x∈(0,+∞).因此f'(2)=. x2xx241即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为.

4又f(2)=ln 2-

1, 2所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

11y-ln 2-=(x-2), 24即x-4y+4ln 2-4=0.

(2) 因为f(x)=

a1x-aa+ln x-1,所以f'(x)=-2+=2.

xxxx令f'(x)=0,得x=a.

①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若0

当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a.

③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(e,+∞)上单调递增, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值

a. e综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0

a. e第10练 数 列

1. 2 2. 6 3. 2 4. 15 5.

S8 a8

6.

3 10m5 n?1 1627.

8. ①②④

9. (1) 由已知条件得a2=5,又a2|q-1|=10, 所以q=-1或3,

所以数列{an}的通项公式为an=(-1)n-235或an=533n-2.

1111(2) 若q=-1,++…+=-或0,不存在这样的正整数m;

a1a2am5m1119??1??9若q=3,++…+=?1-???<,不存在这样的正整数m.

a1a2am10???3???1010. (1) 设数列{an}的公比为q.由a3=9a2a6,得

122a3=9a4,所以q2=.

921由条件可知q>0,故q=.

31由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,解得a1=.

3故数列{an}的通项公式为an=

1. 3nn(n?1). 2(2) bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-

1211故=-=-2-,

bnn(n?1)nn?1

111??1??11?2n?11??++…+=-2??1-???-???????-=-??n?1. b1b2bnnn?1223?????????1?2n所以数列??的前n项和为-. n?1?bn?11. (1) an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当n≥15时,an+1=|bn|恒成立, 当n<15时,n-15=-(n-15),n=15. 正整数n的集合为{n|n≥15,n∈N*}.

bn(-1)n|n-15|(2) =.

ann-16bnn-151(i) 当n>16时,n取偶数,==1+,

ann-16n-16bn当n=18时,

anmax=

3,无最小值; 2bn1n取奇数时,=-1-,

ann-16bnn=17时,

anmin

=-2,无最大值.

bn(-1)n?1(n-15)(ii) 当n<16时,=,

ann-16bn-(n-15)1当n为为偶数时,==-1-,

ann-16n-16bnn=14时,

anbn1,max=-an2min=-

13. 14bnn-15bn1当n奇数时,==1+,n=1,

ann-16ann-16bn114=,n=15,max=1-an1515min

=0.

综上,

bn3的最大值为(n=18),最小值为-2(n=17). an2(3) n≤15时,bn=(-1)n+1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0,

n>15时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2(2k-16) >0,其中a15b15+a16b16=0. 所以S16=S14,有序整数对(m,n)为(7,8).

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