高等数学学期期末考试题（含答案 全）

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A卷)

专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”

一,填空题 (每题4分,共32分)

1.

若平面x?2y?kx?1与平面y?z?3成t?4角,则k?______ 1/4

u2t2. 曲线x??0ecosudu,y?sint?cost,z?1?e

x?0y?1z?2??112在t = 0处的切线方程为________________

?zyz?z?z?xe?xyz3. 方程确定隐函数z = f(x,y)则为____________

e?xyz12?y2y0?x4.

交换?dy?f?x,y?dx的积分次序为_________________________

5．已知L是圆周x2?y2?1,则?L?x?y2?ds? _________??

级数6. ? sin 2 的敛散性为 ____________ 收敛

n?1?1n?n?1n7. 设幂级数?anxn?0?的收敛半径是2,则幂级数

?axnn?0?2n?12的收敛半径是_________ 8. 微分方程?1?x2?y???1的通解是1y?arctanx?ln?x2?1??c1x?c2_______________________

2二．计算题 (每题7分,共63分)

1,221．讨论函数 f ( x, y ) = 22 x?y?0, f ( 0 , 0 ) = 0

x?y 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P。330

x2?y2sin222u?x?y?2z2．求函数在点P0(1,1,1)处沿P0O方向的方向导数，其中O为坐

标原点。

n?3．判别级数?2n???的敛散性. P．544

1?nn?1?n2??????f1?ydx???f1x?f2??dy?f2dz??4．设u=f(xy,y?z)，f(s,t)可微，求du.

5．

欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m2,側面造价为1元/m2,现想用36元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M，高为3M。

6. 计算I??c

dx??4x2?2ylnx?R2?x2?dy

????R2?x2y2??x2y2曲线c是从点A?a,0?沿椭圆2?2?1的第一象限部分到点B?0,b?的弧段.

ab解：

将积分路径家直线段Bo与oA,构成正向的闭曲线,由格林公式得, I???8xdxdy????DBobb22b?ya0oA0

??dy?08b58xdx??2ylnRdy?2?b2lnRb3aln?x2?y2?dxdy

127．计算极限lim????02??2?x2?y2?1解:原式=lim?d??ln?r2?rdr?lim?2lnudu??lim?ulnu?u?|1?2???

??0?10???0???08．试求幂函数

?(?1)n?12nx2n?1(2n?1)的收敛域及和函数。

2x???y?2y?y?8(1?e)的通解。 9．求微分方程

2特征方程r?2r?1?0的根为：

r1?r2?1

对应的齐次方程的通解为

xy?(C?Cx)eC12

*2x代入方程确定A?8,B?8y*?8?8e2x 设特解为y?A?Be故所求通解为

y?(C1?C2x)ex?8?8e2x

三．（本题5分） 已知曲线积分?(?)?1，求?(x)。

y??sinx??(x)dx??(x)dy?Lx与路径无关，其中?(x)可导，且

解：由积分与路径无关，故

?Q?P??x?y??(x)?sinx??(x)1sinx即??－??xxx?dxdx?1sinx?x??x??一阶线性微分方程通解为：??e??xedx?c??x??cosx?c???

代初始条件：?(?)?1 得

c???1　特解为：?(x)?1(?cosx???1)x

AB的闭区域D上，2． 设平面上有三个点O(0,0),A(1,0),B(0,1)，在?O求出点M，

使它到点O、A、B的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：

d?x2?y2?(x?1)2?y2?x2?(y?1)2(0?x?1,0?y?1?x) 在区域内部求驻点： ?d1?d1?11??6x?2?0解出x??6y?2?0解出y?驻点：?,??x3?y3?33? 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，

22d?2y?(y?1)?1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y≤1上

较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。

22d?2x?(x?1)?1驻点(1/3，0),与端点函数值比在边界y=0, 0≤x≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。

222d?3x?2(1?x)?(x?1)在边界y=1-x ,0≤x≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试题 （2006年6月）

姓名： 专业： 学号： 成绩：

警 示 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予 学士学位。”

一.（每小题7分，共28分）

?z?2zy2, 1. 设函数z(x,y)? 。 ?f(xy) ，其中 f 二阶可微，求 ?x?x?y2x

2. 设函数F?xyzi?3x2yj?(y2?xz2)k ，求 divF,grad(divF) 。

3. 设函数g(y)?

4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分I???f(x,y)dxdy 化

Dy2?ysin(xy)dx,(y?0)，求g?(y) 。 x为累次积分，其中D是由直线x?1,x?2,y?x,y?2x 所围成区域。

二.（10分）计算曲线积分I??L(excosy?my)dx?(exsiny?m)dy(m?0为常

数），其中有向曲线L是圆周

x2?y2?2ax(a?0) 从点A(2a,0)经

M(a,a)至O(0,0)的部分。

三（.10分）利用高斯公式计算曲面积分I?其中S 是由球面 y?侧。

??(xyS2?x2)dydz?yz2dzdx?zx2dxdy，

2z?z2?x2, 平面y?0 所围区域表面的外

四. （每小题7分，共14分）

1. 求微分方程： xdydx?y?xydydx 的通积分。

2. 求微分方程：y???5y??6y?4?3e2x 的通解。

五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1.

?1sinx0 ， 2.

x5dx???dx1x?31?x2

。

六. （9分） 求幂级数

n?2??(?1)n?12n x 的收敛半径、收敛域以及和函数。

2n(n?1)

七. （7分）求函数f(x)?lnx 在x?2 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

八. （7分）证明级数

n?1??sinnx()np,(0?p?1)在闭区间[?,???]上一致收敛，

?2但对任意固定的x?[?,???]，该级数并不绝对收敛，其中 0??? 。

九. （5分）设级数

?n?1?an?收敛于S ，且

n??limnan?0 ，证明级数

n?1?n(an?an?1) 也收敛于

S 。

高等数学（一）重修重考试题（B卷）

（2005学年度第二学期）东校区

姓名： 专业： 学号： 成绩：

警 示 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”

一，（每小题7分，共28分）

?z?2zx21，设函数 z(x,y)? 。 ?f(xy)，其中函数f二阶可微，求,?x?x?y2y

2， 若隐函数y?y(x)由方程 xy?ex?y 确定，求y?。

1

y33，设函数 g(y)?cos(xy)?dx,y?0，求 g?(y)。

4， 计算积分：

2

yx22I??dy?sinx1yx?1dx。 二，（10分）求曲线积分 I??(1?yex)dx?(x?ex)dy，其中 ? 是椭圆

?x2y2??1 的上半周由点A(2,0)到点B(?2,0)。 49

三，（10分）计算曲面积分 I????xdydz?(y?y2)dzdx?zdxdy，其中 S?为曲

S面z?x2?y2，0?z?1，取下侧。

3

四，（每小题7分，共14分）

?xy??y?ex1，求解微分方程初值问题：? 。

?y(1)?1

2，求微分方程：y???4y??3y?1?e2x 的通解。

五，讨论如下广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）

??（1）

?1dx31x?x?12 ， (2) ?0sinxx43dx .

4

六, （每小题8分，共16分）

(?1)nn(1)求幂级数 ?的收敛半径，收敛区间和收敛域。 (x?3)nn?1n3??（2）求函数 f(x)?1 在点 x?1 处的幂级数展开式。 1?x

5

??七，（7分）讨论无穷积分 收敛还是条件收敛？

?0x2sinxdx 的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对35?x八，（5分）设序列 ?nan.? 收敛，级数 ?n(an?an?1) 也收敛，求证：级数 ?an

n?1n?1????收敛。

6

05级高数(一)下学期期中考试试题

1?2u?2u?2u2221. 设u?x,y,z??, r?x?y?z?0, 求2?2?2.

r?x?y?z2. 若隐函数y?y?x?有方程xy?ex?y确定, 求y?.

3. 求曲面ez?2z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 4. 计算 I??21dy?2ysinxdx. x?1x2y25. 计算 I???|y|dxdy， 其中 D:2?2?1

abD6. 计算 I?7. 计算 I???ye?Lx?y3?dx??ex?x3?dy, 其L是单位圆周x2?y2?1的正向.

??S2?

xdydz?y?ydzdx?zdxdyS，其中为曲面 ??? z?x2?y2, 0?z?1的下側. 8. 若 G?t??x2?y2?t2???x2?y2?dxdy,求G??t?.

9. 设f?x,y?在有界闭区域D上连续,?xi,yi??D, ?i?1,2?, 试证

在D中至少存在一点??,??, 使f??,???3f?x1,y1??4f?x2,y2?.

7

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