第七章 非线性系统的分析

自动控制理论第七章 非线性系统的分析方安徽工业大学

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本章的主要内容1 非线性系统的基本概念

2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 3 4 5 描述函数法 典型非线性特性的描述函数

非线性系统的谐波平衡法分析

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7-1

非线性系统的基本概念

一、非线性系统基本概念系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线 性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情 况 (1)系统中存在非线性元件；(2)为了某种控 制目的，人为引进的非线性。

非线性系统与线性系统的区别1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于 系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。

非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于 系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。

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2、线性系统只有两种基本运动形式：发散(不稳定)和收 敛(稳定)。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。

4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。

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线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性 微分方程描述。非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由 非线性微分方程描述。 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。安徽工业大学电气信息学院

二、典型非线性特性1、饱和特性输出

k x( t ) y( t ) ka sgn x( t ) 输入

x( t ) a x( t ) a

特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。

放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响 (1)使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态 响应的平稳性有利。 (2)使系统的快速性和稳态跟踪精度下降安徽工业大学电气信息学院

2、死区特性输出

(不灵敏区特性)

输入

0 y( t ) k x(t ) a sgn x(t )

x( t ) a x( t ) a

特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。

测量变送

装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等等。

死区特性对系统性能的影响： (1)增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 (2)减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向安徽工业大学电气信息学院

3、间隙特性 输入输出之间具有多值关系输出

输入

k x( t ) a y( t ) k x( t ) a c sgn x ( t ) 液压传动中的油隙

y( t ) 0 y( t ) 0 y( t ) 0

齿轮传动中的齿隙

间隙特性对系统性能的影响： 间隙 输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏安徽工业大学电气信息学院

4、继电器特性 理想继电器输出输入

输出

具有饱和死区的 单值继电器输出

输入

输出

输入

输入

具有滞环的继电器

具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性安徽工业大学电气信息学院

具有死区和滞环的继电器的数学表达式

yM

a

ma

ma M

a

x

0 0 y( t ) M sgn x ( t ) M M

ma x ( t ) a , x ( t ) 0 a x ( t ) ma , x ( t ) 0 t ) a x( x ( t ) ma x ( t ) ma , x ( t ) 0 , x( t ) 0安徽工业大学电气信息学院

继电器特性对系统性能的影响带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对 其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果

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三、非线性系统的特点1、系统的稳定性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与 初始状态有关。 2、系统的自持振荡 产生某一固定振幅和频率的振荡 3、频率响应畸变 输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波 的非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振 荡等。 4、系统共振 不会产生线性系统那样的共振现象安徽工业大学电气信息学院

四、非线性系统的分析方法

1、相平面法

时域方法

2、描述函数法

频域方法

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7-2

相平面分析法

相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准 确方法。 相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所 示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。r 常数

+

N

G (S )

C

用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S) 必须是二阶。安徽工业大学电气信息学院

描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方 程描述： x1 x 2 x 2 f ( x1 , x 2 ) 以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。 当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动 轨迹称为相平面轨

迹，简称相轨迹。

相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是 平衡点。

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一、线性二阶系统奇点的类型线性二阶系统的齐次微分方程为：2 2 n x n x 0 x

相平面图是在 x x 平面中，绘制 x, x 随时间t 变化的轨迹， 。 ( x(0), x(0)) 称为相轨迹。相轨迹的起点是 dx 0 奇点是指 dx 0 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。2 2 n x n x dx dx x安徽工业大学电气信息学院

1、无阻尼运动 ( 0)二阶系统的极点分布和相平面图如下jω

x

λ1 ×0

0

x

λ2 ×无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个 椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。

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2、欠阻尼运动 (0 1)jω

x

λ1 ×0

x

λ2

×

系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于 原点。奇点称为稳定焦点。

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3、过阻尼运动 ( 1)jω

x

×

×

λ2

λ1

0

x

系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点 的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。

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