2014年普通高等学校招生统一考试数学试卷（湖南 文）

2014年湖南高考数学试题（文史类）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场

号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设命题p:?x?R,x?1?0，则?p为（ ）

22A.?x0?R,x0?1?0 B.?x0?R,x0?1?0 22C.?x0?R,x0?1?0 D.?x0?R,x0?1?0

22.已知集合A?{x|x?2},B?{x|1?x?3}，则AB?（ ）

A.{x|x?2} B.{x|x?1} C.{x|2?x?3} D.{x|1?x?3}

3.对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，学科网总体中每个个体被抽中的概率分别为学科网p1,p2,p3，

则（ ）

A.p1?p2?p3 B.ppp2?p3?1 C.p1?p3?2 D.p1?p2?p3 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(??,0)上单调递增的是（ ）

A.f(x)?1x B.f(x) ?2x? 1 C.f(x)?3x D.f(x)??22x5.在区间[?2,3]上随机选取一个数X，则X?1的概率为（ ）

4321A. B. C. D. 55556.若圆C1:x2?y2?1与圆C2:x2?y2?6x?8y?m?0，则m?（ ）

A.21 B.19 C.9 D.?11

7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的t???2,2?，则输出的S属于（ ）

A.??6,?2? B.??5,?1? C.??4,5? D.??3,6?

8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，

则能得 到的最大球的半径等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 9.若0?x1?x2?1，则（ ） A.e2?e1?lnx2?lnx1 C.x2e1?x1e2

xx

x

x

xx

B.e2?e1?lnx2?lnx1

xx

D.x2e1?x1e2

10.在平面直角坐标系中，O为原点，A??1,0?，B0，3,C?3，0?，动

??点D满足 CD?1,则OA?OB?OD的取值范围是（ ）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数

A.?4，6? B.?19-1，19+1?

??27? D.?7-1，7+1? C.?23，????3?i（i为虚数单位）的实部等于_________. 2i2t2（t为参数）的普通方程为2t2??x?2??12.在平面直角坐标系中，学科网曲线C:??y?1???___________.

?y?x?13.若变量x，y满足约束条件?x?y?4，则z?2x?y的最大值为_________.

?y?1?14.平面上以机器人在行进中始终保持与点F?1，0?的距离和到直线x??1的距离相等.若 机器人接触不到过点P??1，0?且斜率为k的直线，则k的取值范围是___________. 15.若f?x??lne?3x?1??ax是偶函数，则a?____________.

三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

16.（本小题满分12分）

n2?n，n?N?. 已知数列?an?的前n项和Sn?2 （I）求数列?an?的通项公式；

（II）设bn?2n???1?an，求数列?bn?的前2n项和.

an

17.（本小题满分12分）

某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：

?????a，b?，a，b，?a，b?，?a，b?，a，b，?a，b?，?a，b?，?a，b?， ???????a，?a，b?，a，b，a，b，?a，b?，a，b，?a，b?，b?????????????a分别表示甲组研发成功和失败；b，其中a，b分别表示乙组研发成功和失败.

（I）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；学科网 （II）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.

18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角??MN??的大小为60，菱形ABCD在面?内，A,B两点在棱

MN上，?BAD?60，E是AB的中点，DO?面?，垂足为O.

（1）证明：AB?平面ODE；

（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.

19.（本小题满分13分）

如图4，在平面四边形ABCD中，DA?AB,DE?1,EC?7,EA?2,?ADC?2?, 3?BEC??3

（1）求sin?CED的值； （2）求BE的长

20.（本小题满分13分）

如图5，O为坐标原点，双曲线

x2y2C1:2?2?1(a1?0,b1?0)a1b1和椭圆

23x2y2均过点且以C1的两个顶点和C2的两个焦点P(,1)，C2:2?2?1(a2?b2?0)3a2b2为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求C1,C2的方程； （2）是否存在直线l，使得

l与C1交于A,B两点，与C2只有一个公共点，且

？证明你的结论. |OA?OB|?|AB|

21.（本小题满分13分） 已知函数

f(x)?xcosx?sinx?1(x?0).

（1）求（2）记

f(x)的单调区间；

xi为f(x)的从小到大的第i(i?N*)个零点，证明：对一切n?N*，有

11??22x1x2

?12? 2xn3

数学（文）（湖南卷）参考答案

一、 选择题

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B （9）C D

二、 填空题

（11）-3 （12）x?y?1?0 （13）7 （14）???,?1??1,??? （15）?32三、 解答题 （16）解：

(I)当n?1时,a1?S1?1;

2当n?2时,an2?n?n?1???n?1?n?Sn?Sn?1?2?2?n, 故数列?an?的通项公式为an?n.

（II）)由(1)可得bnnn?2???1?n,记数列?bn?的前2n项和为T2n,则

T2n??21?22??22n????1?2?3?4??2n?.1?22?????22n

记A?2,B??1?2?3?4?????2n,则2(1 A??22n)1?2?22n?1?2 B?(?1?2)?(?3?4)???????(2n?1)?2n??n.故数列?bn?的前2n项和T2n?A?B?22n?1?n?2. 17解：

10） （

(I)甲组研发新产品的成绩为:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数x甲?22?21??2?2??s???1???10??0???5??,

15?3?????3??92甲102?;方差153乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数x乙?22?61??3?3??s???1???9??0???6??,

15?5????5??25?2乙93?,方差为15522因为x甲?x乙,s甲,所以甲组的研发水平优于乙组.

??b?，?a，b?，?a，b?共7个,故事件E发生的频?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，率为

7 157. 15将频率视为概率，即得所求概率为P?E??（18）解：

(I)如图,因为DO??,AB??,所以DO?AB,连接BD,由题可知?ABD是正三角形,又

E是AB的中点,所以DE?AB,而DODE?D,故AB?平面ODE.

(II)因为BC//AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即?ADO是BC与

OD所成的角,由(I)可知,AB?平面ODE,所以AB?OE,又DE?AB,于是?DEO是二

面角??MN??的平面角,从而?DEO?60,不妨设AB?2,则AD?2,易知DE?3,在

0Rt?DOE中,

DO?DEsin600?32,连接

AO,在

Rt?AOD33DO23中,cos?ADO???,所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为.

4AD24（19）解：

:如图设?CED??

(I)在?CDE中,由余弦定理可得EC?CD?DE?2CDDEcos?EDC,于是又题设可知 7?CD?1?CD,即CD?CD?6?0,解得CD?2(CD??3?0舍去),

22222在?CDE中,由正弦定理可得

DECD??sin??sin?EDCsin?CDsin2?323?2?21, EC77即sin?CED?21. 72?,于是由（I）知cos??3,

21?sin??(I)由题设可得0???2127,而?1?497以

?AED?2???3所

c?AEB??2???o????3?????s????cos??23123sin?c 223oEA21273217???????,在Rt?EAB中,cos?AEB?, BEBE272714所以BE?22??47. cos?AEB?7???14??（20）解：

?23?设C2的焦距为2c2,由题可得2c2?2,2a1?2,从而a1?1,c2?1,因为点P??3,1??在双曲

???23?2y22??1?b?3,由椭圆的定义可得 线x?2?1上,所以??12?3?bb11??22?23??23?222a2???1?1??1?1?23?a2?3, ????????3??3?????y2y2x2?1,??1. b?a?c?2,所以C1,C2的方程为x?332222222222(II)不存在符合题设条件的直线.

(i)若直线l垂直于x轴 ,因为l与C2只有一个公共点,所以直线的方程为x?2或

x??2, 当x?2时,易知AAB.

?2,3B,??2?,?3所,以OA?OB?22,AB?23,此时

OA?OB?当x??2时,同理可得OA?OB?AB.

?y?kx?m?（i）当直线l不垂直于x轴,设l的方程为y?kx?m,由 ?2y2可得

?1?x?3??3?k?x222?2kmx?m?3?,0当l与C1相交于A,B两点时,设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则

x1,x2满足上述方程的两个实根,从而

2kmm2?33k2?3m222x1?x2?,x1x2?2,于是y1y2?kx1x2?km?x1?x2??m?, 223?kk?3k?3?y?kx?m?由?y2x2可得

?1??32??2k2?3?x2?4kmx?2m2?6?0,因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别

222222式??0?16km?82k?3m?3?0,化简可得2k?m?3,因此

????m2?33k2?3m2?k2?3OAOB?x1x2?y1y2?2??2?0, 2k?3k?3k?3于是OA?OB?2OAOB?OA?OB?2OAOB,即OA?OB?OA?OB222222,所以

OA?OB?（21）解：

AB,综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线

（I）数f?x?求导可得f'?x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?x?0?,令f'?x??0可得

x?k??k?N*?,当x??2k?,?2k?1????k?N*?时,sinx?0.此时f'?x??0;

当x??2k?1??,?2k?2?????k?N*?时,sinx?0,此时f'?x??0, ???k?N*?,

故函数f?x?的单调递减区间为2k?,?2k?1??单调递增区间为

??2k?1??,?2k?2????k?N*?.

????x?,所以, ?01?22??(II)由(1)可知函数f?x?在区间?0,??上单调递减,又f?当n?N*时,因为f?n??f?1??n?1????????nn?1??0,且函数n??1????1??n?1???1???f?x?的图像是连续不断的,所以f?x?在区间?n?,?n?1???内至少存在一个零点,又f?x?在区间n?,?n?1??上是单调的,故n??xn?1??n?1??,因此, 当n?1时,

??142??; 22x1?31112; ??4?1???2x12x2?23当n?2时,当n?3时,

111+2?2?2x1x2x311?1?2?2?4?1?2?xn??2?11?1?2?2?5??xn??1?2??2??n?1???1??? n?2n?1?????1111?2+2?2?x1x2x3?111+2?2?x12x2x3?11??1??5??1???2xn?2???2?1???1??????n?2n?1???1?1?626???2?, 2???n?1??311?2?2x1x2?12?. 2xn3综上所述,对一切的n?N*,

（I）数f?x?求导可得f'?x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?x?0?,令f'?x??0可得

x?k??k?N*?,当x??2k?,?2k?1????k?N*?时,sinx?0.此时f'?x??0;

当x??2k?1??,?2k?2?????k?N*?时,sinx?0,此时f'?x??0, ???k?N*?,

故函数f?x?的单调递减区间为2k?,?2k?1??单调递增区间为

??2k?1??,?2k?2????k?N*?.

????x?,所以, ?01?22??(II)由(1)可知函数f?x?在区间?0,??上单调递减,又f?当n?N*时,因为f?n??f?1??n?1????????nn?1??0,且函数n??1????1??n?1???1???f?x?的图像是连续不断的,所以f?x?在区间?n?,?n?1???内至少存在一个零点,又f?x?在区间n?,?n?1??上是单调的,故n??xn?1??n?1??,因此, 当n?1时,

??142??; 22x1?31112; ??4?1???2x12x2?23当n?2时,当n?3时,

111+2?2?2x1x2x311?1?2?2?4?1?2?xn??2?11?1?2?2?5??xn??1?2??2??n?1???1??? n?2n?1?????1111?2+2?2?x1x2x3?111+2?2?x12x2x3?11??1??5??1???2xn?2???2?1???1??????n?2n?1???1?1?626???2?, 2???n?1??311?2?2x1x2?12?. 2xn3综上所述,对一切的n?N*,

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