2013南师大中北学院数学建模预赛题目

21013年南京师范大学数学建模竞赛试题

一、在某水域生长的一种鱼类（A种鱼），下面的表格记录了一段时间内所观测到的该鱼类在若干观测观测的数量。试建立数学模型，描述A种鱼的数量随时间变化的情况。 t x(t) t x(t) 0 25.81 10 1 35.47 11 2 51.08 12 3 60.45 13 4 65.87 14 5 92.82 15 6 16 7 17 8 18 9 19 120.64 149.20 184.54 222.62 257.68 292.53 325.26 352.38 385.63 406.92 427.30 433.87 439.42 451.38 二、该水域出现了一种以A种鱼为食的另一种鱼类（B种鱼），如果记t时刻A种鱼的数量为x(t)，B种鱼的数量为y(t)。如果这两种鱼的数量变化符合以下的微分方程组：

?dx?ax?bxy??dt ?dy???cy?dxy??dt其中a?2,b?0.01,c?1,d?0.01,另在初始时刻t?0时，有x(0)?10,y(0)?100。求在

t?10,20,?,100时，两种鱼的数量。

三、在一段时间内两种鱼的数量的观测数据如下： t x(t) 45.79 11 53.03 12 64.05 13 75.40 14 90.36 15 107.14 16 127.79 17 150.77 18 179.65 19 211.82 20 249.91 21 291.31 22 334.95 23 380.67 24 420.28 25 445.56 26 447.63 27 414.04 28 347.04 29 265.33 30 y(t) 41.40 38.90 36.78 36.04 33.78 35.40 34.68 36.61 37.71 41.98 45.72 53.10 65.44 83.00 108.74 150.01 205.61 281.60 364.56 440.30

187.57 31 128.00 32 85.25 33 57.17 34 39.96 35 29.22 36 22.30 37 16.52 38 14.41 39 11.58 40 10.41 41 10.17 42 7.86 43 9.23 44 8.22 45 8.76 46 7.90 47 8.38 48 9.53 49 9.33 50 9.72 51 10.55 52 13.05 53 13.58 54 16.31 55 17.75 56 20.11 57 23.98 58 28.51 59 31.61 60 37.13 61 45.06 62 53.40 63 62.39 64 72.89 65 86.92 66 103.32 67 121.70 68 144.86 69 489.68 512.95 510.01 491.06 462.22 430.15 396.95 364.87 333.16 304.97 277.73 253.16 229.66 209.53 190.07 173.58 156.40 143.05 130.75 117.49 108.16 98.08 88.91 82.28 75.42 69.58 62.58 59.22 54.91 49.79 45.94 43.41 41.30 40.28 37.71 36.58 36.98 36.65 37.87

171.92 70 202.51 71 237.69 72 276.77 73 319.76 74 362.05 75 400.11 76 427.79 77 434.56 78 410.31 79 354.18 80 278.49 81 203.72 82 141.06 83 95.08 84 66.76 85 45.41 86 33.13 87 25.89 88 20.51 89 17.11 90 12.69 91 11.76 92 11.22 93 10.29 94 8.82 95 9.51 96 8.69 97 9.53 98 8.68 99 10.82 100 39.63 42.97 46.95 54.93 64.61 81.28 105.50 143.03 192.45 260.84 339.39 413.79 466.94 494.72 499.37 484.58 460.63 429.79 398.77 366.49 336.56 306.39 279.53 254.95 233.50 212.74 193.61 175.01 160.59 146.12 131.85 如果两种鱼的数量变化符合问题二中的微分方程组，求其中的常数a,b,c,d以及初始时刻两种鱼的数量x(0),y(0)。

四、问题二中的微分方程组能否很好的反映问题三数据？请你修改微分方程组的形式，使得

改进后的微分方程组更好的反映问题三中的数据。

五、如果在问题三中，无法观测到B种鱼的数据（y(t)），只能观测到A种鱼的数据（x(t)），是否可以求解与问题三与问题四相应的问题。

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