信号与系统试卷及答案 1

湖 南 工 程 学 院 考 试 卷（A、B卷）

课程

信号与系统 名称

适用专电子信息工业 程

考试学期 考试

形式

得分

闭卷

考试时间120分

长度 钟

一、 简单计算题（每题8分）： 1、 已知某连续信号

F(j?)?f(t)的傅里叶变换为

12??2?j3?，按照取样间隔T?1对其进行取样得

到离散时间序列f(k)，序列f(k)的Z变换。 2、 求序列和。

3、 已知某双边序列的Z变换为

序列的时域表达式f(k)。

4、 已知某连续系统的特征多项式为：

D(s)?s7?3s6?6s5?10s4?11s3?9s2?6s?2

F(z)?110z2?9z?2，求该

f1(k)?1,2,1k?0??和

?????f2(k)??1?cos?k???(k)?2???的卷积

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

5、 已知某连续时间系统的系统函数为：

s3?6s2?4s?2H(s)?3s?2s2?s?1。试给出该系统的状态方程。

6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

e(k)r(k)?z?12?z?1

-0.3-0.2

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号

f(t)的频谱为

F(j?)?n??????ejn??。

y(t)e(t)h(t)f(t)

e(t)2图(a)

h(t)14图(b)4t01图(c)t

试：1） 分别画出f(t)的频谱图和时域波形； 2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为e(t)??(t)，在t=0和t=1

?0.5y(0)?1y(1)?e时测得系统的输出为，。分

别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2HR1=2?e(t)R2=1?+y(t)_C=1F

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1)

其初始状态为yzi(?1)??2,yzi(?2)??6，激励e(k)??(k)； 求：1） 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应

??k?h(k)?cos???(k)2??。

1） 2） 3）

1） 求其系统函数H(z)；

2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。

六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。

参考答案：

1、 已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为

取样间隔T?1对其进行取样得到离散时间序列f(k)，序列f(k)的Z变换。

解法一：f(t)的拉普拉斯变换为

F(s)?1111???2?s2?3s(s?1)(s?2)s?1s?2，

nF(j?)?12??2?j3?，按照

解法二：f(t)=L?1{F(jw)}=(e?t ? e?2t )?(t)

?1k?2kf(k)= (e?k? e?2k )?(k)=((e)?(e))?(k) F(z)=Z[f(k)]=

zz?z?e?1z?e?2nKizzz?F(s)z?F(z)??Res?????sTz?e?1z?e?2sT?z?e??s?sii?1z?eii?1

k?01、 2、 求序列1和

解：f1(k)={1,2,1}=?(k)+2?(k?1)+ ?(k?2)

f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k?1)+ f2(k?2)

f(k)?1,2,1???????f2(k)??1?cos?k???(k)?2???的卷积和。

3、已知某双边序列的Z变换为

域表达式f(k)。

F(z)?F(z)?110z2?9z?2，求该序列的时

解：

当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( ?0.4)k?1?( ?0.5)k?1)?(k?1)

当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( ?0.4)k?1?(k?1)+( ?0.5)k?1?( ?k) 当收敛域为|z|<0.4时，f(k)= ? ( ?0.4)k?1?(?k)+( ?0.5)k?1?( ?k)

点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。

4、已知某连续系统的特征多项式为：

D(s)?s7?3s6?6s5?10s4?11s3?9s2?6s?2

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

解 构作罗斯-霍维茨阵列

s716116 s631092

11?z?0.4z?0.5，两个单阶极点为?0.4、?0.5

s5s48168331320

42

此时出现全零行，有辅助多项式s?3s?2 求导可得4s?6s,以4,6代替全零行系数。

3s3(00)

s2s10s

由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平

面无极点。再由

s4?3s2?2?0 令s2?x则有

2x ?3x?2?0

可解得 x??1,?2

46322232

相应地有

s1,2??1??j s3,4??2??j2 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土

j2，系统为临界稳定。

所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。

s3?6s2?4s?2H(s)?3s?2s2?s?1。试5、已知某连续时间系统的系统函数为：

给出该系统的状态方程。

解：系统的微分方程为

y???(t)?2y??(t)?y?(t)?y(t)?e???(t)?6e??(t)?4e?(t)?2e(t)

取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为

q?x1、q'?x2、q''?x3、q'''?x3'，于是，由此微分方程立即可以写出

如下方程

?x1'?x2??x2'?x3?x'??x?x?2x?e(t)123?3状态方程： ??2x1?4x2?6x3?x1?3x2?4x3?e(t) 输出方程：y?x3 或者写成矩阵形式，上式即为

01??x1??0??x1'??0?x'??Ax?Be??01??x???0?e02?????2??????x3'????1?1?2????x3????1??

``

6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

e(k)?z?1?x1???e(t)y?Cx?De??134??x?2???x3??

2?z?1r(k)-0.3-0.2解：

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号f(t)的频谱为

F(j?)?n???H(z)?(1?21z?2.3)?2z?0.3z?0.2z?0.5z?0.06

???ejn??。

h(t)y(t)e(t)f(t)

e(t)2图(a)

h(t)14图(b)4t0图(c)1t

试：1） 分别画出f(t)的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由； 解：1）根据傅立叶变换的性质得：

f(t)?n?????(t?2n)?

f(t)(1)-4-224t F(j?)??n?????(???n)?

F(jw)????2?w 2）y(t)=[e(t)?f(t)]?h(t)=[?(t+2)+2?(t)+ h(t+2)+2h(t)+ h(t?2)

y(t)2?(t?2)] ?h(t)=

-2-1123t

3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。 三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为e(t)??(t)，在

?0.5t=0和t=1时测得系统的输出为y(0)?1，y(1)?e。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2HR1=2?e(t)R2=1?+y(t)_C=1F解：1）电路满足KVL：得 y??(t)?1.5y?(t)?0.5y(t)?0.5e?(t)

2）系统函数为：Yzs(s)=H(s)E(s)=

H(s)?

0.5ss2?1.5s?0.5，特征根为

?1=?0.5，?2=?1

0.5s111??s2?1.5s?0.5s=s?0.5s?1

零状态响应：yzs(t)=(e?0.5t ?e?t)?(t) yzs(0)=0，yzs(1)=(e?0.5 ?e?1)；

yzi(0)= y(0) ?yzs(0)=1，yzi(1)= y(1) ?yzs(1)= ?e?1 ； yzi(t)=(C1e?0.5t +C2e?t)?(t),得C1=0，C2=1

零输入响应：yzi(t)= e?t?(t)； 全响应：y (t)= e?0.5t ?(t)

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为 2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1)

其初始状态为yzi(?1)??2,yzi(?2)??6，激励e(k)??(k)； 求：1） 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。 解：1） 1） yzi(k)=(C10.5k+C2)?(k)； 代入初始条件得C1=?2，C2=2 零输入响应：yzi(k)= (2?20.5k)?(k) Yzs(z)=H(z)E(z)=

zzzzz????2z2?3z?1z?1z?0.5z?1(z?1)211?=s?0.5s?1

H(z)?z2z2?3z?1，特征根为?1=0.5，?2=1

零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k?1)?(k) yzs(0)=0，yzs(1)=(e?0.5 ?e?1)； 全响应：y (k)= (1+k?0.5k)?(k) 2）自由响应：(1 ?0.5k)?(k)

受迫响应：k?(k)，严格地说是混合响应。

3）系统的特征根为?1=0.5（单位圆内），?2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应

??k?h(k)?cos???(k)2??。

1） 求其系统函数H(z)； 2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。 解：1）系统函数为：

?k?jk?j???k?1??j????e2?e2?1?j2k??2Z?cos(k)?(k)??Z??(k)??Z?e?(k)??Z?e?(k)?22???2????2?????1?zzz2?????2???j?j2?z?122?z?e??z?e

z2H(z)?2z?1

j?(ej?)21|H(e)|?|j?2|?(e)?1|2cos?| 2）系统的幅频特性为：

|H(ejw)|0.5?2?3?22?w3）系统的框图

E(z)

?-1z?1z?1Y(z)?

六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。 解：

卷积定理

设Z?f1(k)??F1(z),Z?f2(k)??F2(z)，则

Z?f1(k)*f2(k)??F1(z)F2(z) 或用符号表示为：若f1(k)?F1(z)，f2(k)?F2(z)，则

两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下

????????Z?f1(k)*f2(k)??Z?f1(j)f2(k?j)??z?k???j????k???

f1(k)*f2(k)?F1(z)F2(z)

??j????f(j)f(k?j)12??交换上式右方的取和次序，上式成为

j???k???

对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得

Z?f1(k)*f2(k)???f(j)?z1?????kf2(k?j)

Z?f1(k)*f2(k)??j????f(j)z1???jF2(z)?F1(z)F2(z)

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