2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法

2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式

的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

数学 2018.3

本试卷共5页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列各式中，计算正确的是（ ） A． 2x+3y=5xy B． x÷x=x

C． （﹣2xy）=﹣8xy D． xy?xy=xy

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

3

3

93

2

3

5

6

2

3

A． B． C．

D．

3．下列运算正确的是（ ） A． 3a-2a=1 B． 2a﹣2=

C． （a-b）2= a2﹣b2 D． 6ab2÷(-2ab)= -3b

4．下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A． 三角形 B． 四边形 C． 平行四边形 D． 圆 5．分解因式x+4x的结果是（ ）

A． x（x+4） B． x（x+2）（x﹣2） C． x（x+2） D． x（x﹣2） 6．下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）

2

2

2

3

A． B． C． D．

7．下列运算正确的是（ ）

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A． a6÷a2=a3 B． 3a2b﹣a2b=2 C． （﹣2a3）2=4a6 D． 8．有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（ ）

A． 50° B． 65° C． 70° D． 75° 9．下列计算正确的是（ ）

A． a2+a3=a5 B． a2?a3=a5 C． （2a）2=4a D． （a2）3=a5

10．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，

F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（ ）

A． 120° B． 30° C． 150° D． 60°

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．下列分式化简运算中，每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是______．（只填写序号）

计算：+

解：原式=①同分母分式的加减法法则

=②合并同类项法则

=③提公因式法

=4④等式的基本性质

12．如图，已知?ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为_____．

试卷第2页，总5页

13．已知一个正多边形有一个内角是144°，那么这个正多边形是正_____边形． 14．如图，将直尺与含

角的三角尺摆放在一起，若

，则

的度数是___.

15．分解因式：

____________.

16．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G为DE上一动点，把三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B，G两点的最小距离为_____．

17．八边形内角和度数为_____．

18．等腰三角形的两边长为10，12，则顶角的正弦值是_____．

19．如图，□ABCD中，点E、F在直线BD上，连接AF、CE，不添加任何辅助线，请添加一个条件_____，使AF=CE（填一个即可）

20．分解因式：4x2﹣25=_____．

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．化简：22．如图，抛物线且

.

经过点

，与轴负半轴交于点，与轴交于点，

（1）求抛物线的解析式；

试卷第3页，总5页

（2）点在轴上，且，求点的坐标；

（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

23．如图，在正方形ABCD中，CE=CF，求证：△AEF是等腰三角形．

24．（1）解方程：；

（2）解不等式：2x+1≤（x﹣1） 25．计算： （1）（

）+|﹣3|﹣（π+2）；

22

0

（2）（x+2）﹣4（x﹣1）

26．天猫网的新时代书店准备购进甲、乙两种图书，已知甲种图书进价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若甲种图书每本售价30元，乙种图书每本售价25元，书店欲同时购进两种图书共100本，请写出所获利润y（单位：元）关于甲种图书x（单位：本）的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若书店计划用不超过1800元购进两种图书，且甲种图书至少购进40本，并将所购图书全部销售，共有多少种购进方案？哪一种方案利润最大？ 27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C

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作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=BF（不需证

明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

28．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

29．先化简，再求值：，其中a=．

30．长春市绿园区环卫处在西安大路清扫上安排了A、B两辆清扫车．A车比B车每小时多清扫路面6km，若A车清扫路面42km与B车清扫路面 3 5km所用的时间相同，求B车每小时清扫路面的长度．

试卷第5页，总5页

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

各选项一一计算即可. 【详解】

2x+3y= 2x+3y≠5xy，故A错误. x6÷x2=x4，故B错误，x2y?x3y=x5y2，故D错误.选C. 【点睛】

本题考查代数式的计算，解题的关键是掌握整式运算的法则. 2．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可得答案. 【详解】

A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意， B选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意， C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意， D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意， 故选D. 【点睛】

本题考查轴对称和中心对称，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键. 3．D 【解析】 【分析】

利用合并同类项的法则、负指数幂、整式除法、完全平方公式的知识求解即可求得答案. 【详解】

3a-2a=a，故A选项错误，

答案第1页，总21页

2a﹣2= ，故B选项错误，

（a-b）2= a2﹣2ab+b2，故C选项错误， 6ab2÷(-2ab)= -3b，计算正确， 故选D. 【点睛】

本题考查合并同类项 、完全平方公式、负指数幂及整式除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键. 4．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的定义分析即可. 一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形. 【详解】

三角形、 四边形、平行四边形不一定是轴对称图形，圆是轴对称图形， 故选D. 【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键. 5．A 【解析】 【分析】

提取公因式x即可. 【详解】 x3+4x= x（x2+4）. 故选A. 【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 6．C

答案第2页，总21页

【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称的图形即可解出该题. 【详解】

A.不是轴对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项错误；C. 是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项正确；D. 不是轴对称图形，故该选项错误. 故选C. 【点睛】

本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是本题解题的关键. 7．C 【解析】 【分析】

A、根据同底数幂的除法法则计算； B、根据合并同类项法则进行计算； C、根据积的乘方法则进行计算； D、不是同类二次根式，不能合并. 【详解】 A、B、C、

. 此选项错误．

此选项错误； 此选项正确；

D、不是同类二次根式，不能合并. 此选项错误； 故选:C． 【点睛】

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算和二次根式加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．D 【解析】 【分析】

如图，根据平行线的性质得出∠EDC=∠EFA=30°，∠1+∠BDC=180°，根据折叠求出

答案第3页，总21页

∠EDB=75°，代入求出即可． 【详解】 ∵AB∥CD，

∴

根据折叠得出∵∴故选:D. 【点睛】

本题考查了翻折变换，平行线的性质的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 9．B 【解析】 【分析】

按照合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方的性质进行判断即可. 【详解】

a2和a3不是同类项，不能合并，A项错误；a2?a3＝a2＋3＝a5，B项正确；(2a)2＝4a2，C项错误；(a2)3＝a2×3＝a6，D项错误.故选B. 【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方的性质，需熟练掌握并区分清楚，才不容易出错. 10．C 【解析】 【分析】

答案第4页，总21页

利用基本作图可判断AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，再根据平行线的性质得到∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，计算出∠CAB的度数，后得到∠BAH的度数，即可得出答案． 【详解】

解：由基本作图可得AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH， ∵AB∥CD，，

∴∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH， ∴∠BAC=180°-∠C=180°-120°=60°，

∴∠BAH=∠BAC=30°， ∴∠AHC=30°，

∴∠AHD=180°-30°=150°． 故答案为：C． 【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的作法，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的做法． 11．④ 【解析】 【分析】

根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】

①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确， ④：分式的基本性质，故错误； 故答案为：④. 【点睛】

考查分式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键. 12．5 【解析】

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【分析】

当C在l上时，AC长为最短，即AC与l重合时，AC长为最短，然后求出此时AC的长. 【详解】

由分析可知，AC与l重合时，AC长为最短，再求AC的长，有题意可知，∠DNC＝∠AMB＝90°，而DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，而DC＝AB，故△CDN≌△ABM，故AM＝CN＝1,而AC＝AM＋MN＋NC＝1＋3＋1＝5，故答案为5. 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的条件，解本题的关键在于了解到何时对角线AC长为最短，当AC最短时，求AC的步骤就只需证明全等三角形. 13．十 【解析】 【分析】

需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出答案即可. 【详解】

设这个正多边形的正n边形，根据题意得：（n－2）×180°÷n＝144°，解得：n＝10，故答案为10. 【点睛】

本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键. 14．50 【解析】 【分析】

根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，根据平行线的性质得到∠2的度数即可. 【详解】 如图：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°， ∴∠BEF=∠1+∠F=50°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠BEF=50°，

答案第6页，总21页

故答案为：50° 【点睛】

本题主要考查平行线的性质及三角形外角性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线性质是解题关键. 15．—2m(m+2)(m-2) 【解析】 【分析】

提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解即可. 【详解】 2m3-8m =2m（m2-4）

=2m（m+2）（m-2）． 故答案为：2m（m+2）（m-2） 【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，熟练掌握并灵活运用适当的因式分解的方法是解题关键. 16．0． 【解析】 【分析】

由∠D=30°，EF=2，可知DE=4，从而在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，从而可求出B，G两点的最小距离为0. 【详解】

∵∠D=30°，EF=2， ∴DE=4，

∴在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，

答案第7页，总21页

∴B，G两点的最小距离为0. 故答案为：0. 【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，判断出三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B是解答本题的关键. 17．1080°． 【解析】 【分析】

根据多边形的内角和计算即可. 【详解】

（8-2）×180°=1080°. 故答案为：1080°. 【点睛】

本题主要考查多边形的内角和公式，n边形的内角和为：(n-2) ×180°,熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.

18．或．

【解析】 【分析】

分两种情况：腰长为4，底边为6；腰长为6，底边为4.运用三角函数定义求解. 【详解】

腰长为10，底边为12. 设AD＝x，则CD＝10－x， 由勾股定理可知：

102－x2＝122－（10－x）2，

解得x＝，

∴BD＝＝,

答案第8页，总21页

∴sinA＝＝；

（2） 腰长为12，底边为10.

同理求得AD＝，

∴BD＝＝

∴sinA＝＝.

故答案为或【点睛】

.

本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，熟练掌握三角形性质和解直角三角形是本题解题的关键.

19．DF=BE（答案不唯一） 【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质并结合全等三角形的判断方法即可求出本题答案. 【详解】

DF＝BE，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ADE和△CBE中，

AD＝DC，∠ADB＝∠CBE，DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AF＝CE. 故答案为DF＝BE. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的

答案第9页，总21页

关键.

20．（2x+5）（2x﹣5） 【解析】 【分析】

本题没有公因式，直接应用平方差公式进行因式分解． 【详解】 原式故答案为：【点睛】

本题考查因式分解．分解因式时多项式有两项时要考虑提公因式法和平方差公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

21．-

【解析】 【分析】

原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母的减法法则计算，即可得到结果. 【详解】 解：原式===

﹣

?

﹣

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22．(1) 抛物线解析式为【解析】 【分析】 （1）根据当

时，

可知C（0，-3）根据

，可知B（-1，0）利用待定系数

；（2）

或

；（3）

，

，

.

答案第10页，总21页

法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论. 【详解】 （1）当

时，，

，

，

.

抛物线解析式为

.

，，

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，-3），C（0，-3）， ∴AF∥x轴， ∴F（-1，-3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°，

设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1，

∴D1（0，1），D2（0，-1）；

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（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F， 则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a-1|=3， ∴a=4或a=-2，

∴M（4，5）或（-2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图， 则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，-3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 23．见解析 【解析】

答案第12页，总21页

【分析】

根据正方形的性质以及CE=CF可证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等可求出AE=AF. 【详解】 证明：

∵正方形ABCD中， ∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D， ∵CE=CF， ∴BE=DF， 在△ABE与△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.正方形的边长相等，四个角是直角；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

24．(1)x=8;(2) x≤﹣. 【解析】 【分析】

（1）两边都乘以x(x-2)，化为整式方程求解即可，求出x的值后要检验； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可. 【详解】

解：（1）去分母得：4x﹣8=3x， 解得：x=8，

经检验x=8是分式方程的解；

答案第13页，总21页

（2）去分母得：6x+3≤x﹣1， 去括号得：3(2x+1)≤x﹣1， 移项合并得：5x≤﹣4，

解得：x≤﹣． 【点睛】

本题考查了分式方程和一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解题步骤是解答本题的关键. 25．(1)4;(2) x+8. 【解析】 【分析】

（1）根据算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义计算即可；

（2）先根据完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算乘法，然后合并同类项即可. 【详解】

解：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2） =2+3﹣1 =4；

（2）（x+2）﹣4（x﹣1） =x+4x+4﹣4x+4 =x+8． 【点睛】

本题考查了实数和整式的混合运算，熟练掌握实数和整式的运算法则是解答本题的关键.解（2）时注意，括号前是“-”号时，把括号去掉后括号内各项的符号都要改变.

26．（1）甲图书的单价为20元/本，乙图书的单价为16元/本；（2）y=x+900；（3）购买方案有11种．利润最大的方案是：购买甲种图书50本，购买乙种图书50本． 【解析】 【分析】

(1)设甲图书的单价为x元／本，则乙图书的单价为（x－4）元／本，根据用3000元购进甲种图书的数量＝用2400元购进乙种图书的数量列出方程求解即可.

(2)因为购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100－x）本，根据：总利润＝甲种图书的总

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22

2

2

0

2

∴m=﹣3±∴P（1，﹣3+

，

）或P（1，﹣3﹣

），

）或P（1，﹣

）或P（1，﹣3+

）

∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，或P（1，﹣3﹣【点睛】

）．

此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质.

29．【解析】 【分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】

原式=+?

==

+，

当a=1+【点睛】

时，原式===．

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先化简再代入计算. 30．B车每小时清扫路面的长度为30（km） 【解析】 【分析】

首先设B车每小时清扫路面的长度为xkm，则A车每小时清扫路面的长度为(x+6)km，根据“A车清扫路面42km与B车清扫路面 35km所用的时间相同”列出方程，从而得出答案． 【详解】

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设B车每小时清扫路面的长度为x（km），则A车每小时清扫路面的长度为x+6（km）， 依题意，得：

，

解得：x=30，经检验x=30符合题意

所以B车每小时清扫路面的长度为30（km）

【点睛】

本题主要考查的是分式方程的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．

答案第21页，总21页

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