清华大学经济学博士研究课题

清华大学经济学博士研究课题

课题名称：浅析对偶理论对农村循环资源的优化配置

提交单位：清华经济管理学院 数量经济学D5班 提交人： 张保仓

指导老师：朱武祥博导、教授

浅析对偶理论对农村循环资源的优化配置

【摘要】对偶理论中的影子价格对企业的生产计划具有一定的帮助作用。在某种程度上它有助于区分增值作业和不增值作业,使企业可以集中资源从事增值作业,生产效益好的产品,从而提高资源的使用效率,避免资源浪费。 【关键词】 对偶理论、循环资源、优化配置

我国目前正处于经济结构调整、保持经济平稳较快发展时期。在世界经济整体低迷的情况下,我国经济增长位居世界前列。然而,自20世纪70年代以来,自然资源供给与需求之间产生了巨大的矛盾,自然资源短缺已成为全球性问题,也已严重制约了我国的可持续发展。如何在经济发展中解决环境问题,实现经济与环境的协调发展,是我国政府面临的紧要课题。从数量经济学角度出发,应用对偶理论,利用单纯形表求得线性规划对偶问题的经济学解释———影子价格,对如何平衡企业追求经济利益最大化和环境保护之间的矛盾能给予一定的理论参考。 一、对偶性定义

如果一个线性规划问题为(1)式: maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn(1)

minw=b1y1+b2x2+…+bmym(2) 则与之对应的另一线性规划问题为(2)式,我们称问题(2)为问题 (1)的对偶问题,其中y1,y2,…,ym为对偶变量,问题(1)称为原问题。

二、自然资源的线性规划问题假设

企业生产n种产品,需要耗用m种资源: maxπ=c1x1+c2x2+…+cjxj+…+cnxn(3) minπ′=r1y1+r2y2+…+riyi+…+rmym(4) 其中(3)式为原规划问题, (4)式为该问题的对偶问题。 (3)式中π表示贡献毛利总额,以人民币为单位, cj表示每单位第j 种产品的贡献毛利, xj表示第j种产品的产量,故式中有xj≥0, aij表示生产第j产品所使用的第i种资源的数量。 (4)式为(3)的对偶式,式中π′单位亦为人民币, ri表示企业所拥有的第i种资源的总量, yi在数量经济数学中称为影子价格,该资源虽然由企业拥有,但该企业并没有以yi在市场上购买这第i种资源,它只是一种估算

价值,可以将yi看作是使用第i种资源时的机会成本。故有yi≥0。对(3)式和(4)式约束条件的解释为[1]: (3)式约束条件中, aij表示生产第j种产品所使用的第i种资源的数量,所以左边表示企业生产产品所消耗的资源数,右边表示企业所拥有的该资源数,于是约束条件为需消耗资源数小于等于企业所拥有资源数。(4)式约束条件中, aij表示生产第j种产品所使用的第i种资源的数量,所以左边表示企业生产一单位第j种产品的总机会成本,右边表示生产每单位第j种产品的贡献毛利,于是约束条件表示所估计的机会成本应不小于产品的贡献毛利。对对偶线性规划的解释为: 对式(3)即原问题,其意义在于,在保证不亏本的前提下如何安排生产,使资源消耗最少,即此时达到资源的最优配置。对式(4)即对偶问题,如果生产的机会成本超过贡献毛利总额,企业生产即意味着亏本,就应放弃产品生产,转而直接出售原材料来获取销售收入。如果进行产品生产,则说明生产的机会成本恰好等于贡献毛利总额。对对偶目标函数π′=r1y1+r2y2+…+riyi+…+rmym的解释 π′表示企业所控制的用于生产的资源的总机会成本,为满足对偶约束条件,对偶规划的目标一定是最小。企业目标是生产的机会成本应等于贡献毛利总额,即

minπ′=maxπ。对偶定义下的影子价格是从机会成本的角度去度量资源真实价值的。在均衡条件下,这是一种有效的度量方式。[2]从经济学硕士研究生角度讲,当资源达到合理配置时,社会效益最大,企业的长期利益也就最大。从环境保护的角度看,此时,资源合理配置意味着资源的消耗最小,节约了资源,达到了环境保护的作用。 三、实证研究

工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B两种产品,已知: 生产每单位A产品消耗甲、乙、丙三种原料分别为2吨、1吨、4吨, A产品单位售价为2万元;生产每单位B产品消耗甲、乙、丙三种原料分别为2吨、2吨、10吨,B产品单位售价为3万元;甲、乙、丙三种原料现有库存分别为12吨、8吨、16吨。工厂应如何安排生产计划,才能获得最大收入? 设分别生产A、B两种产品x1、x2件,则该问题的线性规划问题模型如下: maxz=2x1+3x2 s. t. 2x1+2x2≤12 x1+2x2≤8 4x1≤16 x1≥0, x2≥0 (5) 从另一角度讨论此问题:如果工厂经营者有意放弃生产这两种产品,而直接出售原料来获取销售收入,此时就需要考虑每种原料的单位价格,即在何种价格水平上,可以出售这三种原料。设y1, y2, y3,分别为甲、乙、丙三种原料的出售单价,那么出售生产单位A产品所用的三种原料所获收入应不低于生

产单位A产品的收入 2万元,否则就应该将原料用于生产产品A而不是出售原料。因此,第一个约束条件为:2y1+y2+4y3≥2 同理,可得第二个约束条件为:2y1+2y2≥3 将现有库存的三种原料全部售出,其总收入应为:w=12y1+8y2+ 16y3 在市场经济中,由于市场的调节作用,工厂的经营者不但不能把价格任意的提高,而且要尽可能低才可能销售出去,因此可得原问题的对偶线性规划问题为:

minw=12y1+8y2+16y3 s. t. 2y1+y2+4y3≥2 2y1+2y2≥3 y1≥0, y2≥0, y3≥0 (6) 当这两个LP的目标函数值相同时,即maxz=minw时,工厂的经营者将认为这两种方案具有相同的效果,都应是最优方案。解此问题如下(引入松弛变量s1, s2, s3):maxz=2y1+3x2 原问题的标准型为s. t. 2x1+2x2+s1=12 x1+2x2+s2=8 4x1+s3=16 x1≥0, x2≥0, s1≥0, s2≥0, s3≥0 利用单纯形表法求得最优解:X=(x1, x2, s1, s2, s3)T=(4, 2, 0, 0, 0)T 即x1*=4, x*2=2,最优值z*=14,对应的检验数为(0, 0, 1/2, 1, 0)。根据对偶线性规划问题的特点:原问题中每一约束方程对应对偶 —60— 环境与能源基于数量经济学对合理利用自然资源的分析《新西部》2009.10期问题中的一个变量。因此,上述问题中的三个约束方程中的松弛变量 s1, s2, s3在最优单纯形表中对应的检验数为(1/2, 1, 0),把它们写在前面得(1/2,1,0,0,0),由对偶问题的性质:原问题的可行基对应的检验数就是对偶问题的一个解,可知对偶问题的最优解为: Y=(1/2,1,0,0,0)T 即y*1=1/2, y2*=1, y*3=0,最优值为w*=14万元。由原问题和对偶问题的最优解看出: 若工厂的经营者决定将甲、乙、丙三种原材料用于生产产品,则最优生产方案为A产品4吨,B产品2吨,可获最大收入为z*=14万元。若工厂的经营者决定将甲、乙、丙三种原料直接出售,则对偶问题的最优解是一个最“合适的价格”。甲:1/2万元/吨,乙:1万元/吨,丙:0万元/吨。按此价格,其一,买方支付费用为14万元,它是在卖方愿意卖的前提下支付的最小费用,满足了其“购买原料总费用最省”的目标;其二, 卖方(厂方)卖出原料的收入不会低于卖出产品的最大收入(14万元)。当某种原料的市场价格低于“影子价格”时,工厂将买进这种原料生产自己的产品;当市场价格高于该工厂的某种原料的“影子价格”时,工厂就把资源卖出去,这种操作在经济上收益更大。影子价格(y1, y2, y3)=(1/2,1,0)的经济意义为:每增加一单位的该种资源,企业增加1/2单位(1单位,0单位)收益,即这三种资源的边际贡献分别为1/2,1,0。对偶理论的结果表明企业最优生产方案为A产品4吨,B产品2吨。

四、对影子价格的思考对偶理论的影子价格具有重要的理论和实践意义。詹恩·丁伯根认为,影子价格是以资源有限性作为出发点,将资源充分合理分配并有效利用作为核心,以最大经济效益为目标的一种测算价格,它综合了企业的经济效益和社会效益,协调了各方面关系。[3] 对上述例题结果的进一步思考是:对偶理论中的影子价格对企业的生产计划具有一定的帮助作用。在某种程度上它有助于区分增值作业和不增值作业,使企业可以集中资源从事增值作业,生产效益好的产品,从而提高资源的使用效率,避免资源浪费。影子价格以定量分析的方法寻找最大目标利润和最小目标成本,以期实现企业价值最大化,旨在促进国家和企业的可持续发展,最大限度地实现生态效益和经济效益。

【参考文献】

[1] 何良材.经济应用数学(下册)重庆大学出版社.

[2] 马赞甫.线性规划中影子价格的“非唯一性”[J]系统工程, 2007.4. [3] 伍学滨,邓小英.经营决策中的定量分析———影子价格[J]商场现代化,2006.10.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ofy3.html