第四章 不可压缩粘性流体的一元流动(1)

第四章 不可压缩粘性流体 的一元流动§4-1 粘性流动的伯努利方程 §4-2 流体运动的两种流态 雷诺实验 流态的判别 紊流的成因 §4-3 圆管中的层流 沿程损失与切应力的关系 沿程损失的通用公式

粘性流动的伯努利方程 u z fs = g s s u p ∴ ρ Adsu = ρ Adsf s A ds τχ ds s s ∵ as = up+ p ds s

2 p θ A

p u2 τχ (z + + )+ = 0 s ρg 2 g ρ gA

1 g

上式两边沿流线从S1 到S2 积分, 记

∫则有

s2 s1

τχ ′ ds = h w ρ gA

2 p1 u 12 p2 u2 ′ z1 + + = z2 + + + hw ρg 2g ρg 2g

沿过流断 面积分

p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 z1 + + = z2 + + + hw gρ 2g gρ 2g

p 2 α 2V 22 p1 α 1V12 z1 + + = z2 + + + hw 2g 2g gρ gρ p αV 2 H0 = z + + gρ 2g H 01 = H 02 + hw

hw=∑hf+∑hj

沿程损失

局部损失

在长直管道或长直明渠中, 流动为均匀流或渐变流, 流动 阻力中只包括与流程的长短有关的摩擦阻力----沿程阻力

在流道发生突变的局部区域, 流动属于变化较剧烈的急 变流, 流动结构急剧调整, 流速大小, 方向迅速改变, 往 往拌有流动分离和旋涡运动, 流体内部摩擦作用增大, 称这种流动阻力-------局部阻力

hw=∑hf+∑hj

沿程损失

局部损失

达西公式

hf

L V 2 = λ d 2gV 2 = ζ 2g

局部损失

hj

λ: 沿程损失系数

ζ: 局部损失系数

流体运动的两种流态层流与紊流的概念有色液体

雷诺(O.Reynolds)实验

水 金属网 节门 玻璃管 排水 进水

层流: 层流 分层流动 有条不紊 互不掺混 紊流(湍流 紊流 湍流): 杂乱无章 相互掺混 湍流 涡旋紊乱

流ρ Vd Vd = Re = µ νRe = VR

-------

lghw e d c

f

ν

R =

A

χR = r 2

b过 渡 a 层流区 lgVe lgVe’ lgV 区 紊流区

A = πr 2

χ = 2π r

d

,

(R ) , A 流

流

χRe< 2300, 流

层流, Re>2300, 流

紊流

紊流的成因: 紊流的成因 雷诺数的物理意义: 雷诺数的物理意义

层流 紊流 转捩

扰动

(1)流态转捩的判别准则 (2)惯性力与粘性力之比

ρ VL Re µ

=

ρV

V L3 L V µ L2 L

V ρV L3 L

惯性力

µ

V L2 L

粘性力

层流与紊流举例

例 ν水=1.79×10-6m2/s, ν油=30 ×10-6m2/s, 若它们以V=0.5m/s 的流速在直径为 d=100mm的圆管中流动, 试确定其流动形 态 解: 水的流动雷诺数0.5 × 0.1 Re = = = 27933 > 2000 6 ν 1 1.79 ×10 Vd

流动为紊流状态 油的流动雷诺数Re = Vd

ν2

=

0 .5 × 0 .1 = 1667 < 2000 6 30 × 10

所以流动为层流流态

例 运动粘度 ν=1.3×10-5m2/s 的空气在宽 B=1m, 高 H=1.5m的矩形截面通风管道中流动, 求保持层流流态的 最大流速 解:BH 1 × 1 .5 R= = = = 0.3(m) χ 2 B + 2 H 2 × 1 + 2 × 1 .5 A

保持层流的最大流速即是临界流速Vc = Re c , R ν R 500 × 1 . 3 × 10 5 = = 0 . 022 ( m / s ) 0 .3

例4-2 以下是流态为层流时, hf与速度V的实测值:

V(m/s) 0.102 0.128 hf (m) 10

-3

0.416-3

0.1683

0.1873

1.2×10-3 1.4×10 1.6×10- 1.9×101.2× 1.4× 1.6× 1.9×

试用最小二乘法求 logV---loghf 的斜率 : 解:log(10V) log(1000hf ) 9×10-3 0 0.1072 0.0792 0.1644 0.1461 0.2253 0.2041 0.2718 0.2788

设y=log(1000hf), x=log(10V), 可用直线y=a+bx拟合实验值, 实验 点数目n=5, 偏差为E =

∑

n

i =1

( y i a bx i ) 2

E = ∑ 2 ( y i a bx i ) = 0 a ∑ y i na b ∑ x i = 0 E = ∑ 2 ( y i a bx i )( x i ) = 0 b ∑ x i y i a ∑ x i b ∑ x i2 = 0

求得

b =

∑ ∑i =1

n

i =1 n

xi yi nx y x i2 n ( x ) 2

a = y bxn

其中 其中n=5,代入 有关数值

1 x = n

∑

n

i =1

xi

1 y = n

∑

i =1

yi

x = 0.1553

y = 0.1416

∑ xi2 = 0.1630 b = 1.1172

∑ xi yi = 0.1542

a = 0.0319

斜率近似为1, 流态属层流

圆管中的层流设流动定常, 充分发展, 则( p1 p 2 )π r 2 2π rl τ = 0 p p2 r τ = 1 2 l p d τ0 = l 4∵ hf = p1 p 2 p = ρg ρg ∴τ 0 =p1 τ p2 τ L

λ8

ρV 2

结合达西公式

u

*2

τ0 = ρ

V 2 8 ( *) = u λ

u* 称摩擦速度, 该式对层 流与紊流均适用

对于层流利用公式τ =p1 p 2 r l 2

τ = µ

du dry dr

p 1 2 u= (r + C ) l 4µ

r 0

r0 0

x

r = r0

p 1 2 2 u=0 ∴ u= (r0 r ) l 4µr0

p r02 um = l 4µ

Q=∫

0

p πr04 2πrudr = l 8µ

y dr r 0 r0 0 x

1 V = A

p r02 ∫ A udA = l 8 µ

所以 V =

1 u m ax 2

利用速度分布

1 α = A1 β = A

u 3 ∫ A ( V ) d A = 2.0

u 2 ∫ A ( V ) d A = 1.3 3

结合达西公式 p 8lµ V l V2 ∴ hf = = 2 =λ r0 ρ g d 2g ρg 64 ν 64 ∴λ = = Re Vd (Re = Vd

ν

)

非圆形截面管流 的达西公式为

l V hf = λ 4R 2 g

2

例 d=100mm, L=16km, 油在油管中流动, ρ油=915kg/m3, ν=1.86×10-4m2/s, 求每小时通过 50t 油所需要的功率 解:Q = V = Qm

ρ

=

50 × 1000 915 × 3600

= 0 . 0152 m

3

/s

Q = 1 . 94 m / s A Vd 1 . 94 × 0 . 1 Re = = = 1043 4 ν 1 . 86 × 10

< 2000

64 64 = = 0 . 06136 λ = 1043 Re L V2 1 . 6 × 10 3 1 . 94 2 hf = λ = 0 . 06136 = 188 . 32 m d 2g 0 .1 2 × 9 .8 50 × 1000 P = gQ m h f = 9 . 8 × 188 . 32 = 25 . 6 ( kW ) 3600

书66页---------例4-3;例4-4;例4-5

明渠中的层流设流动充分发展, 则有 τ τdx + (τ + dy ) dx + ρg sin θdxdy = 0 y du ∵τ = µ dy d 2u ρg sin θ ∴ 2 = µ dyu = θ

τ+

τ dy y

θ

g

积分得: 边界条件: 代入常 数得

ρg 1 sin θ ( y 2 + C 1 y + C 2 ) 2 µy = 0 y = h u = 0 du µ = 0 dy

有C1=-h C2=0

ρg 1 2 u = sin θ ( hy y ) 2 µ

单位宽度体积流量为Q =

∫

h

0

udy =

ρg 3 h sin θ 3µ

τ+

τ dy y

V = Q /h =h f = z1 z2 = l sinθ 3µl ∴hf = V 2 ρgh

ρg 2 h sin θ 3µ∵ sinθ =

3µ V ρgh2

θ

θ

g

对于宽为b, 深为h的渠道流, 水力半径为R = bh b + 2h b → ∞ R = h

3µ l l V 2 h f = V = λ 2 4 R 2 g ρ gh 24 µ 24 ∴ λ = = Re Re ρ VR

=

ρ VR µ

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ofvq.html