2011届湖北省部分重点中学高三上学期期中联考数学试卷（理）

湖北省部分重点中学

2010—2011学度年高三上学期期中联考

数学试题（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1．设全集为U，若命题P:2010?A?B,则命题?P是

A.2010?A?BC.2010?(CUA)?(CUB)

（ ）

B.2010?A且2010?BD.2010?(CUA)?(CUB)2．对数列?an?,an?1?an是?an?为递减数列的

A．充分不必要条件 C． 充要条件

（ ）

B． 必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

3．已知二次函数f（x）图象的对称轴是x=x0，它在区间[a,b]值域为[f（b）,f（a）],则 （ ）

A．x0?b

B．x0?a

C．x0?(a,b)

D．x0?(a,b)

4．定义：符号[x] 表示不超过实数x的最大整数，如[3．8]=3,[-2．3]=-3，，等，设函数f（x）=x-[x]，则

下列结论中不正确的是 （ ） ．．．

A．f(?12)?12 B．f（x+y）=f（x）+f（y） D． 0?f(x)?1

C． f（x+1）=f（x）

5．若函数y?f(x)的导函数在区间(a,b)上不是单调函数，则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能

是

A．①③

B．②④

C．②③

D．③④

（ ）

（ ）

????6．若?,????,?,且?sin???sin??0,则下面结论正确的是

?22?

A．?C．???

B． ???

???0D． ?2??2

*7．设f(x)?x?(x?1)?(x?2)??????(x?n)n?N则f?(0)的值为

（ ）

nA．0 B．?n?(n?1)2 C．n! D．(?1)?n!

1

?(3?a)n?3(n?7)8．数列{an}满足:an??n?6且{an}是递增数列,则实数a的范围是 （ ）

(n?7)?aA.(94,3)B.[94,3)C.(1,3)D.(2,3)

9．设a,b?(0,

A．a

?2)且cosa?a,sin(cosb)?b则a,b的大小为

D．b?a

（ ）

B．a?b C．b

?lg(x?1),x?0?10．函数f(x)??图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n的值为 （ ） ?x,x?0?cos2? A．4 B．3 C．5 D．无穷多

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列?项和的公式是 .

2212．不等式log2(x?x)??x?x?3解集为 .

?an??的前n n?1??13．已知sin(x??6)?14，则sin(5?6?x)?cos(2?3?x)? .

14．下列命题：

①若区间D内任意实数x都有f（x+1）>f（x），则y=f（x）在D上是增函数；

②y??1x在定义域内是增函数；

1?x2③函数f(x)?x?1?1图象关于原点对称；

1x④如果关于实数x的方程ax?其中正确的序号是 .

2?3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a?0;

?x15．已知函数f（x）为偶函数,且f（2+x）=f（2-x）,当?2?x?0时f(x)?2,又当n?N时an=f（n）,

则a2010= .

三、解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数y?lg(ax?2x?2)．

（1）若函数y?lg(ax?2x?2)的值域为R，求实数a的取值范围；

2（2）若a?1且x?1，求y?lg(ax?2x?2)的反函数f?122(x)；

2（3）若方程lg(ax?2x?2)?1在[,2]内有解，求实数a的取值范围

12

2

17．（本小题满分12分）

?????设函数f?x??a?b?c，其中向量a??sinx,?cosx?,b??sinx,?3cosx?

???c???cosx,sinx?,x?R．

（Ⅰ）求函数f?x?的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数y?f?x?的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最 ??小的d．

18．（本小题满分12分）

如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4（1）求弦BD的长；（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面积和的取值范围。

19．（本小题满分13分）

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间

?1 (1?x?20,x?N*)?第x个月的利润f(x)??1（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得*?x (21?x?60,x?N）?10B A D C E P

F

的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率g(x)?第x个月的利润第x个月前的资金总和，例如：

g(3)?f(3)81?f(1)?f(2)．

（1）求g(10)；

（2）求第x个月的当月利润率g(x)；

（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

20．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x?sinx

（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域; （Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:2f(?)?f(x)3?f(2??x3);

3

（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想2f(?)?f(x)3与f(2??x3) 的大小关

系．（不必证明） 21．（本小题满分14分）

已知数列{an}的相邻两项an，an?1是关于x的方程x2?2nx?bn?0（n∈N*）的根，且a1?1． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，问是否存在常数λ，使得bn??Sn?0对任意n∈N都成立，若 存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说理理由．

*

参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 13．

5166 D 7 D 8 D 14．③

9 C 10 A 15．

二、填空题（每小题5分，共25分） n?111．12． 1,0)?(1,2)(?S n ?2?2三、解答题（共75分） 16．解：（1）0?a?（2）f?1112 4

…4分

x(x)?1?10?1(x?0) …8分

（3）[3，36] …12分

17．解：（Ⅰ）由题意得，f（x）＝a·（b+c）=（sinx,－cosx）·（sinx－cosx,sinx－3cosx） ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+

2?22sin（2x+

3?4）． …4分

∴f（x）的最大值为2+2，最小正周期是

3?3?=?． …6分

k?3???k?3??? （Ⅱ）由sin（2x+）=0得2x+=k．?，即x=,k∈Z，于是d=（?，－2），

442828d????(?)?4,k∈Z．因为k为整数，要使d最小，则只有k=1，此时d=（―，―2）即为 288k?3?2所求． …12分

4

18.解(1)由余弦定理求得?BAD?120........BD?27............6分(2)设?PBD??,??(0,120),由正弦定理28333200PBsin(120??)200?PDsin??27sin600?两正三角形面积和y= =?sin(2??30)?(?0[sin??sin(120??)]..............8分0

143[2?sin(2??30)].............10分12,1]?y?(73,143]............12分19．解:（1）由题意得f(1)?f(2)?f(3)????f(9)?f(10)?1

f(10)81?f(1)????f(9)190∴g(10)??． ………3分

（2）当1?x?20时，f(1)?f(2)????f(x?1)?f(x)?1

f(x)81?f(1)????f(x?1)181?x?11x?80∴g(x)???． …… 5分

当21?x?60时， g(x)?f(x)81?f(1)????f(20)?f(21)????f(x?1)1x10?81?20?f(21)????f(x?1)1?2x10?2(x?21)(x?20)x?x?1600101?20x ……7分

1?* (1?x?20,x?N)??x?80∴当第x个月的当月利润率为g(x)?? ………9分

2x*? (21?x?60,x?N）2??x?x?1600（3）①当1?x?20时，g(x)?② 当21?x?60时，g(x)?1x?802x2是减函数，此时g(x)的最大值为g(1)??x?21600x?1?221600?1?279181.………10分

1600xx?x?1600,当且仅当x?

时，即x?40时，g(x)max?279，又?279?181，∴当x?40时，g(x)max?279. ………12分

5

故该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，最大值为

279 …13分

20．解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数 又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)?? 即f(x)的值域为[0,?]??4分 （Ⅱ）设g(x)?2f(?)?f(x)3?f(2??x3)， g?(x)?13(?cosx?cos2??x32??x3)……6分

?当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.?x?[0,?],??(0,?)?当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分

?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0因而2f(?)?f(x)3?f(2??x3)?9分2f(?)?f(x)3?(0,?)由g?(x)?0,得x??,

（Ⅲ）在题设条件下，同（Ⅱ）当k为偶数时当k为奇数时

2f(?)?f(x)3?f(2??x3?f(2??x3)

). …13分

?an?an?1?2n21．解：（Ⅰ）∵an，an＋l是关于x的方程x－2x＋bn＝0（n∈N*）的两根，∴?，

?bn?anan?12

n

由an＋an＋l＝2n，两边同除以（－1）n+1，得

n

an?1(?1)n?1?an(?1)n??(?2)．令cn?nan(?1)n，

则cn＋1－cn＝－（－2）．故cn ＝ c1＋（c2－ c1）＋（c3－c2）＋…＋（cn－cn－1） ＝－1－（－2）－（－2）－（－2）－…－（－2）

a1?1132

3

n－1

??1?(?2)?[1?(?2)1?(?2)n?1]?13[(?2)?1]（n ≥ 2）．

n且c1?∴

an(?1)??1也适合上式．∴cn?[(?2)?1]（n∈N*）．

nn?13[(?2)?1]，即an?19nnn13[2?(?1)]． ……5分

19nn∴bn?anan?1?[2?(?1)]?[2n?1?(?1)13n?1]?2[232n?1?(?2)?1]． ……7分

n2nn（Ⅱ）Sn＝a1＋ a2＋ a3＋…＋an?13(?1)?12n?(2?2?2???2)?[(?1)?(?1)???(?1)]?

?[2n?1?2?]． ……9分

6

要使bn－λ Sn＞0对任意n∈N*都成立，即[29任意n∈N*都成立．

1912n?1?(?2)?1]?n?3[2n?1?2?(?1)?12n]＞0（*）对

① 当n为正奇数时，由（*）式得[22n?1?2n?1]?即

19(22n?1?3(2n?1?1)＞0，

(2?1)对任意正奇数n都成立．

n?1)(2?1)?1n?3(2n?1?1)＞0，∵2

n＋1

－1＞0，∴?＜13当且仅当n＝1时，(2n?1)有最小值1．∴λ＜1． ……11分

3② 当n为正偶数时，由（*）式得即

19(22n?119?22n?1?2?1?n??3(2n?1?2)＞0，

n?1?1)(2?1)?1n2?3n?1(2?1)＞0，∵2－1＞0，∴?＜?1)有最小值

32nn

16(2?1)对任意正偶数n都成立．

当且仅当n＝2时，(26．∴?＜32． …… 13分

综上所述，存在常数λ，使bn－λ Sn＞0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是（－∞，1）. …14分

7