课时作业与单元检测第三章 数系的扩充与复数的引入第3章 3.1.1

第三章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 课时目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

1．把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做____________，全体复数所成的集合C叫做__________．

2．复数通常用z表示，z＝________________叫做复数的代数形式，其中__________分别叫复数z的实部与虚部．

3．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当________时，z为实数．当________时，z为虚数，当____________时，z为纯虚数．

4．实数集R是复数集C的__________，即__________．这样复数包括________和________．

5．a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是

________________________________________________________________________．

一、选择题

1．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi (i为虚数单位)，则(a－b)2等于( ) A．－12 B．－8 C．8 D．10

3．若z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 4．下列命题中：

①两个复数不能比较大小；

②若z＝a＋bi，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ③x＋yi＝1＋i?x＝y＝1； ④若a＋bi＝0，则a＝b＝0. 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3

5．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( ) A．±1 B．±i C．±2i D．±2i

6．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C．±2，5 D．±2，1 题 号 答 案 二、填空题 7．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．

8．已知复数z1＝(3m＋1)＋(2n－1)i，z2＝(n＋7)－(m－1)i，若z1＝z2，实数m、n的值分别为________、________. 9．给出下列几个命题：

①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数；

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根；

⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ⑥两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________． 三、解答题

2m2＋m－310．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；

m＋3(3)纯虚数．

1 2 3 4 5 6

11.已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m 的值． 能力提升

a2－7a＋6

12．已知复数z＝2＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：

a－1(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

1．对于复数z＝x＋yi只有当x，y∈R时，才能得出实部为x，虚部为y(不是yi)，进而讨论复数z的性质．

2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．

答案

知识梳理

1．复数 虚数单位 复数集 2．a＋bi(a，b∈R) a与b 3．b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 4．真子集 RC 实数 虚数 5．a＝c且b＝d 作业设计

1．B [复数a＋bi (a，b∈R)为纯虚数?a＝0且b≠0.]

??a＋b＝－10

2．A [由?，

??ab＝1

可得(a－b)2＝a＋b－2ab＝－12.]

2

??x－1＝0，

3．A [∵z为纯虚数，∴?∴x＝－1.]

??x－1≠0，

4．A 5.C

6．C [由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3， ∴a＝±2，b＝5.故选C.] 7．0

2

??m－5m＋4>0；

解析 由题意得：?2

??m－2m＝0.

解得：m＝0. 8．2 0

??3m＋1＝n＋7

解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有?，

2n－1＝－?m－1???

解得m＝2，n＝0. 9．2

解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为

零，故③错；因为－1的平方根为±i，故④错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑤错； ⑥正确．故答案为2.

10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.

2

??m－3m－18＝0

故若使z为实数，则?，

??m＋3≠0

解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．

(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0， 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．

(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.

??

故若使z为纯虚数，则?m＋3≠0

??m－3m－18≠0

2

2m2＋m－3＝0

，

3

解得m＝－或m＝1.

2

3

所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．

211．解 由题知P＝Q，

所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，

2??m－2m＝0所以?2，

m＋m－2＝4??

解得m＝2.

a2－7a＋612．解 (1)当z为实数时，则a－5a－6＝0，且2有意义，∴a＝－1，或a＝6，

a－1

2

且a≠±1，

∴当a＝6时，z为实数．

2

a－7a＋62

(2)当z为虚数时，则a－5a－6≠0，且2有意义，∴a≠－1，且a≠6，且a≠±1.

a－1

∴当a≠±1，且a≠6时，z为虚数，

即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0， a2－7a＋6?a≠－1，且2＝0.∴?且a＝6，

a－1?a≠6.∴不存在实数a使z为纯虚数．

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