新课标 - 回归教材数列

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新课标——回归教材数列

新课标回归教材 数列 *N (或它的有限子集{1,2,3,数列的通项公式也就是相应函数的解析式

若{}递增,则实数义域为正整数集

的通项为

的取值范围1、 数列的概念:数列是一个定的特殊函数典例:1)已知

则

在数列{}na的最大项为125; 2) 数列{}na的通项为则na 与

的大小关系为

数列

4) 一给定函数则该函数的图象是

的图象在下列图中,并且对任意

由关系式

得到

的数列{ A B C D 2. 等差数列的有关概念: (1) 等差数列的判断方法: ①定义法

为常数, nN ） 、 ②等差中项法

满

足

典例: 设{}na是等差数

列, 求证: 以

等差数列. (2) 等差数列的通项

为通项公式的数列{ }nb为

或()nmaanm

典例:1) 等差数列{2) 首项为-24 的等差数列, 从第 10

项起开始为正数, 则公差的取值范围是8}na中则通项和中

等差数列的前 n . 典例:1) 数列 {}na

则1a -3 , n =

1 / 12

10 ; 2) 已知数列 {}na的前 n 项和列（答

{||}na

的

前

n

项

和

求数.nT） . (4)

等差中项: 若 , ,a A b 成等差数列, 则 A 叫做a 与 b 的等差中项, 且

提醒: (1) 等差数列的素. 只要已知这 5 个元

素中的任意 3 个, 便可求出其余 2 个, 即知 3 求 2. ,nna S 公式中, 涉及到 5 个元素:1, , ,a d n a S 其中,nn1,a d 称作为基本元岳阳县一中 2019 届高三◆回归教材 第 2 页 共 7 页 (2) 为减少运算量, 要注意设元的技巧: 如奇数个数成等差, 可设为,偶数个数成等差, 可设为,3. 等差数列的性质: (1)当公差等差数列的 ①通项公式

若公差

（公差为 2 d ） （公差为 d ） ; ,,ad

为递增等差数列

是关于 n 的一次

所以, 1)若公差

时,

若公差0d

函数,且斜率为公差 d ; , 则{, 则{, 则{(}na}na为递减等差数列, }na为常数列

前n 和

是关

于 n 的二次函数且常数项为 0. 提醒:若(3)当 m20)nSanbnc

时

为等差数列＝ 27 ; 0,且都大于

不是等差数列,但从第二项起(含第二项)

特别地,当

都大于 时,则有

典例:1)等差数列{}na中

时,则有在等差数

则 n

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列中是其前n 项和,则( B ) 10S

都大

若{}na,{ }nb

、 p 是非零常数)、*{}( ,)p 也成等差数列(注: 其新公而{典例:等差数列的前 n

都小于 0,都小于 0,1112,S19都小于 0,都小于 于

都大于

是等差数列,则{}nka、

、

差与原数列的公差关系为

项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 225 ; (5) 等差数列{}中,项数为偶数 2n 时, Sn aa成等比数列; 若{}na是等比数列,且为奇数

则{lg}na是等差数列时

奇偶中

偶奇－

项数

中(这里 a

中即na );:(1):SSkk奇偶. 典例:1)在等差数列中,S11＝22,则2) 项数为奇数的等差数列{6a ＝ 2 ; 中

奇

偶,求此数

列的中间项与项数(答: 5;31). (6)若等差数列{}na,{ }nb的前 n 和分别为nnA B、,则2121(21

典

例:若{na },{nb }是等差数列,它们前n 项和分别为nS ,nT ,若

则

等差数列{}na的前

n 项和nS 的最值求法: 法一(二次函数法) :由

解析式结合二次函数图象求解; 法二(通项比

较法):具体操作如下 ①当

的最大值;第一,若

时,设前 m 项和最大,则应满足

时,可求时,显然

特别地,当

3 / 12

当时,可求若

时,则

若

特别地,当

的最小值;第一,若时,显然

时,设前 m 项和最小,则应满足

时,则

典

例:1)等差数列{2) 若{}的最大正整数 n 是 4006 ; 4. 等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法

中,125a

则数列前 13 项和最大,最大值为 169 .

是等差数列,首项

则使前 n 项和

成立①定义法1(nnq qa为常数） ,其中等比中项法

或

注是数列{}na等比的 必要不充

项,

分条件 .(想想为什么?) 典例:1)一个等比数列{na }共有 奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则中

且1a =1,若

或

为56; 2) 数列{}na

求证:数列

{ }nb是等比数列. (2)等比数列的通项典例:数列{}na等比公比 q .(答时

当

时

求

求n 和

或 2) (3)等比数列的前 n 和: 当

典

（答:44） ; 2)

特别提

例:1)等比数列中

已知{}na等比,其123,2,3SSS 成等差数列,则公比

醒: 等比数列前n 项和公式有两种形式, 为此在求等比数列前n 项和时, 首先要判断公比 q 是否为 1, 再由 q 的情况选择求和公式

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的形式, 当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 和两

种情形讨论求解. （4） 等比中项: 若 , ,a A b 成等比数列, 那么 A 叫做a 与 b 的等比中项. 分提醒: 不是任何两数都有等比中项, 只有同号两数才存在等比中项, 且有两个典例:两个正数 , ()a

的等差中项为 A , 等比中项为 B , 则 A 与 B 的大小关系为 A提醒:(1) 等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素:q 称作为基本元素.只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求

、 q 、 n 、na 及

nS ,其中1a 、(2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为,22,, ,,a aa aq aqqq（公比为 q ） ;但偶数个数成等比时,不能设为33,,,a aaq aqqq,,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数.(答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5. 等比数列的性质: (1)当 当}中

则log2q

时,则有等比数列时,则有

特别地,中,若典例:1)

在等比数列{na512,公比 q 是整数,则

岳阳县一中 2019 届高三◆回归教材

第 4 页 共 7 页 (2)若{}na是等比数列,则{||}na、*{}( ,)p

、 {}nka成等比数列; 若{} { }b、nna成等比数列, 则

5 / 12

{}n na b、 {}nnab成等比数列; 若{}na是等比数列,且公比

则数列mqq

新公比与原数列公比之间关系式为列典例:1)已知{若

若

则

也是等比数列(其且 n 为偶数时, 数

则

则101x2) 在等比数列

满足100100a注: 当232,nnnnS

且且1a

则{}为递减数列;若}为

是常数数列 0,它不是等比数列设数列

中,}为递增数列;若

摆动数列; 若

为

其

前

n

项

和

,

若

则20S 的值为 40 . (3) 若

则

为常数列. }na为递减数列

则{na(4) 当

这里

但

这则

为递增数列

时

是等比数列前n 项和公式的一个特征,据此很容易根据nS ,判断数列{}na是否为等比数列. 典例:1)若{2)等比数列{}na是等比数列,且其前 n 项和}前 n 项和nS 满足

等差数列

比数列{2) 在等比数列数列,则 q 的值 -nS . 若数列

的公比为 q ,若}中, 公比

则 r ＝ -1 . 前 n 项和

则

-1 . (5)典例:1)设等

成等差

设前 n 项和为

则 , x y 的大小关系是( B ) A. x(6) 等比,当项数为偶数 2n 时

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D. 不确定 偶}na奇;项数为奇数时,是非零常数数列.

奇偶. (7)如果数列{提醒:故常数数列{典例:设数列{}na

既成等差数列又成等比数列,那么数列{}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. 的前n 项和为(N),关于数列

、

数列的通项求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;

既是等

②等比数列通项公式

差数列又是等比数列; }na有下列三个命题: ①若

则

数列; ③若

若

则{}na是等差

则{na是等比数列.这些命题中,真命

试写出其一个通项公

题的序号是 ②③ . 典例:已知数列式

求na ,用作差法

知{}na的前n 项和满足（答

已知nS (即

典例:1)已求na .

） ; 2) 数列{}na满足

求

na

.

（答

求

） ⑶已知

na ,用作商法:(1)(1)( )f n(2)(1)nfnanf

典例:数列{}na中

对所有的若

法

:112211()()()(2)nnnnnaaaaaaaa 典例:已知数列{}na满足11a

7 / 12

都有求

na

用

累

则加

则

已法列{}na中

前n 项和nS ,若

知

求

na

,

用

累

乘

典例:已知数求na （答:4(1)nan

） ⑹已知递推关系求na ,用构造法(构造等差、 等比数列)..

为常数) 的递推数列都可以用待定系数法转

化为公比为 k 的等比数列后, 再求(1) 形如典例:1)已知

已知

(答

形如11nnn

求na (答

求na

的递推数列都可以用倒

求na 、1na .

数法求通项. 典例:1)已知(答求na (答中含有条件了吗？ （用关系式

已知数列满足注意:(1) 用

时,(2) 一般地当已知条件

求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的当

） ; na 与nS 的混合关系时,常需运先将已知条件转化为只含na 或nS 的关系

式,然后再求解. 典例:数列{}na满足求na (答

数列求和的常

用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式; ②等比数列求和公式. ③其它常用公式

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典例:1)等比数列{}na的前n 项和

则

＝

岳阳县一中 2019 届高三◆

回归教材 第 6 页 共 7 页 2) 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即逢 2 进 1,如进制数,将它转换成十进制形式是么将二进制

表示二

那

个转换成十进制数是(2)

分组求和法: 在直接运用公式法求和有困难时, 常将和式 中同类项 先合并在一起, 再运用公式法求和. 典例:求

并项法求和:将数列的每两项(或多项)并到

一起后,再求和,这种方法常适用于摆动数列的求和（答

） 典例:求（答

先分奇偶性讨论）

(4) 倒序相加法: 将一个数列倒过来排序, 它与原数列相加时, 若有公因式可提, 并且剩余的项易于求和. (这也是等差数列前n 和公式的推导方法

错位相减法: 如果数列的通项是由

一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法) . 典例:1)设{}为等比数列比;(答

求数列

数列{}满足①求证:数列{1}是等比数列;(答:略; ) 典

例

:

已

知

则

9 / 12

求数列{}的首项和公

111(1)(2)(3)(4)( )2( )3( )4f

已知

（答

） 2) 若

令

212(

＝72 的通项公式.

)h

求函数 ( )h x 在点

处的导数小.(答当

时

当

时

并比较

当

时

与

＝2裂项相消

的大

法: 如果数列的通项可分裂成两项差 的形式, 且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有: 111(1)1n

nnn

典例:1)

求和数列{}na中

在

且 Sｎ＝９ ,则 n＝ 99 ; (6)通项转

换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和. 典例:1)求数列 1

前n 项和nS =(1)(5)3n

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） ; 2) 求和

分期付款 、 森林木材 型应用问题 (1) 这类

应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中, 务必卡手指 ,细心计算年限 . 对于森林木材 既增长又砍伐的问题, 则常选用统一法 统一到最后 解决. (2) 利率问题: ①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期利率为 r ,则n 期后本利和为:(1)(1)(12 )r(1)()2nn nSprppnrp

等差数列问题); ②复利问题: 按揭贷款

的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为 r (按复利),那么每期等额还款 x元应满足

典例:1)从 2008

年到 2019 年期间, 甲每年 6 月 1 日都到银行存入 m 元的一年定期储蓄. 若年利率为 q 保持不变, 且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期, 到 2019 年 6 月 1 日

等比

数列问题). 甲去银行不再存款, 而是将每年所有的存款的本息全部取回, 则取回的金额是

陈老

师购买安居工程集资房学校补贴 14400 元, 余款由个人负担. 房地产开发公司对教师实行分期付款, 即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时． ． ． ． ． ． ．所生的利息合计, 应等于

11 / 12

个人负担的购买房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和, 每期为一年, 等额付款, 签订购房合同后一年付款一次, 再过一年又付款一次, 等等, 共付 10 次, 10 年后付清. 如果按年利率7. 5%, 每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息) , 那么每年付款多少元?(参考数据

为 7201928800 1

【解】 由题知余款额

设每期(年) 付款为 x 元, 依题意得,

单价为 1000

元/2m , 一次性国家财政补贴 28800 元,91011) 28800元; 9 所以

元.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oet8.html