传统时间序列分析

第九章 传统时间序列分析

时间序列的变动主要是由长期趋势、循环波动、季节变动及不规则变动而形成的，其中前三种变动有一个共同的特点，就是依一定的规则而变化，不规则变动则在综合中可以消除。基于这种认识，本章主要是介绍设法消除不规则变动，拟合确定型趋势，因而形成了一系列确定型时间序列分析方法。

实验一 季节模型

实验目的：

掌握季节调整的方法。 实验内容：

对时间序列进行季节调整。 知识准备：

经济时间序列的变化受许多因素的影响，概括地讲，可以将影响时间序列变化的因素分为四种，即长期趋势（T，随着时间的变化，按照某种规律稳步地增长、下降或保持在某一水平上）、季节变动因素（S，在一个年度内依一定周期规则性变化）、周期变动因素（C，以若干年为周期的波动变化）和不规则变动因素（I，许多不可控的偶然因素共同作用的结果）。传统时间序列分析应是设法消除不规则变动，指拟合确定性趋势，因而形成了长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定等一系列确定型时间序列分析方法。

季节变动是一种较为普遍的现象，其按照一定的周期循环进行，而且每个周期变化强度大体一致。研究季节变动的目的在于了解季节变动的规律，并进行季节预测。分析季节变动的方法有很多，其中常用的方法有两类：一是不考虑长期趋势的影响；二是考虑长期趋势的影响，运用时间序列模型分解的方法来计算季节指数。谓季节调整,就是将某一统计指标的时间序列中的季节性因素和偶然性因素剔除,从而使经过季节调整的时间序列能够较为准确地反映出社会经济运行基本态势。本章主要介绍X11方法、Census X12方法和移动平均比率法等季节调整方法。

一、X11方法

X11的全称是“X11”变量的第二类调查统计方法季节调整方案，通常简称为X11方案。其基本思想是利用一系列处理技术将不可比因素如季节、节假日、

各月（季）的星期数量等分离，大大提高数据的可比性，以便于对系统作出正确的分析和客观的评价；同时，通过分离，获得关于系统动态结构和规律的大量信息。X11季节调整方法包括乘法模型和加法模型。乘法模型将时间序列分解为上述四个因素变动的乘积；加法模型则将序列分解为上述四个因素的和无约束样本回归模型。

乘法模型：Yt?Tt?Ct?St?It （1） 加法模型：Yt?Tt?Ct?St?It （2） 对于一个时间序列，采用哪种模型分析取决于各成分之间的关系。一般来说，若4种成分是相互独立的应用加法模型；若相互有关联则用乘法模型。相对而言，乘法模型应用比较广泛。在乘法模型中，时间序列值和长期趋势用绝对数表示，季节变动、周期变动和不规则变动用相对数（百分数）表示。

X11 是X12方法的核心，其目标旨在将经济时序Yt分解为趋势循环成分TCt 、季节成分S t 和不规则分成I t ，其中月度数据还需要分解出移动节日、交易日数等日历效应分量Dt 。X11 可以估计趋势和季节因素，可以用自动过滤选择模式选择季节过滤和趋势过滤（对序列结尾有专门的过滤），还能够调整异常值。

设Yt为原时间序列，现以乘法模型为例，说明X11季节调整方法的核心算法，共分为三个阶段：

第一阶段，初步估计

(1)序列趋势循环的粗略估计，即对原序列作中心化移动平均

11TCt?(Yt?6?Yt?5?...?Yt?...?Yt?5?Yt?6)/12 （3）

22(0.5Yt?2?Yt?1?Yt?Yt?1?0.5Yt?2)TCt?4 （4）

（3）式适用于月度数据，（4）式适用于季度数据。该移动平均能够保留线性趋势，消除季节性并减小不规则因素的方差。

(2)趋势因素过滤，计算得到仅包含季节和不规则因素变化新序列SI

SIt(1) ?Yt/TCt （5）

(1)(3)对序列SIt进行3*3项移动平均，得到初步的季节因素估计序列S

?(1)?(SI(1)?2SI(1)?3SI(1)?2SI(1)?SI(1))/9Stt?24t?12tt?12t?24?M3*3(SIt)(1) （6）

对每个月的观测值分别应用3*3项移动平均，从而保留线性趋势。 (4)先将季节因素估计序列除以2*12的移动平均值，得到初步的无偏季节因子，然后从中消除季节因子从而得到不规则因子

?(1)?(S?(1)?2S?(1)?....?2S?(1)?S?(1))/24?Stt?6t?5t?5t?6 （7） (1)(1)???St?M2*12StSt(1)??通过对季节因子进行标准化，使得因子之和在每个连续的12个月内都近似为0。

(5)将原序列除以季节因子，从而得到初步季节调整后的序列

TCIt(1)(1) ?Yt/St （8）

这是初次估计的季节调整后序列，所包含的季节性因素已经很少。接下来将基于TCIt序列继续进行移动平均。

第二阶段 进一步估计和过滤

（1）利用长度为2H+1Henderson过滤来计算趋势（循环）成分

(1)TCt(2)?j??H?hjH(2H?1)TCIt?j(1) （9）

其中H值由信噪比标注I/C（C 代表趋势）确定，hj为各平滑数据的权数。X-12选择H 的标准：当I/C<1.0 时，用9（即H=4）次过滤；当1.0=I/C<3.5，用13（即H=6）次过滤；当3.5=I/C 时，用23（即H=12）次过滤。

(2)计算最后的季节-不规则因素的比率

SIt(2)?Yt/TCt(2) （10）

(3)通过3*5项移动平均计算出最后的季节因素，再对其进行收敛得到无偏季节因素

?(2)?(SI(2)?2SI(2)?3SI(2)?3SI(2)?3SI(2)Stt?36t?24t?12tt?12?2SIt?24(2)?SIt?36(2))/15?M3*5SIt?(2)? (11)

对每月（季）的观测值分别应用3*5项移动平均，从而保留线性趋势。 (4)计算最终的季节因子

St(2)?(2)?(S?(2)?2S?(2)?....?2S?(2)?S?(2))/24 (12) ?Stt?6t?5t?5t?6上式对季节因子进行标准化，使得因子之和在每一个连续的12月（4季度）内都近似为零。

（5）第二步季节调整后的序列

TCIt(2)(2)?Yt/St (13)

第三阶段 最终估计与过滤

（1）利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环因素

TCt(3)?j??H?hjH(2H?1)TCIt?j(2) (14)

上式表示2H+1项Henderson移动平均，其移动平均的项数由数据决定，可能会第二阶段步骤一有所不同。

（2）计算最终的不规则因素

It(3)?TCTt(2)(3)/TCt (15)

(3)从而得到分解序列的乘法模型：Yt?TCt?St(2)(3)?It

至此，季节调整完毕。季节调整加法模型等其他季节调整模型的步骤与乘法模型类似。

由此可以看出，X11是基于移动平均的季节调整方法，用户可以根据各种季节调理的目的不同自主地选择计算公式，从而适应序列的特征。系统也会自动地根据随机因素的大小确定移动平均的长度。在X11 中，趋势过滤包括2×12（或2×4）初步的趋势估计和最终趋势估计的Handerson 过滤两个环节，季节（自动）过滤包括3×3 初步的季节估计和3×3、3×5 或3×9 的最终季节过滤两个环节。多数情况下可选择3×5，季节模式迅速变化时用3×3，季节模式不是正在变化或不规则因素影响很大时用3×9。趋势估计或季节估计都采用平滑方法。

X11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步准确化。应当注意，X11只能作用于含季节因素的序列，季节调整的观测值的个数是有限制的，最少需要4个整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。

二、Census X12季节调整方法

Census X12是美国人口普查局关于季节调整的最新研究成果，X11 是X12方法的核心。 其主要的变化在于可以对数据作更加丰富的预处理，检测和修正不同类型的离群值，估计并消除日历因素的影响，对季节调整的效果进行更严格的诊断检验。其是一种基于给定序列进行成分提取的季节调整方法，是一种基于移动平均的非参数方法提取成分。

1、X12季节调整的模型选择

X12保留了基本的加法和乘法模型，而且还可以计算另一种乘法模型，即把被调整序列取对数后进行加法分解再指数化，这被称为对数加法模型。它适合于对模型的趋势估计进行偏差修正，同时还可对对数正态分布识别的极端值进行修正。伪加法模型是由英国国家统计办公室开发。时序季节调整方法有如下四种：

加法模型： Yt?TCt?St?It （16）乘法模型： Yt?TCt?St?It （17）利用对数变换可将乘法模型转换成加法模型，即对数加法模型：

lnYt?lnTCt?lnSt?lnIt （18）伪加法模型：Yt?TCt?(St?It?1) （19） 其中，TCt表示趋势循因素；St表示季节因素；It表示不规则因素。乘法模型应用最为广泛。伪加法模型主要用来对在每年相同月份取值很小、接近于零的非负时间序列进行季节调整。

X12季节调整方法的基本过程和步骤与X-11方法的原理相同，在此就不再重述。但其在X-11方法的基础上，增加了交易日的调整。

2、交易日影响

月度（季度）时间序列中循环出现的星期构成效应称为交易日影响。Yong（1965）讨论了流量交易日的影响，Cleveland and Grupe（1983）讨论了存量贸易日的影响。与季节效应类似，交易日效应也使得序列的跨月比较或者两个序列之间运动规律的比较显得困难。因此，在执行季节调整时如果估计的交易日效应应具有统计显著性，通常要将它们从序列中调整出去。

为了从月度流量序列中得到交易日效应模型，设一周中第i天的效应记为

?i(i?1,2,...,7),dit表示月份t中星期i的个数，则该月贸易日的累积效应可表示

为：

??dii?17it (20)

7记?为平均日度效应，Nt该月的长度，????i/7,Nt??dit，则上式可

i?1以表示为：

??dii?17it??Nt??(?i??)dit??Nt??(?i??)(dit?d7t)

i?1i?176累积的月度效应可以分解为月份长度效应和日度对立变量的净效应，因此式（20）的季节成分和水平成分归于日历月均值?N?t表示，其中：

14Nt*??Nt?12k (21)

4k?1至于这些成分如何从模型中消除，取决于用以得到不规则成分的季节分解的类型。对于乘法分解模型，在方程（20）两端同时除以?N?t以消除对交易日效应的去季节化和退势。令?i?(?i/a)?1，得到

NtNt*???i(i?16dit?d7tNt*)??(?i?17i?1)dit*Nt (22)

这就是Yong（1965）没有推导而直接给出的交易日效应模型。设ID表示包括贸易日影响的不规则因素的初步估计，则其估计可通过最小二乘法拟合下面的模型得到回归系数的估计值?i(i?1,2,...,6)(其中?7????i)：

i?16?i?16?i(dit?d7t)??t (23)

同样地，对于加法模型对应于式（23），是由式（20）两端同时减去?N?t，从而得到

?0(Nt?Nt)???i(dit?d7t)??t (24)

*i?17其中：?0??，?i??i??，1?i?6；然后与乘法模型类似，建立回归方程

IDt??0(Nt?Nt)???idit??t （25）

*i?17?(i?1,2,...,7),从而求得的估计结果利用普通最小二乘法估计上式中的参数?i?是乘法模型下贸易日因素影响的估计值，而残差序列是不规则因素变动的估IDt计值。

除了上面介绍的去季节化和退势方法之外，还有一种主要用于加法分解的方法。这就是SABL季节调整来进行交易日回归的匹配过滤法，在这种方法中，先将不规则滤子施用于式（20）中的回归经过dit，再用不规则序列对它们进行回归。显然这是对交易日效应进行去季节化和退势的另一种方法。但匹配过滤法如何应用于乘法模型或伪加法模型的分解还不清楚。

三、移动平均比率法

如果时间序列包含有明显的上升或下降趋势或循环变动，为了准确地计算季节指数，就应当首先设法从序列中消除趋势和循环变动因素，然后用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。下面主要分析采用移动平均法拟合长期趋势，从而确定季节变动的过程：

现以加法模型为例，来说明移动平均下加法模型进行季节调整的步骤： （1）首先对时间序列进行中心化移动平均，其目的是消除各年同一季节数据的不规则变动和季节变动，从而得到趋势循环序列TCt，其只包含趋势变动T和循环变动C。

TCt?(0.5Yt?6?...?Yt?...?0.5Yt?6)12 (26)

TCt?(0.5Yt?2?Yt?1?Yt?Yt?1?0.5Yt?2)4 (27)

(25)式适用于月度数据，（26）适用于季度数据。

（2）为了剔除原序列中的趋势变动和循环变动，将原时间序列减去移动平均序列对应时间的各项数据TCt，从而计算序列SI。

SIt?Yt?TCt (28) (3)将序列SI各年同月或同季的比率数据平均，以消除不规则变动I，再分别除以全部SI数据的总平均数，得到季节因子

（4）调整季节因子

sj。

sj使得它们的和等于零：

1kSj?sj??sjkj?1 (29)

Sj为标准化的季节因子，对于季度数据j=1,2,3,4,k=4，即同一季度的季节因

子相同；对于月度数据j=1,2,…,12,k=12,即同一月份的季节因子相同。

（5）计算季节调整的最终结果，从而从序列中消除季节变动的影响：

TCIt?Yt?Sj上式中，

(30)

Sj应与Yt所在的月份（季度）对应。

乘法模型的季节调整过程原理与加法模型类似。 实验背景：

现获得某企业1995-1998年各月的销售额数据资料如下：

3017.6 3043.54 2094.35 2809.84 3274.8 3163.28 2114.31 3024.57 3327.48 3493.48 2439.93 3490.79 3685.08 3661.23 2378.43 3459.55 3849.63 3701.18 2642.38 3585.52 4078.66 3907.06 2828.46 4089.5 4339.61 4148.6 2916.45 4084.64 4242.42 3997.58 2881.01 4036.23 4360.33 4360.53 3172.18 4223.76 4690.48 4694.48 3342.35 4577.63 4965.46 5026.05 3470.14 4525.94 5258.71 5189.58 3596.76 3881.6

要求采用X12和移动平均比率法对该企业的销售额进行季节调整。 实验步骤：

一、X12季节调整方法

点击Proc/Seasonal Adjustment/Census X12,打开季节调整对话框，如图9.1所示：

图9.1

Seasonal Adjustment复选框：用于选择季节调整方法。其主要包括四种模型供选择：Multiplicative(乘法)、Additive(加法)、Pseudo-additive(伪加法)、Log-additive(对数加法)。

Seasonal Filter：用于选择季节移动平均滤波（又称为月别移动平均项数），缺省时由X12 default自动确定。

Trend Filter(Henderson)复选框：使用Henderson移动平均进行趋势滤波。在估计趋势循环分量时，允许按指定Henderson移动平均的项数，其取值为大于1且小于等于101的奇数，缺省时由X12自动选择项数。

Component Series to Save：用于存储调整后的分量序列。X12方法将被调整的序列名作为缺省列在Base name文本框中，可以改变序列名。X12方法将序列名加上相应的后缀存在工作文件中：Final seasonally adjusted series(-SA)，最终的季节调整后的序列；Final seasonal factor(-SF)，最终的季节因子；Final trend-cycle（-TC），最终的趋势循环序列；Final irregular component(-IR)，最终的不规则因素分量；Combined seasonal/trading day factor(-D16)，季节、贸易日因子；Combined holiday/trading day factor（-D18）,假日、贸易日因子。

ARIMA Options：用于选择ARIMA模型。在此不作介绍。

单击Trading Day/Holiday，打开贸易日和节假日调整框，如图9.2所示：

图9.2

用于选择Adjustment Options，决定是否进行贸易日和节假日调整。None,表示不进行调整；Adjust in ARIMA step表示在ARIMA步骤进行调整；Adjust in X11 step表示在X11步骤进行调整。

Trading Day Effects：用于贸易日影响调整。Flow day-of –week/leap year effects(流量序列对周工作日影响进行调整）、Flow weekday-weekend/leap year effects(流量序列仅对周日-周末影响进行调整)、Stock day-of week of month(存量序列仅对月度序列调整而且还需给出被调整序列的月天数)。

Holidays：用于节假日调整，由于只针对美国，不能应用于其它国家，因此不作介绍。对于除季节调整和交易日调整外的其它功能在此不作介绍。

在本例中，点击View/graph/line,得到序列的趋势图如下：

图9.3

从趋势图可以很明显地看到该企业的季度销售额呈现出季节性。因此,选择Census X12 乘法模型，按系统默认确定调整后的序列名,不进行间距诊断，不进行贸易日调整、节假日及外部影响调整，不考虑ARIMA模型，点击“确定”，从而得到最终的季节调整后的序列xsa，最终的季节因子xsf，最终的不规则因素分量xir及最终的趋势循环分量xtc等序列。如图9.4所示：

图9.4

二、移动平均比率法

在序列窗口点击Proc/Seasonal Adjustment/Moving Average Method ，打开移动平均比率对话框，如图9.5所示：

图9.5

Adjustment method：用于选择调整所适用的模型，其包括Ratio to moving

average-Multiplicative(乘法模型)和Difference from moving average-Additive(加法模型)。

Series to calculate：用于定义计算后的序列名。Adjusted用于定义调整后的序列名；Factors用于定义季节调整因子序列名。

在本例中，选择Ratio to moving average-Multiplicative(乘法模型)，默认系统确认的调整后的序列名，季节调整因子序列名为ss，然后点击OK，得到如下结果：

图9.6

从Eviews输出结果知，该企业销售额各月的季节因子。 然后打开调整后的序列xsa,观察其折线图，如图9.7所示：

图9.7

可以很明显地看到季节调整后的序列明显地消除了原序列的季节性。

实验二 趋势模型与分析

实验目的：

掌握如何建立一个趋势模型。 实验内容：

对经过季节调整的时序建立趋势模型 知识准备：

长期趋势是时间序列的主要构成要素，它是指现象在较长时间内持续发展变化的一种趋势或状态。通过对时间序列长期趋势的分析，可以掌握现象活动的规律，并对未来的发展趋势做出判断或预测。此外，可以将长期趋势从时间序列中予以剔除，从而观察和分析其它因素对时间序列的影响。本章主要介绍回归分析法与HP(Hodrick-Prescott)滤波方法。

一、回归方法

常用来描述时间序列的趋势变动的拟合模型有以下几种：

线性方程：Yt?a?bt (31) 二次曲线：Yt?a?bt?ct2 (32) 指数曲线：Yt?e(a?bt) (33) 修正指数曲线：Yt?k?abt (34) Gompertz(龚帕兹)曲线：lnYt?k?abt(0?b?1) (35) Logistic(逻辑斯谛)曲线：Yt?1?k?abt (36)

趋势模型主要利用图形识别结合差分法来进行模型的基本选择。当时间序列各项数值的一阶差分相等或大致相等，就可以匹配线性方程；当时间序列的二阶差分相等或大致相等，就可以匹配二次曲线；当时间序列的一阶差比率相等或大致相等，就可以匹配指数曲线；当时间序列一阶差的一阶比率相等或大致相等，就可以匹配修正指数曲线。

二、HP滤波方法

HP滤波方法在分析宏观经济趋势方面有着广泛的应用，它由Hodrick和

Presott于1981年在分析美国战后的经济景气时首先提出。HP滤波假设时间序列

yt由趋势成分和波动成分组成，yt是包含趋势成分，yt是包含波动成分，则

TCyt?yt?yt (37)

TC计算HP滤波就是从yt中分解出yt。一般地，时间序列yt中可观测部分趋势yt常被定义为下式最小化问题的解：

TT?(yi?1Tt?yt)???(yT2t?2T?1?Tt?1?yt)?(yt?yTTTt?1) (38)

?2T其中，??0，这个使式（40）达到最小的yt即被认为是时间序列的趋势性T成分。式中?是控制平滑程度的惩罚因子，?越大，yt越平滑；当???时，

上式第二项中只能取零，这时HP滤波只能退化成最小二乘法了。一般经验，?的取值如下：当序列是季度序列，?=100；是年度序列，?=1600；是月度序列，

?=14400。a

实验背景：

对上述经过季节调整的序列生成趋势模型，并与HP滤波中生成的趋势序列进行比较。

实验步骤：

通过实验一，得到经过季节调整的序列XSA。

点击Quick/Generate Series,打开生成新序列对话框，如图9.8所示：

图9.8

在Enter equation中输入相关函数，在本例中，由于调整后的序列呈现出线性趋势，输入dxsa=d(xsa),表示对调整后的序列作一阶差分生成一个新的序列dxsa。然后再观察dxsa的趋势走向，如图9.9所示：

图9.9

上图表明，对季节调整后的序列一阶差分生成的新序列dxsa在某一水平上下波动，表明季节调整后的序列xsa具有线性趋势，由此可建立一个线性模型。

点击Quick/Generate Series,生成时间序列，如图9.10所示：

图9.10

@TREND(d)表明生成以d期为0的时间趋势变量，其中d为日期（适用于时间序列数据）或观测值个数（适用于截面数据）。在本例中，输入t=@trend(1994.12) ，表明生成以1994年第12个月取值为0的时间趋势变量。

在序列t及xsa窗口点击Proc/Make equation,打开回归对话框，如图9.11所

示：

图9.11

在Equation specification窗口中依次输入被解释变量、常数项、解释变量。在本例中，依次输入xsa、c 、t，中间用空格断开。Estimation settings：估计设置。估计方法（Method）：LS (最小二乘法)、TSLS（二阶段最小二乘法）、 GMM（广义最小二乘法）等等；估计区间（Sample）。在本例中，选择最小二乘法，然后点击确定，可得到估计结果，如图9.12所示：

图9.12

?a?2667.77?40.14t。常数项由上图可知季节调整后的序列的回归结果：xs和时间这两个变量的t统计量分别为49.08、20.78，R2?0.904,表明该模型经过了统计检验。

在序列x窗口，点击Proc/Hodrick-Prescott Filter，打开HP滤波窗口，如图9.13所示：

图9.13

首先指定分解后的序列名，既可以系统默认，也可以填入一新的趋势序列名。然后给定Smoothing Parameter（平滑参数）Lambda的取值，年度数据为100，季度和月度数据分别取1600和14400，不允许填入非整数的数据。单击OK,得到相关结果，如图9.14所示：

图9.14

可见，经HP滤波后生成的趋势序列也具有线性趋势，其基本结论与回归分析下

的基本一致。

实验三 指数平滑法

实验目的：

掌握用指数平滑法对时序的平滑过程并进行相关的预测。 实验内容： 指数平滑法 知识准备：

指数平滑法是另一种计算时间序列长期趋势的方法，是加权平均的一种特殊形式。指数平滑法是布朗(Robert G..Brown)所提出，是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，是最常用的一种预测方法，特别适用于中短期预测。

1、单指数平滑法

单指数平滑通常适用于不可预测的向上或向下趋势的预测。设观测序列

y1,y2,...,yt,?为加权系数，其计算公式如下：

?t??yt?(1?a)y?t?1 (0

?t???(1??)iyt?i (44) yi?0??t是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为?， （44）式表明y?(1??),?(1??)2，…；由于加权系数呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（43）式称为指数平滑。根据实践经验，a的实际取值范围一般以0.1~0.3之间为宜。如何进一步确定a的最佳取值，通常要结合理论分析和模型对比的方法来进行。单指数平滑的预测公式如下：

?T?k?y?Ty (45) 2、双指数平滑

双指数平滑是对一次指数平滑的再平滑，当观测数据有清楚的趋势并可能包括未来向上运动预测的信息时采用此法预测。其表达式如下：

?T?k?2ST?DT?y?(ST?DT)k1?? (46)

其中，

St??yt?(1??)St?1 (47) Dt??St?(1??)Dt?1 (48) 其中：0

另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值S0,D0。初始值实质上是序列起始点之前所有历史数据的加权平均值，但在实际工作中，由于获得历史数据多少的不同，往往采用经验方法来确定。因而可以通过在最初预测时，选择较高的?值来减少由初始值选择不当所造成的预测偏差，从而使预测模型调整到当前水平。

Holt-Winters法也是指数平滑中的一种，它适用于对具有季节影响的线性增长趋势的序列进行预测。这种方法计算截距（常数项）、趋势系数（斜率）和季节影响的各个递推值。其可分为乘法、加法及无季节模型。

3、Holt-Winters乘法模型

这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。其利用三个方程，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的、季节的），它包含三个参数（从0~1）和一个追加的季节性方程式，其基础方程式如下：

St??xtIt?L?(1??)(St?1?bt?1) (0

bt??(St?St?1)?(1??)bt?1 (0

?T?k?(ST?bTk)IT?k?L (52) y4、Holt-Winters加法模型

这种方法适用于序列具有线性趋势和加法季节变化。其基础方程如下：

St??(xt?It?L)?(1??)(St?1?bt?1) (0

It??(xt?St)?(1??)It?L (0

?T?k?ST?bTk?IT?k?L (56) y其中IT?k?L用样本数据最后一年的季节因子。 5、Holt-Winters------无季节模型

这种方法适用于序列具有线性趋势但无季节变化。其基础方程如下：

St??xt?(1??)(St?1?bt?1) (0

?T?k?ST?bTk (59) y 采用Holt-Winters方法的一个重要问题是如何确定?,?,?的值，以使均方差达到最小。虽然有一些方法可以利用非线性最佳算法求得最佳参数值，但通常确定?,?,?值的最佳方法仍是反复试验法。

实验背景：

现获得某企业2000年至2005年各季的销售量（单位：万元）资料如下： 362 385 432 341 382 409 498 387 473 513 582 474 544 582 681 557 628 707 773 592 627 725 854 661 要求采用指数平滑法预测2006年第二个季度的销售量。 实验步骤：

点击Proc/Exponential Smoothing,打开指数平滑对话框，如图9.15所示：

图9.15

Smoothing method复选框：选择平滑方法，包括Single(单指数平滑)、Double(双指数平滑)、Holt-Winters-No seasonal(无季节Holt-Winters模型)、Holt-Winters-Additive(Holt-Winters

加法模型)及

Holt-Winters

Multiplicative(Holt-Winters乘法模型)。

Smoothing parameters复选框：确定平滑系数，既可以选择系统自动估计也可以人工输入具体的平滑系数。系统自动估计时是按误差平方和达到最小原则自动生成平滑系数；如人工输入，应确保所有的平滑系数在0-1之间，否则系统会自动估计。

Smoothing series:用于确定平滑后的序列名，系统自动会在原序列名后加sm来指定平滑后的序列名，用户也可以自己输入新的序列名。

Estimation sample:确定估计样本区间。用户必须指定预测的样本区间，默认值产当前工作文件的样本区间。

Cycle for seasonal:确定季节循环数。系统默认值为每年12个月或4个季度），用户也可以改变每年的季节数。其允许预测不规则间距的数据。

点击View/graph/line,打开图形对话框，如图9.16所示：

图9.16

在本例中，销售量的走向具有明显的线性趋势和季节性。因此在平滑方法中分别选择双指数平滑和Holt-Winters乘法模型进行相关预测。

在预测前，首先须调整样本区间，因此回到主窗口，双击Range、Sample,打开调整样本区间对话框，如图9.17所示：

图9.17

本例中，在End中输入2006即可。然后在Smoothing Exponential对话中，分别选择Double和Holt-Winters-Multiplicative进行平滑预测，在双指数平滑法下平滑系数选择系统自动生成，平滑后的序列名分别为salef1；Holt-Winters-Multiplicative下平滑系数??0.2，??0.1，??0.05，平滑后的序列名为salesf2,季节循环数按系统默认，最后点击OK,得到以下结果如图9.18、9.19所示：

图9.18

上图表明，系统按照误差平方和达到最小生成的平滑系数为0.038，Sum of Squared Residuals(残差平方和)为101916.9，Root Mean Squared Error(均方误)为65.17。

图9.19

上图中，Sum of Squared Residuals(残差平方和)为12283.35，Root Mean Squared Error(均方误)为22.62。

这两种方法下各自的预测序列如图9.20所示：

图9.20

由上图可知，双指数平滑法下2006年第二季度销售量为761.02，Holt-Winters-Multiplicative预测得到2006年第二季度的销售量为808.06。在上述预测过程中，由于残差平方和与均方误在Holt-Winters-Multiplicative方法下都比双指数平滑法小，所以应选择Holt-Winters-Multiplicative进行预测，因而2006年第二季度销售量为808.06。

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